高数一试题'及其答案.doc

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1、 高等数学(一) 复习资料一、选择题1. 若，则（ ）23lim53xxxk xk A. B. C. D.34562. 若，则（ ）21lim21xxk xk A. B. C. D.12343. 曲线在点（0，2）处的切线方程为( )3sin1xyexA. B. C. D.22yx22yx 23yx23yx 4. 曲线在点（0，2）处的法线方程为( )3sin1xyexA. B. C. D.122yx122yx 132yx132yx 5. ( )211limsinxx xA. B. C. D.03456.设函数，则=（ ） 0( )(1)(2)xf xttdt(3)f A 1 B C D 23

2、47. 求函数的拐点有（ ）个。43242yxxA 1 B 2 C 4 D 08. 当时，下列函数中有极限的是（ ） 。x A. B. C. D. sin x1xe21 1x x arctan x9.已知，( ) 。(3)=2f 0(3)(3)lim2hfhf hA. B. C. 1 D. -13 23 210. 设,则为在区间上的（ ） 。42( )=35f xxx(0)f( )f x 2,2A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值11. 设函数在上可导，且则在内( )( )f x1,2( )0,(1)0,(2)0,fxff( )f x(1,2)A.至少有两个零点 B. 有且只

3、有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定12. ( ). ( )( )f xxfx dxA. B. C. D. ( )f xC( )fxC( )xf xC2( )fxC13. 已知，则( C )22(ln)yfxy A.B. C. D. 2222 (ln)(ln)fxfx x24(ln)fx x224 (ln)(ln)fxfx x222 (ln)( )fxfx x14. =( B)( )df xA. B. C. D.( )fxC( )f x( )fx( )f xC15. ( D )2ln xdxxA. B. C. D.2 lnxxCln xCx2ln xC2ln xC16. ( )2

4、11limlnxx xA. B. C. D.234517. 设函数，则=（ ） 0( )(1)(2)xf xttdt( 2)f A 1 B C D 02218. 曲线的拐点坐标是( )3yxA.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3)19. 已知，则( A )(ln )yfxy A. B. C. D.(ln )fx x(ln )fx(ln )fx(ln )fx x20. ( A)( )d df x A. B. C. D.( )df x( )f x( )dfx( )f xC21. ( A )ln xdx A. B. C. D.lnxxxCln xxCln xxln x二、求积

5、分（每题二、求积分（每题 8 8 分，共分，共 8080 分）分）1求cossinxxdx2. 求343ln xdxx3. 求arctan xdx4. 求3exdx5. 求23 56xdxxx 6. 求定积分8301dx x7. 计算20cosxxdx8. 求21 28dxxx9. 求312dx x11. 求2212xxedx12. 求2333xx dx13. 求21lnexdx x14.求23xx dx三、解答题1. 若,求21lim 316xxaxx a2.讨论函数的单调性并求其单调区间321( )2333f xxxx3. 求函数的间断点并确定其类型22( )2xxf xx4. 设2sin

6、,.xyxyxey求5. 求的导数35(1)2 (3)xxyx6. 求由方程 确定的导数.cos sinxat ybt xy7. 函数在处是否连续？1 ,0 ( )1,0 tan ,0xex f xx x x 0x 8. 函数在处是否可导？1 ,0 ( )1,0 tan ,0xex f xx x x 0x 9. 求抛物线与直线所围成图形的面积.2yxyxDA10. 计算由抛物线与直线围成的图形的面积.22yx4yxDA11. 设是由方程确定的函数，求ysinyyyxey12.求证： ln1,1xxx13. 设是由方程确定的函数，求y1yyxe y14. 讨论函数的单调性并求其单调区间32( )

7、29123f xxxx15.求证： 21,xex16. 求函数的间断点并确定其类型3(1)( )xxf xxx五、解方程1. 求方程的通解.0)(22dyxyxdxy2.求方程的通解. 20yyy3. 求方程的一个特解.22yyyx4. 求方程的通解.3595xyyyxe高数一复习资料参考答案一、选择题 1-5： DABAA 6-10：DBCDD 11-15： BCCBD 16-21：ABAAAA二、求积分1求cossinxxdx解：3 3222cossinsin(sin )sinsin33xxdxxdxxCxC2. 求343ln xdxx解：13 343ln(43ln )(ln )xdxxd

8、xx1 31(43ln )(43ln )3xdx4 31(43ln )4xC3. 求arctan xdx解：设，即，则arctanuxdvdxvxarctanarctan(arctan )xdxxxxdx2arctan1xxxdxx21arctanln(1)2xxxC4. 求3exdx解：33 2222ee 33e3 e3 e23 e6exttttttxtdxt dttdtttdttt dt223 e6 e6 e3 e6 e6ettttttttdtttC33233e(22)xxxC5. 求23 56xdxxx 解：由上述可知，所以2356 5623x xxxx2356()5623xdxdxxx

9、xx115623dxdxxx 5ln26ln3xxC 6. 求定积分8301dx x解：令，即，则，且当时，；当时，于3xt3xt23dxt dt0x 0t 8x 2t 是282223000313ln(1)3ln3121dxt dtttttx 7. 计算20cosxxdx解：令，则，于是2uxcosdvxdx2duxdxsinvx222 00000cossin(sin )2 sin2sinxxdxx dxxxxxdxxxdx 再用分部积分公式，得2 0000cos2cos2 ( cos )cosxxdxxdxxxxdx002 ( cos )sin2xxx 8. 求21 28dxxx解：2211

