高数学习总结分析题及其答案.doc

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1、高等数学（下）模拟试卷一一、一、 填空题填空题（每空 3 分，共 15 分）（1）函数11zxyxy的定义域为 （2）已知函数arctanyzx ，则z x （3）交换积分次序，2220( , )yydyf x y dx （4）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则() Lxy ds（5）已知微分方程230yyy，则其通解为 二、选择题二、选择题（每空 3 分，共 15 分）（1）设直线L为3210 21030xyz xyz ，平面为4220xyz，则（ ） A. L平行于 B. L在上 C. L垂直于 D. L与斜交（2）设是由方程2222xyzxyz确定，则在点(1,0, 1)

2、处的 dz （ ）A.dxdyB.2dxdyC.22dxdyD.2dxdy（3）已知是由曲面222425()zxy及平面5z 所围成的闭区域，将22()xydv在柱面坐标系下化成三次积分为（ ）A.2253000dr drdzB. 2453000dr drdzC. 2253 5002rdr drdzD. 2252000dr drdz（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 2（5）微分方程3232xyyyxe的特解y的形式为y（ ） A. B.()xaxb xeC.()xaxbceD. ()xaxbcxe 三、计算题三、计算题（每题 8 分，共 48 分）1、

3、 求过直线1L:123 101xyz且平行于直线2L：21 211xyz 的平面方程2、 已知22(,)zf xyx y，求z x ， z y 3、 设22( , )4Dx y xy，利用极坐标求2Dx dxdy4、 求函数22( , )(2 )xf x yexyy的极值 得分阅卷人5、计算曲线积分2(23sin )()yLxyx dxxedy， 其中L为摆线sin1 cosxttyt 从点 (0,0)O到( ,2)A的一段弧6、求微分方程 xxyyxe满足 11xy的特解四.解答题解答题（共 22 分）1、利用高斯公式计算22xzdydzyzdzdxz dxdy A ，其中由圆锥面22zxy

4、与上半球面222zxy所围成的立体表面的外侧 (10 ) 2、 （1）判别级数1 1 1( 1)3n n nn 的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛； （6）（2）在( 1,1)x 求幂级数1nnnx 的和函数（6）高等数学（下）模拟试卷二一填空题一填空题（每空 3 分，共 15 分）（1）函数2224 ln(1)xyzxy的定义域为 ； （2）已知函数xyze，则在(2,1)处的全微分dz ；（3）交换积分次序，ln10( , )exdxf x y dy ；（4）已知L是抛物线2yx上点(0,0)O与点(1,1)B之间的一段弧，则Lyds ；（5）已知微分方程20yyy，则其通解为

5、. 二选择题二选择题（每空 3 分，共 15 分）（1）设直线L为30 0xyz xyz ，平面为10xyz ，则L与的夹角为（ ） ；A. 0 B. 2C. 3D. 4（2）设是由方程333zxyza确定，则z x（ ） ；A. 2yz xyzB. 2yz zxyC. 2xz xyzD. 2xy zxy（3）微分方程256xyyyxe的特解y的形式为y（ ） ； A.2()xaxb eB.2()xaxb xeC.2()xaxbceD.2()xaxbcxe（4）已知是由球面2222xyza所围成的闭区域, 将dv在球面坐标系下化成 三次积分为（ ） ；A222 000sinaddr dr B.

6、22 000addrdrC.2000addrdrD.22000sinaddr dr （5）已知幂级数121 2n n nnx ，则其收敛半径（ ）.A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 2三计算题三计算题（每题 8 分，共 48 分）5、 求过(0,2,4)A且与两平面1:21xz和2:32yz平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yzfxy e，求z x ， z y .7、 设22( , )1,0Dx y xyyx，利用极坐标计算arctanDydxdyx.8、 求函数22( , )56106f x yxyxy的极值.9、 利用格林公式计算(sin2 )(cos2)xxLe

