高级中学数学概率与统计解答题-)汇总.doc

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1、概率与统计解答题概率与统计解答题1、A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4 只小白鼠组成，其中只小白鼠组成，其中 2 只服用只服用 A，另，另 2 只服用只服用 B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服，然后观察疗效。若在一个试验组中，服 用用 A 有效的小白鼠的只数比服用有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A 有效的概率为有效的概率为,服用服用 B 有效的概率为有效的概率为.32 21（）求一个试验组为甲

2、类组的概率；）求一个试验组为甲类组的概率；（）观察）观察 3 3 个试验组，用个试验组，用表示这表示这 3 3 个试验组中甲类组的个数，求个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期的分布列和数学期望。望。（）解：设 A 表示事件“一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠有 i 只” ，i=0，1，2；iB 表示事件“一个试验组中，服用 B 有效的小白鼠有 i 只” ，i=0，1，2 i依题意有 P(A )=2 = , P(A )= = , P(B )= = , P(B )=2 = ,11 32 34 922 32 34 901 21 21 411 21 21 2所求的概率为 p=P(B A )P(

3、B A )P(B A )= = 6 分0102121 44 91 44 91 24 94 9（） 的可能取值为 0，1，2，3，且 B(3, ), 4 9 P(=0)=( )3=, P(=1)=C ( )2=, P(=2)=C ( )2 =, 5 9125 729134 95 9100 243234 95 980 243P(=3)=( )3= 的分布列为4 964 7290123p125 729100 24380 24364 729数学期望 E=3 = 12 分4 94 32、设、设b和和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程表示方程

4、20xbxc实根的个数（重根按一个计）实根的个数（重根按一个计） （）求方程）求方程20xbxc有实根的概率；有实根的概率；（）求）求的分布列和数学期望；的分布列和数学期望；（）求在先后两次出现的点数中有）求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程的条件下，方程20xbxc有实根的概率有实根的概率.解:（I）基本事件总数为6 636，若使方程有实根，则240bc ，即2bc。当1c 时，2,3,4,5,6b ； 当2c 时，3,4,5,6b ；当3c 时，4,5,6b ； 当4c 时，4,5,6b ； 当5c 时，5,6b ； 当6c 时，5,6b , 目标事件个数为54332219, 因

5、此方程20xbxc 有实根的概率为19.36(II)由题意知，0,1,2，则 17(0)36P，21(1),3618P17(2)36P，故的分布列为012P17 361 1817 36的数学期望171170121.361836E (III)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M， “方程20axbxc 有实根” 为事件N，则11()36P M ，7()36P MN ， ()7()()11P MNP N MP M.3、如图是在竖直平面内的一个、如图是在竖直平面内的一个“通道游戏通道游戏”图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交 点处相遇，若竖直线段有第

6、一条的为第一层，有二条的为第二层，点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，依次类，依次类 推现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动记小弹子落入第推现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动记小弹子落入第n层第层第m个竖直通个竖直通道（从左至右）的概率为道（从左至右）的概率为( ,)P n m （已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）每个通道）（）求）求(2,1), (3,2)PP的值，并猜想的值，并猜想( ,)P n m的表达式的表达式 （不必证明）（不必证明）（）设小弹子落入第）设小弹子落入第 6 层第层第m个竖直通道得

7、到分数为个竖直通道得到分数为，其中，其中4,13 3,46mm mm，试求，试求的分布列及数学期望的分布列及数学期望第 1 层 第 2 层 第 3 层 第 4 层 入口 解：（1）01 0 1111(2,1)222PC ，2 分11 1 2111(3,2)222PC 4 分1 1 1( ,)2m n nCP n m 6 分（2）01 55 5515(6,1)(6,6), (6,2)(6,5),232232CCPPPP2 5 510(6,3)(6,4)232CPP321P2 3210 3220 32 9 分 23 16E12 分4、2009 年年 10 月月 1 日，为庆祝中华人们共和国成立日，

8、为庆祝中华人们共和国成立 60 周年，来自北京大学和清华大学的周年，来自北京大学和清华大学的 共计共计 6 名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是3 5。（1）求）求 6 名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的

9、概率；（3）设随机变量）设随机变量 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求 分布列及期分布列及期 望。望。 解：（1）记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件 A，则 A 的对立事 件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者 x 个，1x6， 那么 P（A）=2 6 2 6315xC C ，解得 x=2，即来自北京大学的志愿者有 2 人，来自清华大学志愿者 4 人； -3 分 （2）记清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人为事件 E，那么 P（E）=11 24 2 6C C C=8 15，所以

