勾股定理精彩资料例题详解.doc

《勾股定理精彩资料例题详解.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理精彩资料例题详解.doc（13页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、勾股定理经典例题详解勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2即直 角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释：要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角 三角。 （3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ， c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理知识点二：用面积证明勾股定理方法一：方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中，所以。方法

2、二：方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中，所以。方法三：方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）1 和（3）2 所示的两个 形状相同的正方形。在（3）1 中，甲的面积=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积） ,在（3）2 中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。，所以。知识点三：勾股定理的作用知识点三：勾股定理的作用1已知直角三角形的两条边长求第三边； 2已知直角三角形的一条边，求另 两边的关系；3用于证明平方关系的问题； 4利用勾

3、股定理，作出长为的 线段。2.2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程 x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数） ，显然，以 x,y,z 为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的： 3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25；10、24、26；9、40、4 1如果(a,b,c)是勾股数，当 t0 时，以 at,bt,ct 为三角形的三边长，此三角形必为直 角三角形。经典例题透析经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtABC 中，C=90(1)已知 a=

4、6， c=10，求 b， (2)已知 a=40，b=9，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a.思路点拨思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的 变形使用。解析：解析：(1) 在ABC 中，C=90，a=6，c=10,b=(2) 在ABC 中，C=90，a=40，b=9,c=(3) 在ABC 中，C=90，c=25，b=15,a=总结升华：总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。 如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形 的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。举一反三举一反三【变式

5、】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少?【答案】ACD=90AD=13, CD=12AC2 =AD2CD2=132122=25AC=5又ABC=90且 BC=3由勾股定理可得AB2=AC2BC2=5232=16AB= 4AB 的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，. 求：BC 的长. 思路点拨思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作 于 D，则有，再由勾股定理计算出 AD、DC 的长，进 而求出 BC 的长. 解析解析：作于 D，则因，（的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的

6、直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中，. 根据勾股定理，在中，. . 总结升华总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没 有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三举一反三【变式 1】如图，已知：，于 P. 求证：. 思路点拨思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以 BP 为边的直角三角形. 因此， 我们考虑构造一个以 BP 为一边的直角三角形. 所以连结 BM. 这样，实际上就得到了 4 个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析解析：连结 BM，根据勾股定理，在中，. 而在中，则根据勾股

7、定理有. 又 （已知），. 在中，根据勾股定理有，. 【变式 2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。分析分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的 边选第三种较为简单。解析解析：延长 AD、BC 交于 E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形 ABCD=SABE-SCDE=ABBE

8、-CDDE=类型三：勾股定理的实际应用类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 C 点。（1）求 A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。思路点拨：思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。解析解析：（1）过 B 点作 BE/ADDAB=ABE=6030+CBA+ABE=180CBA=90即ABC 为直角三角形由已知可得：BC=500m，AB

9、=由勾股定理可得：所以（2）在 RtABC 中，BC=500m，AC=1000mCAB=30DAB=60DAC=30即点 C 在点 A 的北偏东 30的方向总结升华总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出ABC 是直角三角形是 解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图 的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高 度是否小于 CH如图所示，点 D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD， 与地面交于 H解：

10、解：OC1 米 (大门宽度一半)，OD0.8 米 （卡车宽度一半）在 RtOCD 中，由勾股定理得：CD.米，C.（米）.（米）因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进 行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计 划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮 助计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计 算线路长，然后进行比较，得

11、出结论 解析解析：设正方形的边长为 1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD3，AB+BC+CD3图（3）中，在 RtABC 中同理图（3）中的路线长为 图（4）中，延长 EF 交 BC 于 H，则 FHBC，BHCH由FBH 及勾股定理得：EAEDFBFCEF12FH1此图中总线路的长为 4EA+EF32.8282.732 图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线总结升华：总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数 学知识进行计算，比较从中选出最优设计本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、 全等三角形的性质举一反三举一反三【变式】如图，

12、一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直 径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程解：解：如图，在 Rt中，底面周长的一半cm， 根据勾股定理得 （提问：勾股定理） AC （cm）（勾股定理） 答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为类型四：利用勾股定理作长为的线段的线段5、作长为、的线段。思路点拨：思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法作法：如图所示（1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角ACB，使 AB 为斜边；（2）以 AB 为一条直角边，作另