7、yy dxeydy，其中L为沿上半圆周222(),0xayay、从(2 ,0)Aa到(0,0)O的弧段.6、求微分方程 3 2(1)1yyxx的通解. 四解答题解答题（共 22 分）1、 （1） （6）判别级数11( 1)2 sin3nn n n 的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件 收敛； （2） （4）在区间( 1,1)内求幂级数1nnx n 的和函数 . 2、(12 ) 利用高斯公式计算2xdydzydzdxzdxdy，为抛物面22zxy (01)z的下侧高等数学（下）模拟试卷三一一 填空题填空题（每空 3 分，共 15 分）1、 函数arcsin(3)yx的定义域为 .2、22(2

8、)lim332nn nn = .得分阅卷人得分3、已知2ln(1)yx，在1x 处的微分dy .4、定积分1200621(sin)xxx dx .5、求由方程57230yyxx所确定的隐函数的导数dy dx. 二选择题二选择题（每空 3 分，共 15 分）1、2x 是函数221 32xyxx的 间断点 （A）可去 （B）跳跃 （C）无穷 （D）振荡2、积分1201xdx x= .(A) (B) (C) 0 (D) 13、函数1xyex在(, 0内的单调性是 。（A）单调增加； （B）单调减少； （C）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。4、1sinxtdt的一阶导数为 . （A）s

9、in x （B）sin x（C）cosx （D）cosx5、向量1,1, ak 与2,2,1b 相互垂直则k . （A）3 （B）-1 （C）4 （D）2三计算题（3 小题，每题 6 分，共 18 分）1、求极限123lim()21xxx x 2、求极限30sinlim xxx x3、已知lncosxye，求dy dx 四计算题（4 小题，每题 6 分，共 24 分）1、已知22 1txyt ，求22d y dx2、计算积分2cosxxdx3、计算积分10arctan xdx4、计算积分2202x dx五觧答题（3 小题，共 28 分）1、(8 ) 求函数42341yxx的凹凸区间及拐点。2、

10、(8 ) 设1101( )101xxxf x xe 求20(1)f xdx3、 （1）求由2yx及2yx所围图形的面积；(6 ) （2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。(6 ) 高等数学（下）模拟试卷四一一 填空题填空题（每空 3 分，共 15 分）1、 函数211yxx 的定义域为 .2、0,0axedx a= .3、已知sin(21)yx，在0.5x 处的微分dy .4、定积分121sin 1xdxx= .5、函数43341yxx的凸区间是 . 二选择题二选择题（每空 3 分，共 15 分）1、1x 是函数21 1xyx的 间断点 （A）可去 （B）跳跃 （C）无穷 （D）振荡2、若0

11、()0,(0)0,(0)1, lim xf axaffx = (A)1 (B)a (C)-1 (D) a3、在0, 2 内函数sinyxx是 。（A）单调增加； （B）单调减少； （C）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。4、已知向量4,3, 4a 与向量2, 2,1b 则a b 为 . （A）6 （B）-6 （C）1 （D）-35、已知函数( )f x可导，且0()f x为极值，( )f xye，则0x xdy dx.（A）0()f xe（B）0()fx（C）0 （D）0()f x三计算题（3 小题，每题 6 分，共 18 分）1、求极限10lim(1-)kxxkx2、求极限12

12、cos 20sin limsinxxt dtxx3、已知1lnsinxye，求dy dx 四 计算题（每题 6 分，共 24 分）1、设10yexy 所确定的隐函数( )yf x的导数0xdy dx。2、计算积分arcsin xdx3、计算积分350sinsinxxdx4、计算积分3220,0 3axdx a ax 五觧答题（3 小题，共 28 分）1、(8 ) 已知2223 1 3 1atxt atyt ，求在2t 处的切线方程和法线方程。2、(8 ) 求证当0ab时，1lnln1ab aabb3、 （1）求由3yx及0,2yx所围图形的面积；(6 ) （2）求所围图形绕y轴旋转一周所得的体