10、清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是8 15；-6 分（3） 的所有可能值为 0，1，2，P（=0）=2 4 2 6C C=2 5，P（=1）=11 24 2 6C C C8 15， P（=2）=2 2 2 6C C=1 15，-8 分所以 的分布列为-11 分2812012515153E -12 分命题意图：本题考查了排列、组合、概率、数学期望等知识，考查了含有“至多、至 少、恰好”等有关字眼问题中概率的求法以及同学们利用所学知识综合解决问题的能 力。 5、小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种三种症状中的一种：兴奋、无变化（药症状

11、中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）物没有发生作用） 、迟钝若出现三种症状的概率依次为、迟钝若出现三种症状的概率依次为现对三只小白鼠注射这现对三只小白鼠注射这1 1 1,2 3 6、种药物种药物 （I I）求这）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；三只小白鼠表现症状互不相同的概率；（IIII）用）用表示三只小白鼠共表现症状的种数，求表示三只小白鼠共表现症状的种数，求的颁布列及数学期望的颁布列及数学期望解：（）用表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟(12,3)iA i ，钝，用表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，(12,3)iB i ，用表示第三只

12、小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝.(12,3)iC i ，三只小白鼠反应互不相同的概率为3 分3 3123()PA P AB C5 分111162366（）可能的取值为321 ，.,3331112223331111(1)()2366PP ABCA B CA B C，8 分61)3(P或32 61 611)3() 1(1)2(PPP.10 分2 311211322122333133222 2 32222(2)()1111(2326111111112)363262633PCP ABCABCA B CA B CA B CA B CC所以，的分布列是123P61 32 61所以，12 分

13、2213322611E6、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽 取该流水线上的取该流水线上的 4040 件产品作为样本称出它们的重量（单位：件产品作为样本称出它们的重量（单位： 克）克） ，重量的分组区间为，重量的分组区间为，500,495，. . . . . . ，495,490. .由此得到样本的频率分布直方图，如图所示由此得到样本的频率分布直方图，如图所示515,510 （）根据频率分布直方图，求重量超过）根据频率分布直方图，求重量超过 505505 克的产品数量；克的产品数量；（）在上述抽取的在上述抽取的 4040

14、件产品中任取件产品中任取 2 2 件，设件，设为重量超过为重量超过505505 克的产品数量，求克的产品数量，求的分布列；的分布列； （）从流水线上任取）从流水线上任取 5 5 件产品，估计其中恰有件产品，估计其中恰有 2 2 件产品的重量超过件产品的重量超过 505505 克的概率克的概率. . 解：（）重量超过 505 克的产品数量是件 -2 分12)501. 0505. 0(40（）的所有可能取值为 0,1,2 （只有当下述没做或都做错时，此步写对给 1 分） , 2 28 2 4063(0)130CPC11 1228 2 4056(1)130C CPC2 12 2 4011(2)130

15、CPC（以上（）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣 1 分） 的分布列为-9 分（每个 2 分，表 1 分）（）由（）的统计数据知，抽取的 40 件产品中有 12 件产品的重量超过 505 克， 其频率为，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过 505 克的概率为3 . 0 ，令为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数，则，-3 . 0)3 . 0 , 5( B -11 分故所求的概率为 -13 分3087. 0)7 . 0()3 . 0()2(322 5Cp012P13063 13056 130117 7、张先生家住张先生家住 H 小区，他工作在小区，他工作在 C 科技园区，

16、从家开车到公司上班路上有科技园区，从家开车到公司上班路上有 L1，L2两两条路线（如图）条路线（如图） ，L1路线上有路线上有 A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路路1 2线上有线上有 B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，3 43 5 （）若走）若走 L1路线，求最多遇到路线，求最多遇到 1 次红灯的概率；次红灯的概率； （）若走）若走 L2路线，求遇到红灯次数路线，求遇到红灯次数的数学期望；的数学期望；X （）按照）按照“平均遇到红灯次数最少平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从的

17、要求，请你帮助张先生从 上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由 解：（）设走 L1路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件，则 4 分0312 331111( )=( )( )2222P ACC所以走 L1路线，最多遇到 1 次红灯的概率为1 2 （）依题意，的可能取值为 0，1，2 X， 331(=0)=(1) (1)4510P X，33339(=1)=(1)(1)454520P X 8 分339(=2)=4520P X随机变量的分布列为：X X012P1 109 209 20 11 分1992701210202020EX （）设选择 L