13、一直角边为 1 的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、。总结升华：总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可 自定。一般习惯用国际标准的单位，如 1cm、1m 等，我们作图时只要取定一个长为单 位即可。举一反三举一反三 【变式】在数轴上表示的点。解析：解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1。作法作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 OA=3，作 ACOA 且截取 AC=1，以 OC为半径，以 O 为圆心做弧，弧

14、与数轴的交点 B 即为。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨：思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线 上（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华：总结升华：本题是为了

15、学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC 的形状。思路点拨思路点拨：要判断 ABC 的形状，需要找到 a、b、c 的关系，而题目中只有条件 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解析解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2

16、。 由勾股定理的逆定理，得 ABC 是直角三角形。 总结升华总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中 也常要用到。 举一反三举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中，B=90， AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。【答案】：连结 ACB=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）【变式 2】已知:ABC 的三边分别为 m2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn), 判断ABC 是否为直角三角形.

17、分析分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可证明：证明：所以ABC 是直角三角形.【变式 3】如图正方形 ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且 BF=AB。请问 FE 与 DE 是否垂直?请说明。【答案】答：DEEF。证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接 DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。经典例题精析经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用

18、法类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。思路点拨：思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通 过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：解析：设此直角三角形两直角边分别是 3x，4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2202化简得 x216；直角三角形的面积3x4x6x296总结升华：总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方 程（组）求解。举一反三举一反三 【变式变式 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。【答案答案】如图，等边A

19、BC，作 ADBC 于 D则：BDBC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）ABACBC2（等边三角形各边都相等）BD1在直角三角形 ABD 中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413ADSABCBCAD注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为a。【变式变式 2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【答案答案】设此直角三角形两直角边长分别是 x，y，根据题意得：由（1）得：x+y7，（x+y）249，x2+2xy+y249 (3)(3)(2)，得：xy12直角三角形的面积是xy126（cm2）【变式变式 3】若直角三角形的三边

20、长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。思路点拨：思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长 n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为 n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2（n+3）2化简得：n24n2，但当 n2 时，n+110，n2总结升华：总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题 目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40解析：解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行

21、判断，对数据较大的可以用 c2a2+b2的变形：b2c2a2（ca）（c+a）来判 断。例如：对于选择 D，82（40+39）（4039），以 8，39，40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。 【答案】：A【变式变式 5】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边 形 ABCD 的面积。解：连结 ACB=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）S四边形 ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36类型二：勾股

22、定理的应用类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中 学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机 在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响， 已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距 离是否小于 100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并 计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要

23、求拖拉机对学校 A 的影响所行 驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学 校。 解析解析：作 ABMN，垂足为 B。 在 RtABP 中，ABP90，APB30， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一 半） 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影 响，那么 AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD100(m)， BD6

24、0(m),CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响 的时间为 24 秒。 总结升华总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通 过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三举一反三 【变式变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而 走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设 2 步 为 1m），却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为 3+47(m)设走“捷径”的路长为 xm，则

25、故少走的路长为 752(m)又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了 4 步路。【答案】4【变式变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都 是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD 的面 积是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线）。【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。（2）如图可直接得出平行四边形 ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积。（3）过 A 作 AKBC 于点 K（如图所示），则在 RtACK 中

26、，故 类型三：数学思想方法类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法（一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问 题转化为直角三角形问题来解决3、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分 别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。思路点拨：思路点拨：现已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关 键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD解解：连接 AD因为BAC=90，AB=AC 又因为 AD 为

27、ABC 的中线，所以 AD=DC=DBADBC且BAD=C=45因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90所以EDA=CDF 所以AEDCFD（ASA）所以 AE=FC=5同理：AF=BE=12在 RtAEF 中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我 们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把 它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法（二）方程的思想方法4、如图所示，已知ABC 中，C=90，A=60，求、 、的值。 思路点拨：思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。解解：在 RtABC 中，A=60，B=90-A=30，则，由勾股定理，得。因为，所以，。总结升华：总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：举一反三：【变式变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处， 已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。解：解：因为ADE 与AFE 关于 AE 对称，所以 AD=AF，DE=EF。因为四边形 ABCD 是矩形，所以B=C=90，在 RtABF 中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，所以。 所以。设，则。在 RtECF 中，即，解得。即 EF 的长为 5cm。