10、13(1)(1)ln28(1)963(1)xdxd xCxxxx12ln64xCx9. 求312dx x解：令，则，从而有32ux32xu23dxu du22331 131112dxuududuuux 213 (1)3(ln 1)12uuduuuCu 11. 求2212xxedx解：2222222411112xxxxedxedxeee12. 求2333xx dx解：3 2333322333(3)(3)3xx dxx dxxC 13. 求21lnexdx x解：2 2111ln111ln(ln )lnln333eeexdxxdxxex14.求23xx dx解：33 222222211 2133(

11、3)(3)(3)22 33xx dxx dxxCxC 三、解答题三、解答题1. 若,求21lim 316xxaxx a解：因为，所以22 229131 31xaxxxaxx xaxx 9a 否则极限不存在。2.讨论函数的单调性并求其单调区间321( )2333f xxxx解：2( )43fxxx由得2( )430fxxx121,3xx所以在区间上单调增，在区间上单调减，在区间上单调增。( )f x(,1)(1,3)(3,)3. 求函数的间断点并确定其类型22( )2xxf xx解：函数无定义的点为，是唯一的间断点。2x 因知是可去间断点。 2lim( )3 xf x 2x 4. 设2sin,.

12、xyxyxey求解：,22cos()xyyxy yxeyy故 ()cos (2)xyxyy eyxyxye 5. 求的导数35(1)2 (3)xxyx解：对原式两边取对数得： 1ln3ln(1)ln(2)5ln(3),2yxxx于是 3115,1223y yxxx故 35(1)23115.1223(3)xxyxxxx 6. 求由方程 确定的导数.cos sinxat ybt xy解: 22( )cos.( )sinxy tbtbxyx tatay 7. 函数在处是否连续？1 ,0( )1,0tan ,0xexf xxx x 0x 解：100lim( )lim0xxxf xe 00lim( )l

13、im tan0 xxf xx 故在处不连续。0x 8. 函数在处是否可导？1 ,0( )1,0tan ,0xexf xxx x 0x 解：因为 100( )(0)1limlimxxxf xfe xx 所以在处不可导。0x 9. 求抛物线与直线所围成图形的面积.2yxyxDA解: 求解方程组得直线与抛物线的交点为，见图 6-9，所以该2yxyx 0 0x y 1 1x y 图形在直线与 x=1 之间，为图形的下边界，为图形的上边界，故0x 2yxyx.1131220 0011 236xAxx dxx10. 计算由抛物线与直线围成的图形的面积.22yx4yxDA解：求解方程组得抛物线与直线的交点和

14、，见图 6-10，下面分两224yxyx(2, 2)(8,4)种方法求解.方法 1 图形夹在水平线与之间，其左边界，右边界，D2y 4y 22yx 4xy故 .422342 24418226yyyAydyy 方法 2 图形夹在直线与之间，上边界为，而下边界是由两条曲线D0x 8x 2yx与分段构成的，所以需要将图形分成两个小区域，故2yx 4yxD1D2D28022(2 )24Axxdxxxdx .23 2022 23x832 222241832xxx11. 设是由方程确定的函数，求ysinyyyxey解：两边对求导得xcosyyyyyexe y整理得1 cosyyeyyxe12.求证： ln

15、1,1xxx证明：令( )(1)lnf xxx因为 11( )10xfxxx 所以，。( )0f x 1x 13. 设是由方程确定的函数，求y1yyxe y解：两边对求导得xyyyexe y整理得1yyeyxe14. 讨论函数的单调性并求其单调区间32( )29123f xxxx解： 2( )61812fxxx由得2( )618120fxxx121,2xx所以在区间上单调增，在区间上单调减，在区间上单调增。( )f x(,1)(1,2)(2,)15.求证： 21xex证：令( )21xf xex因为得，又因为( )20xfxeln2x (ln2)22ln2 10f 所以。( )0f x 16.

16、 求函数的间断点并确定其类型3(1)( )xxf xxx解：由分母得间断点。30xx0,1xx 因知是可去间断点； 0lim( )1 xf x 0x 因知也是可去间断点21111lim( )lim12xxxf xx1x 因知也是可去间断点21111lim( )lim12xxxf xx1x 四、解方程四、解方程1. 求方程的通解.0)(22dyxyxdxy解 原方程可化为，22xxyy dxdy 上式右边分子分母同除得2x， 1)(2xyxydxdy此为齐次方程，因而令，则代入上式得xyu dxduxudxdy，12uu dxduxu分离变量得 ，duuu xdx1两边积分得 ，Cuuxlnln

17、ln从而有 ，uexcu用回代即得原方程的通解 .xyu xy Cey 2. 20yyy解：原方程可化为：()0dyydx积分得：4 分1yyc即21dycdx积分得8 分2 12yc xc3. 求方程的一个特解.22yyyx解 由于方程中且，故可设特解为10q 2 2( )P xx,2yAxBxC则 .2,2yAxB yA代入原方程有 .22( 4)(22)AxAB xABCx 比较两边同次幂的系数得，140220AABABC 解得 ,1,4,6ABC所以，所求的特解为.246yxx4. 求方程的通解.3595xyyyxe解 分两步求解. （1）求对应齐次方程的通解.对应齐次方程 ,590yyy特征方程为 ,2690rr解得 .123rr 于是得到齐次方程的通解为590yyy.3 12()xYCC x e（2）求原方程的一个特解因为是特征方程的重根,是一次式，所以可设3 ( )5nP xx23(),xyxAxB e求导得 3323(33 )2,xyeAxAB xBx3329( 189 )(612 )2,xyeAxAB xAB xB 代入原方程并约去得3xe,625AxBx比较等式两边的系数得 65, 20A B 解得 .5 6 0AB 从而得原方程的一个特解.335 6xyx e 于是原方程的通解为.33 215()6xyyYxC xC e