18、1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，YY1(3, )2YB:所以 1213322EY 分 因为，所以选择 L2路线上班最好 14 分EXEY 8 8、某商场一号电梯从某商场一号电梯从 1 层出发后可以在层出发后可以在 2、3、4 层停靠层停靠.已知该电梯在已知该电梯在 1 层载有层载有 4 位位 乘客，假设每位乘客在乘客，假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的层下电梯是等可能的. ()() 求这求这 4 位乘客中位乘客中至少有一名乘客在第至少有一名乘客在第 2 2 层下电梯的概率；层下电梯的概率； ()() 用用表示表示 4 4 名乘客在第名乘客在第 4 4 层下电梯的人数层下

19、电梯的人数，求求的分布列和数学期望的分布列和数学期望. .XX 解：() 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为, 1 分A由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是， 3 分1 3HCA1A2B1B2L1L2A3则. 6 分4265( )1( )1381P AP A () 的可能取值为 0,1,2,3,4, 7 分X由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，1 3所以，. 9 分1(4, )3XB:X01234 P16 8132 8124 818 811 8111 分. 13 分14()433E X 9、甲班有甲班有 2 2 名男乒乓球选手和

20、名男乒乓球选手和 3 3 名女乒乓球选手，乙班有名女乒乓球选手，乙班有 3 3 名男乒乓球选手和名男乒乓球选手和 1 1 名女名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选 2 2 名选手参加体育交流活动名选手参加体育交流活动. .（）求选出的）求选出的 4 4 名选手均为男选手的概率名选手均为男选手的概率. .（）记）记为选出的为选出的 4 4 名选手中女选手的人数，求名选手中女选手的人数，求的分布列和期望的分布列和期望. .XX 解：解：（）事件表示“选出的 4 名选手均为男选手”.由题意知A3 分2 3 22 54( )CP AC C. 5 分111 10220

21、（）的可能取值为. 6 分X0,1,2,3， 7 分2 3 22 5431(0)10 620CP XC C， 9 分1121 2333 22 542 3 337(1)10 620C C CCP XC C ， 10 分21 33 22 543 33(3)10 620C CP XC C. 11 分(2)1(0)(1)(3)P XP XP XP X 9 20的分布列：X X0123P1 207 209 203 20 12 分. 13 分179317()01232020202010E X 1010、某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当某校选拔若干名学生组建数学奥林匹

22、克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当 第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立。根据甲、乙、丙三人现第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立。根据甲、乙、丙三人现 有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4。第二次选拔，。第二次选拔， 甲、乙、丙三人合格的概率依次为甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5。 （1 1）求第一次选拔后甲、乙两人中只）求第一次选拔后甲、乙两人中只 有甲合格的概率；有甲合格的概率； （2 2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格

23、的概率；）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率； （3 3）设甲、乙、丙经过前后两次选拔后恰有两人合格的的概率；）设甲、乙、丙经过前后两次选拔后恰有两人合格的的概率；解：（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件1A、1B；设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则11( )()P EP A B0.5 0.40.2 4 分（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件A、B、C，则( )0.5 0.60.3P A ，( )0.60.50.3P B ， ( )0.40.50.2P C 。 8 分（3）经过前后两次选拔后合格入选的人数为，则0、1、2、3。则 (0)0.70

24、.70.80.392P，(1)P 0.3 0.70.80.70.3 0.80.70.70.20.434， (3)0.3 0.3 0.20.018P (2)P1(0.3920.4340.018) 0.156（或者(2)P 0.3 0.3 0.80.70.3 0.2 0.3 0.70.20.156） 。 的概率分布列为0123P0.3920.4340.1560.018400.3921 0.43420.1563 0.0180.85E 。 12 分1111、 、某工厂有某工厂有 120 名工人，其年龄都在名工人，其年龄都在 2060 岁之间，岁之间，各年龄段人数按各年龄段人数按20，30)，30,40

25、)，40，50)，50，60分组，其频率分布直方图如下图所示分组，其频率分布直方图如下图所示.工厂为了开发新工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A、B 两项培训，培训结束后进行结业考试，已知各年两项培训，培训结束后进行结业考试，已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示.假假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响。设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响。(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为 40 的样本，求各年龄段

26、应分别抽取的人的样本，求各年龄段应分别抽取的人数，并估计全厂工人的平均年龄；数，并估计全厂工人的平均年龄；(2)随机从年龄段随机从年龄段20，30)和和30,40)中各抽取中各抽取 1 人，设这两人中人，设这两人中 A、B 两项培训结业考试成两项培训结业考试成绩都优秀的人数为绩都优秀的人数为 X，求，求 X 的分布列和数学期望。的分布列和数学期望。解：（1）由频率分布直方图知，年龄段20,30,30,40,40,50,50,60，的人数的频率分别为0.35, 0.40 ,0.15, 0.1；因为0.35 4014 0.4 4016 0.15 406 0.1 404；所以年龄段20,30,30,