13、积。(6 ) 高等数学（下）模拟试卷五一一 填空题填空题（每空 3 分，共 21 分） 1函数yyxz)ln( 的定义域为 。2已知函数22yxez，则dz。3已知xyez ，则 )0, 1(xz。4设 L 为122 yx上点 0 , 1到0 , 1的上半弧段，则ds L2。5交换积分顺序xedyyxfdxln01),(。6.级数1) 1(nnn是绝对收敛还是条件收敛？ 。7微分方程xysin的通解为 。二选择题二选择题（每空 3 分，共 15 分） 1函数yxfz,在点00, yx的全微分存在是yxf,在该点连续的（ ）条件。 A充分非必要 B必要非充分 C充分必要 D既非充分，也非必要2平

14、面012:1zyx与022:2zyx的夹角为（ ） 。A6B4C2D33幂级数1)5(nnnx的收敛域为（ ） 。A6 , 4B6 , 4C6 , 4D 6 , 44设)(),(21xyxy是微分方程0)()( yxqyxpy的两特解且)()(21 xyxy常数，则下列（ ）是其通解（21,cc为任意常数） 。A)()(211xyxycyB)()(221xycxyyC)()(21xyxyyD)()(2211xycxycy5zdv 在直角坐标系下化为三次积分为（ ） ，其中为3,0,3,0xxyy， 0,3zz所围的闭区域。A033300dxdyzdzB333000dxdyzdzC 303030

15、dxdyzdzD330003dxdyzdz 三计算下列各题（共三计算下列各题（共21分，每题分，每题7分）分）1、已知0lnxyezz，求yz xz , 。2、求过点)2 , 0 , 1 (且平行直线322 11zyx的直线方程。3、利用极坐标计算Ddyx)(22，其中 D 为由422 yx、0y及xy 所围的在 第一象限的区域。 四求解下列各题（共四求解下列各题（共20分，第分，第1题题8分，第分，第2题题12分）分） 1、利用格林公式计算曲线积分dyyxxydxeyxL)sin52()(22，其中 L 为圆域D： 422 yx的边界曲线，取逆时针方向。 2、判别下列级数的敛散性：111)

16、1() 1 (nn n 21(2)3nnn五、求解下列各题（共五、求解下列各题（共23分，第分，第1、2题各题各8分，第分，第3题题7分）分） 1、求函数13321),(23yxyxyxf 的极值。2、求方程xeydxdy 满足20xy的特解。 3、求方程282xyyye的通解。高等数学（下）模拟试卷六一、填空题一、填空题：（每题3分,共 21 分.）1函数arccos()zyx的定义域为 。2已知函数ln()zxy，则2,1z x。3已知22sinzxy，则dz。4设 L 为1yx上点( 1,0)到 1 , 0的直线段，则2 Lds 。5将2112200()xdxf xydy化为极坐标系下的

17、二重积分 。6.级数12) 1(nnn是绝对收敛还是条件收敛？ 。7微分方程2yx 的通解为 。 二、选择题选择题：（每题 3 分,共 15 分.）1函数yxfz,的偏导数在点00, yx连续是其全微分存在的（ ）条件。 A必要非充分， B充分， C充分必要， D既非充分，也非必要，2直线22:110xyzl 与平面:23xyz的夹角为（ ） 。A6B3C2D43幂级数2 13nn nx n 的收敛域为（ ） 。 A( 3,3)B 3,3C( 3,3D 3,3)4.设*( )yx是微分方程)()()(xfyxqyxpy 的特解，( )y x是方程( )yp x y ( )q x y 0的通解，

18、则下列（ ）是方程)()()(xfyxqyxpy 的通解。A( )y xB*( )( )y xyxC*( )yxD *( )( )yxy x52z dv在柱面坐标系下化为三次积分为（ ） ，其中为2222xyzR的上 半球体。A22000RRdrdrz dzB22000Rrdrdrz dzC2222000RRrddrz dzD2222000RRrdrdrz dz三、计算下列各题（共三、计算下列各题（共18分，每题分，每题6分）分）1、已知335zxyz，求yz xz ,2、求过点(1,0,2)且平行于平面235xyz的平面方程。3、计算22()Dxydxdy，其中 D 为yx、0y 及1x 所

