概率论与数理统计浙大四版习题'答案第三章.doc

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1、第三章 多维随机变量及其分布1.一 在一箱子里装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样， （2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y 如下： 若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品, 1, 0 X 若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品, 1, 0 Y试分别就（1） （2）两种情况，写出 X 和 Y 的联合分布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=3625 1210 1210P (X=0, Y=1 )=365 122 1210

2、P (X=1, Y=0 )=365 1210 122P (X=1, Y=1 )=361 122 122或写成X Y0103625 3651365 361（2）不放回抽样的情况P X=0, Y=0 =6645 119 1210P X=0, Y=1 =6610 112 1210P X=1, Y=0 =6610 1110 122P X=1, Y=1 =661 111 122或写成X Y0106645 661016610 6613.二 盒子里装有 3 只黑球，2 只红球，2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到白球的只数，求 X，Y 的联合分布律。 X Y0123

3、000353 35210356 3512 3522351 356 3530解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，联合分布律为P X=0, Y=2 =351 4 72 22 2CCCP X=1, Y=1 =356 4 72 21 21 3CCCCP X=1, Y=2 =356 4 71 22 21 3CCCCP X=2, Y=0 =353 4 72 22 3CCCP X=2, Y=1 =3512 4 71 21 22 3CCCCP X=2, Y=2 =353 4 72 22 3CCCP X=3, Y=0 =352 4 71 23 3CCCP X

4、=3, Y=1 =352 4 71 23 3CCCP X=3, Y=2 =05.三 设随机变量（X，Y）概率密度为 其它, 042, 20),6( ),(yxyxk yxf（1）确定常数 k。（2）求 P X0 时，由和的概率公式知zyzyzyxzezdyyeeyzdyyfyzfzf6)()()()(30)( 000,6)(3zzez zfzz（2）设 z 表示前两周需要量，其概率密度为 000,6)(3zzez zfzz设 表示第三周需要量，其概率密度为：000,)( xxxexfxz 与 相互独立= z + 表示前三周需要量则：0，当 u0 时uyuyueudyyeeyudyyfyufuf

5、120)(61)()()(50)(3所以 的概率密度为000120)(5uueu ufu22.二十二 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20 ）分布。随机地选取 4 只求其中没有一只寿命小于 180 小时的概率。2解：设 X1，X2，X3，X4为 4 只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：22202)160(2021)(tTe tf8413. 0)2060180(2120160202)160( 20121)180(18012180222查表令dueutdttFXfuX设 N=minX1，X2，X3，X 4P N180=P X1180, X2180, X31

6、80, X4180=P X1804=1pX1804= (0.1587)4=0.0006327.二十八 设随机变量（X，Y）的分布律为X Y012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05（1）求 P X=2|Y=2，P Y=3| X=0（2）求 V=max (X, Y )的分布律（3）求 U = min (X, Y )的分布律解：（1）由条件概率公式P X=2|Y=2=22, 2 YPYXP=08. 005. 005. 005. 003.

7、 001. 005. 0=2 . 025. 005. 0同理P Y=3|X=0=31（2）变量 V=maxX, Y 显然 V 是一随机变量，其取值为 V：0 1 2 3 4 5P V=0=P X=0 Y=0=0P V=1=P X=1，Y=0+ P X=1，Y=1+ P X=0，Y=1=0.01+0.02+0.01=0.04P V=2=P X=2，Y=0+ P X=2，Y=1+ P X=2，Y=2+P Y=2, X=0+ P Y=2, X=1=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P V=3=P X=3，Y=0+ P X=3，Y=1+ P X=3，Y=2+ P X=3，Y=3

8、+P Y=3, X=0+ P Y=3, X=1+ P Y=3, X=2=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P V=4=P X=4，Y=0+ P X=4，Y=1+ P X=4，Y=2+ P X=4，Y=3=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P V=5=P X=5，Y=0+ + P X=5，Y=3=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28（3）显然 U 的取值为 0，1，2，3P U=0=P X=0，Y=0+ P X=0，Y=3+ P Y=0，X=1+ + P Y=0，X=5=0.28同理 P U=1=0.30 P U=2=0.25

9、 P U=3=0.17或缩写成表格形式（2）V012345Pk00.040.160.280.240.28（3）U0123Pk0.280.300.250.17（4）W=V+U 显然 W 的取值为 0，1，8PW=0=PV=0 U=0=0PW=1=PV=0, U=1+PV=1U=0 V=maxX，Y=0 又 U=minX，Y=1 不可能上式中的 PV=0，U=1=0，又 PV=1 U=0=PX=1 Y=0+PX=0 Y=1=0.2故 PW=1=PV=0, U=1+PV=1，U=0=0.2PW=2=PV+U=2= PV=2, U=0+ PV=1，U=1= PX=2 Y=0+ PX=0 Y=2+PX=

10、1 Y=1=0.03+0.01+0.02=0.06PW=3=PV+U=3= PV=3, U=0+ PV=2，U=1= PX=3 Y=0+ PX=0，Y=3+PX=2，Y=1+ PX=1，Y=2 =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13PW=4= PV=4, U=0+ PV=3，U=1+PV=2，U=2=PX=4 Y=0+ PX=3，Y=1+PX=1，Y=3+ PX=2，Y=2 =0.19PW=5= PV+U=5=PV=5, U=0+ PV=5，U=1+PV=3，U=2 =PX=5 Y=0+ PX=5，Y=1+PX=3，Y=2+ PX=2，Y=3 =0.24PW=6= PV+U=6=P

11、V=5, U=1+ PV=4，U=2+PV=3，U=3 =PX=5，Y=1+ PX=4，Y=2+PX=3，Y=3 =0.19PW=7= PV+U=7=PV=5, U=2+ PV=4，U=3=PV=5，U=2 +PX=4，Y=3=0.6+0.6=0.12PW=8= PV+U=8=PV=5, U=3+ PX=5，Y=3=0.05或列表为W012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.05二十一二十一 设随机变量（X，Y）的概率密度为其它,00 , 10,),()(yxbeyxfyx（1）试确定常数 b；（2）求边缘概率密度 fX (x)，fY (y)（3）求函数 U=max (X, Y)的分布函数。解：（1）1 ),(11100)( ebdxdybedxdyyxfyx 111 eb（2）dyyxfxfX),()( 10,110010)(xeedybexxxyx或 00,0),()(10)(yedxbeydxyxfyfyyxY（3）Fu ()=P U u=P )=P X u, Y uuYX),max(=F (u, u)= uudydxyxf),(u0, FU (u) = 0 uuuyx UeedydxbeuFu 0120)( 1)1 ()(, 10 uuyx UedydxbeuFu 010)(1)(, 1