27、40,40,50,50,60，应取的人数分别为 14；16；6；4；3 分因为各年龄组的中点值分别为 25；35；45；55；对应的频率分别为0.35, 0.40 ,0.15, 0.1；则25 0.3535 0.445 0.1555 0.135X 由此估计全厂工人的平均年龄为 35 岁. 6 分（2）因为年龄段20,30的工人数为120 0.3542人，从该年龄段任取 1 人，由表知，此人 A 项培训结业考试成绩优秀的概率305 427 ；B 项培训结业考试成绩优秀的概率183 427所以 A,B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为15 49。8 分年龄分组年龄分组A 项培训成绩优秀人数项培训

28、成绩优秀人数B 项培训成绩优秀人数项培训成绩优秀人数20，30)301830，40)36362 24 440，50)12950,604 43因为年龄段30,40的工人数为120 0.448人，从该年龄段任取 1 人，由表知，此人 A 项培训结业考试成绩优秀的概率363 484 ；B 项培训结业考试成绩优秀的概率241 482 。 所以 A,B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为3 8。10 分由题设 X 的可能取值为 0,1,2；153170155343177(0)(1)(1); (1)498392498498392P XP X31545(2)849392P X , 267()392E X 。

29、 12 分1212、 某研究机构对高三学生的记忆力某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力和判断力 y 进行统计分析，得下表数据进行统计分析，得下表数据 x681012 y2356（1）请画出上表数据的散点图；）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于关于 x 的线性回归方程的线性回归方程ybxa；（3）试根据（）试根据（II）求出的线性回归方程，预测记忆力为）求出的线性回归方程，预测记忆力为 9 的同学的判断力。的同学的判断力。（相关公式：（相关公式：1221,.nii i ni ix ynx y baybx x

30、nx ）解：（）如右图：3 分 ()解：yxinii 1=62+83+105+126=158，x=68 10 1294 ，y=235644 ，222221681012344niix，21584 9 4140.73444 920b ，40.7 92.3aybx ，故线性回归方程为0.72.3yx 10 分()解：由回归直线方程预测，记忆力为 9 的同学的判断力约为 4. 12 分13、某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为、某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成绩样本，得的学生成绩样本，得频率分布表如下：频率分布表如下：组号组号分组分组频数频数频率频率第一

31、组第一组230,23580.16第二组第二组235,2400.24第三组第三组240,24515第四组第四组245,250100.20第五组第五组250,25550.10合合 计计501.00(1)写出表中写出表中位置的数据位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在在(2)的前提下，高校决定在这的前提下，高校决定在这 6 名学生中录取名学生中录取 2 名学生，求

32、名学生，求 2 人中至少有人中至少有 1 名是第名是第四组的概率四组的概率 解解：(1) 位置的数据分别为 12、0.3； 4 分(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为 3、2、1； 8 分(3) 设上述 6 人为 abcdef(其中第四组的两人分别为 d，e)，则从 6 人中任取 2 人的所有情形为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共有 15 种10 分记“2 人中至少有一名是第四组”为事件 A，则事件 A 所含的基本事件的种数有 9 种所以，故 2 人中至少有一名是第四组的概率为 14 分93( )155P A 3 514、某市举行

33、一次数学新课程培训，共邀请、某市举行一次数学新课程培训，共邀请 1515 名研究不同版本教材的骨干教师，数据如下名研究不同版本教材的骨干教师，数据如下 表所示：表所示：版本版本人教人教 A A 版版人教人教 B B 版版性别性别男教师男教师女教师女教师男教师男教师女教师女教师人数人数6 63 34 42 2 ()()从这从这 1515 名教师中随机选出名教师中随机选出 2 2 名，则名，则 2 2 人恰好是研究不同版本教材的男教师的概率人恰好是研究不同版本教材的男教师的概率 是多少？是多少？ ()()培训活动随机选出培训活动随机选出 2 2 名代表发言，设发言代表中研究人教名代表发言，设发言代

34、表中研究人教 B B 版教材的女教师人数为版教材的女教师人数为，求随机变量，求随机变量的分布列和数学期望的分布列和数学期望E. .解：()从 15 名教师中随机选出 2 名共2 15C种选法， (2 分)所以这 2 人恰好是研究不同版本教材的男教师的概率是11 64 2 158 35C C C。 (4 分)()由题意得0,1,2(6 分)2 13 2 1526(0)35CPC； 11 213 2 1526(1)105C CPC；20 213 2 151(2)105C CPC(9分)故的分布列为012p 3526 10526 1051(10 分)所以，数学期望2626140123510510515E (12 分)