19、围的闭区域。 四、求解下列各题（共四、求解下列各题（共25分，第分，第1题题 7 7 分分, ,第第2题题8分，第分，第3题题10分）分） 1、计算曲线积分2()(sin ) Lxy dxxy dy，其中 L 为圆周22xxy上点)0 , 0(到 ) 1 , 1 (的一段弧。2、利用高斯公式计算曲面积分：xdydzydzdxzdxdy A，其中是由220,3,1zzxy所围区域的整个表面的外侧。 3、判别下列级数的敛散性：) 1 (21( 1)lnnnnn nn 3sin4)2(1 五、求解下列各题（共五、求解下列各题（共21分分, ,每题每题7分）分） 1、求函数123163),(232yy

20、xxyxf 的极值。2、求方程xdyyedx 满足01xy的特解。3、求方程 yyy65(1)xxe的通解。高等数学（下）模拟试卷七一一 填空题填空题（每空 3 分，共 24 分）1二元函数22221() 25z xyxy 的定义域为 2一阶差分方程121 35ttyy的通解为 3yzx的全微分dz_40ydxxdy的通解为 _5设xyzarctan ，则z x_6微分方程250yyy的通解为 7若区域4| ),(22yxyxD，则Ddxdy28级数01 2nn 的和 s= 二选择题：择题：（每题 3 分，共 15 分）1yxf,在点ba,处两个偏导数存在是yxf,在点ba,处连续的 条件 （

21、A）充分而非必要 （B）必要而非充分 （C）充分必要 （D）既非充分也非必要 2累次积分100( , )xdxf x y dy改变积分次序为 (A) 1100( , )dyf x y dx（B）100( , )xdyf x y dx（C）2100( , )ydyf x y dx（D）2110( , ) ydyf x y dx3下列函数中， 是微分方程356xyyyxe的特解形式(a、b 为常数) （A）xebaxy3)(（B） xebaxxy3)(（C）xebaxxy32)(（D） xaey34下列级数中，收敛的级数是 （A） 1121nn （B） 121nn n（C） 1( 3) 2nn n

22、（D） 1( 1)nnn5设2224xyzz，则z x (A) x z (B) 2x z (C) 2x z (D) x z三、求解下列各题三、求解下列各题（每题 7 分，共 21 分）1. 设2ln ,34xzuvuvxyy而 ，求yz xz ,2. 判断级数13 2nn nn 的收敛性 3.计算22xyDedxdy，其中 D 为221xy所 围区域 四、计算下列各题四、计算下列各题（每题 10 分，共 40 分）1. 求微分方程1lnyyxx 的通解.2.计算二重积分DIxy dxdy，其中D是由直线,1yx x及x轴围成的平面区域.3.求函数32( , )6125f x yyxxy的极值.

23、4.求幂级数2 14nn nx n 的收敛域.高等数学（下）模拟试卷一参考答案一、填空题一、填空题：（每空 3 分，共 15 分）1、 ( , )|0,0x yxyxy2、22y xy3、4102( , )xxdxf x y dy4、2 5、3 12xxyC eC e二、选择题：二、选择题：（每空 3 分，共 15 分） 1.C2.D3.C4A5.D三、计算题三、计算题（每题 8 分，共 48 分）1、解： 12(1,2,3)1,0, 12,1,1Ass 2121013 211ijk nssijk 6平面方程为 320xyz82、解： 令22uxyvx y22 122zzuzvfyfxyxux

24、vx 62 122zzuzvfxyfxyuyvy83、解：:0202Dr， 3得分阅卷人222322300coscosDDx dxdyrdrddr dr 484解： 222( , )(2241)0( , )(22)0x xx yfx yexyyfx yey得驻点1( ,1)242222( , )(4484),( , )(44),( , )2xxx xxxyyyAfx yexyyBfx yeyCfx ye62220,40AeACBe极小值为11( ,1)22fe 85解：223sin ,yPxyxQxe，有2,PQxyx 曲线积分与路径无关 2积分路线选择：1:0,Lyx从0，2:,Lxy从02

25、4122(23sin )()yLLLxyx dxxedyPdxQdyPdxQdy2222003sin()27yxdxedye86解：11,xxyyePQexx2通解为11( )( )( )dxdxP x dxP x dxxxxyeQ x edxCee edxC411(1)xxexdxCxeCxx6代入11xy，得1C ，特解为1(1)1xyxex8四、解答题解答题1、解：22(22 )xzdydzyzdzdxz dxdyzzz dvzdvA43cossinrdrd d 6方法一： 原式2234 000cossin2ddr dr 10方法二： 原式2212120002(1)2rrdrdrzdzr

26、rdr102、解：（1）令1 1( 1)3n nnnu 1 1 1 11 31limlim1333n n nnnnnnunn un 收敛， 41 1 1( 1)3n n nn 绝对收敛。 6（2）令1 1 11( )( )nnnns xnxxnxxs x 21 11200111( )( )()11(1)xxnnnnxxs x dxnxdxxs xxxx 52( )( 1,1)(1)xs xxx 6高等数学（下）模拟试卷二参考答案 一、填空题一、填空题：（每空 3 分，共 15 分）1、 222( , )|4 ,01x yyxxy2、222e dxe dy3、10( , )yeedyf x y

27、dx4、1(5 51)125、12()xyCC x e二、选择题：二、选择题：（每空 3 分，共 15 分） 1. A 2.B3. B 4.D5. A 三、计算题三、计算题（每题 8 分，共 48 分）1、解： 12(0,2,4)1,0,20,1, 3Ann 21210223 013ijk snnijk 6直线方程为24 231xyz 82、解： 令sin cosx yuxyve212cos cosx yzzuzvfxyfexuxvx 612( sin sin )x yzzuzvfxyfeyuyvy 83、解：:0014Dr ， 3214 00arctan64DDydxdyr drddrdrx

28、 84解： ( , )260( , )10100xyfx yxfx yy得驻点(3,1)4( , )2,( , )0,( , )10xxxyyyAfx yBfx yCfx y6220,200AACB极小值为(3,1)8f 85解：sin2 ,cos2xxPeyyQey，有cos2,cos ,xxPQeyeyyx2取(2 ,0),:0,AaOAyx从02a4LOAPdxQdyPdxQdy2()2DDQPdxdydxdyaxy6原式2aOAPdxQdy220aa86解：3 21,(1)1PQxx 2通解为113( )( )112( ) (1)dxdxP x dxP x dxxxyeQ x edxC

29、exedxC413 222(1) (1)(1) (1)3xxdxCxxC8四、解答题解答题 1、解：（1）令1( 1)2 sin3nn nnu 1 112sin23limlim132 sin3n nnnnnn nu u 412 sin3n n n 收敛， 11( 1)2 sin3nn n n 绝对收敛 6（2）令1( )nnxs xn1111( )1n nnnxs xxnx ， 20( )( )(0)ln(1)xs xs x dxsx 42、解：构造曲面1:1,z上侧122xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy2221100(2 1 1)44 rdvdvdrdrdz 12

30、08(1)2r rdr468122Ixdydzydzdxzdxdy 102xyDdxdy12高等数学（下）模拟试卷三参考答案一填空题一填空题：（每空 3 分，共 15 分）1.10Xx且；2.1 a；3. 2dx；4.0；5. 20,3 或20,3二选择题：二选择题：（每空 3 分，共 15 分） 1. ;2. ;3. ;4. ;5. .ADAAC 三计算题：三计算题：1.1()420lim 11kkkkx xkxkxe 2.122 222cos 3200sin( sincos)( sin )limlim3xxxt dtxx xx 3.11lnsinlnsin42 2211111coscot1

31、sinxxdyeedxxxxx x 四计算题：计算题：1.213 0 00 ;0,0;0y xy xdyye yyxyxydxex ；2.原式2222211sinsin(1) 12 1xarcxxdxxarcxdx xx 22sin1xarcxxc3. 原式333 2312222 0024(sin ) cos(sin )sin(sin )sin5xx dxxdxxdx4.原式22333222212200(3)3333 2 3aadaxaxaaa ax 。 五解答题五解答题: :1211 1 224612,2,:43120 ,1355taaytkxyxyat 1切线法线：3x-4y+6a=02.

32、2 2211lnln1( )ln ,0 ,lnln(),abf xx xb aababab baaabb 设3.（1）24232220 044xSx dx（2） 、825822233 0 03644455yVydyyy高等数学（下）模拟试卷四参考答案一填空题一填空题：（每空 3 分，共 15 分）1.24x；2.1 3；3. dx；4. 2 3；5. 64121 25x y 。 二选择题：二选择题：（每空 3 分，共 15 分）1. C；2. D；3. B；4. B；5. C。三三1.23 33 25 32 2( 2)333111222limlim111111222x xxxxxxxexxx

33、A2.2222 22002sin1 cos12limlim336xxx x xx3.331( sin)cotcosxxxx xdyeeeedxe 四1.22223 2 21 1,d ytyttdxt ；2.42222sinsinsin2sin2 cos2sinx dxxxxxdxxxxxxc3.2121212 00201ln(1)ln2arctan14242xxxxdxx4.221212 00sin22sin,2cos2cos22txtttdtt 。五解答题五解答题1.1.3222121212,3624 ,20,3 220033yxxyxxxx24为拐点，、，为凹区间， 为凸区间2.12112

34、 001011,111(1),(2 )(2 )lnln(1)ln(2 )11,11xx xxxxf xdxdxeexexxe1 ln(1)2ln2(2 )e 3.（1） 、133124222 0 021 333xxx dxx（2） 、125144220 03 2510xxxVxx dx高等数学（下）模拟试卷五参考答案一、填空题一、填空题：（每空 3 分，共 21 分）1、0,),(yyxyx， 2、dyyedxxeyxyx222222，3、0,4、2，5、eeydxyxfdy),(10，6、条件收敛，7、cxycos（c为常数） ， 二、选择题：二、选择题：（每空 3 分，共 15 分）1、A

35、，2、D，3、A，4、D，5、B三、解：1、令xyezzyxFz ln),(1 z zx zeyz FF xz 14 z zy zexz FFyz 172、所求直线方程的方向向量可取为3 , 2, 12 则直线方程为：32 211zyx73、原式2034 0drrd 47四、解：1、令52,2,sin52),(,),(22yxQyyPyxxyyxQeyyxPx3原式dxdyyP xQD)(62082、) 1 (此级数为交错级数 1 因01lim nn，111nn), 2 , 1(n4故原级数收敛 6(2) 此级数为正项级数1因13133) 1(lim212nnnnn4 故原级数收敛 6五、解：

36、1、由033),(2 xyxfx，03),(yyxfy得驻点)3 , 1(),3 , 1 (2在)3 , 1 (处 1)3 , 1 (, 0)3 , 1 (, 6)3 , 1 (yyxyxxfCfBfA因, 02 BAC，所以在此处无极值 5在)3 , 1(处 1)3 , 1(, 0)3 , 1(, 6)3 , 1(yyxyxxfCfBfA因0, 02ABAC，所以有极大值215)3 , 1(f82、通解dxdxxecdxeey13xxcexe6 20cyx特解为xexy)2(8 3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 0822 rr有两不相等的实根4, 221rr所以对应的齐次方程的通解为 xxececy4 22 1（21,cc为常数） 3)2设其特解*( )xyxae将其代入原方程得252,5xxaeea 故特解*2( )5xyxe 6)3原方程的通解为24 12xxyc ec e2 5xe7高等数学（下）模拟试卷六参考答案一、一、填空题填空题：（每空 3 分，共 21 分）1、11),(xyxyx， 2、21，3、dyyxydxyxx)cos(2)cos(22222,4、22，5、122 00()df rrdr ，6、绝对收敛，7、cxy