2023年证明矩阵相似（精选多篇）.docx

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1、2023年证明矩阵相似（精选多篇） 推荐第1篇：相似证明 1、ABC中AFFC=12，G是BF的中点，AG的延长线交BC于E，求BE:EC E 2、ABCD中，E是AB的中点，AF=C B E A 3、等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，过点D作AC的平行线交BA延长线于E， 求证：DEDC=EABDD 1FD，连接FE交AC于G，求AGAC 2D C C 4、ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上的一点，过点C作CFAB，延长BP交2AC于E，交CF于F，求证：BP=PEPF F C D 5、已知：在ABC中，BAC90，点D为BC上的中点，过点D作BC的垂线DF，交BA的延长线

2、于点F，交AC于点E求证：BC24DEDF A E C F 推荐第2篇：3矩阵的证明 矩阵的证明 常见的有矩阵秩的证明，向量组的线性相关性证明等，这些大部分都可以利用矩阵式来解决。掌握好关键的几点。 第一：矩阵式的表示 第二：矩阵秩和相关性的关系（秩小于向量的个数，线性相关，秩等于向量的个数，线性无关） 第三：掌握秩的有关结论，主要有八个结论，用得比较多的有 7. 8.AmnBnl=0R(A)+R(B)nAB=CR(C)R(A),R(B) 推荐第3篇：考研数学线代：矩阵合同与相似的典型题型分析详解 为学生引路，为学员服务 2023考研数学线代：矩阵合同与相似的 典型题型分析 详解 合同矩阵与相

3、似矩阵是线性代数中的两个相近概念，它们既有一定的类似性和关联性，但二者又有区别，它们的含义和性质是不同的，有些同学对这两个概念弄不清楚，搞不明白它们之间到底有什么区别，在主流线性代数教材上也没有对它们进行比较分析，在做涉及到这两个概念的习题时也不知道从何下手，为了帮助这些2023考研的同学解决这个难题，本文对合同矩阵和相似矩阵的主要判别方法做一下总结，并对往年考研数学试题中的这类题做些分析。 一、矩阵合同与相似的主要判别方法 为学生引路，为学员服务 2 页 共 2 页 为学生引路，为学员服务 从上面的判别方法和典型例题看到，如果两个实对称矩阵相似，则它们的特征值完全相同(包括特征值的重数也相同

4、)，因此它们的正、负惯性指数也分别相等，从而这两个矩阵是合同的，但如果不是实对称矩阵，则相似矩阵不一定是合同矩阵;另外，合同矩阵不一定是相似矩阵，这些区别希望同学们理解。 3 页 共 3 页 推荐第4篇：相似三角形的证明K字型相似教案 课题：相似三角形的证明K型相似（教案） 学校：茶陵思源实验学校 教师姓名：段中明 教学目标： 1、通过习题引入，了解“K型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质； 2、利用“K型图”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题； 3、在“K型图”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“K型图”相似解题的特点与经验。 教学重点难点：

5、1、在已知图形中观察关键特征“K型”； 2、在非“K型”图形中画辅助线，得到“K型”图形； 3、在“K型”图的两个三角形中，探索其相似条件。学情分析： 学生刚刚学习完湘教版九上数学第三章图形的相似，复习完本章各知识点后，进行一些思维拓展延伸，教师已引导学生学习相似三角形中的基本图形，如 “A”字型、“X”字型、“母子”型、“双垂直”型等。结合中考试题探究“K型图”相似这个问题，本课将在此基础上展开学习。 教学过程： 一、课前寄语： 学生在老师的心里就是自己的孩子，所以老师祝福天下所有的孩子健康成长，快乐学习！ 二、复习与回顾： 1.相似三角形的判定3条定理； 2.相似三角形的基本图形：A字型、

6、反A字型、母子型、X型、蝴蝶型、双垂直型 3.图形演变：双垂直型变三垂直型，三垂直型变K字型。 三、新课讲解： （一）.呈现学习目标： （1）.能利用k形图证明三角形相似； （2）.能构造k形图解决相关问题 （3）.体会“分类讨论”的数学思想 （二）.轻松一刻：（突出快乐学习） 同学们，这幅画美吗？看到这幅画我就想起小学时学过的一首小诗，一首富有诗情画意的诗，哪位同学能把这首诗读出来吗？ 对，是小池。它句句是诗，句句是画，描绘了明媚的初夏风光，自然朴实又真切感人。今天我们边欣赏古诗边学习新课。下面我们跟着这首古诗走进今天的例题探究。 （三）.例题探究： 1.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，

7、EFBE ，交CD于F，连结BF，已知AE=4，ED=2，AB=3则DF=_ 2.在等边ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且ADE=60,BD=2,CE=1, 则ABC的边长为 . A 3.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB上的动点， (1)若DEEF ，求证：ADEBEF； (2)若BF=1，当ADE与BEF相似时，求AE的长。 4.如图，已知直线l1l2l3l4l5 l6 ，如果正方形ABCD的四个顶点在平行直线上相邻两条平行直线间的距离相等且为1，AB与l4交于点G.(1)求正方形的面积；(2) 求CG的长 一、课堂练习： 1.如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边

8、上的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm， 求EC的长。（一题多解） BFCEADEBDCDL1L2L3AGCL4L5L6B2.在直角梯形ABCF中，CB=14，CF=4, AB=6,CFAB,在边CB上找一点E,使以E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点的三角形相似，则CE=_（分类讨论） 二、课后拓展： 1.如图，已知直线l1l2l3l4，相邻两条平行直线间的距离都是2，线段AB的两端点分别在直线l 1、l3上并与l2相交于点E， AE与BE的长度大小关系为 ； 若以线段AB为一边作正方形ABCD，C、D两点恰好分别在直线l 2、l4上，则sin= 2.如图，正ABC边长为6cm

9、，P,Q同时从A,B两点出发，分别沿AB,BC匀速运动，其中点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q点到达C点时，两点都停止运动，设运动时间为t（s），作QR/BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，APRPRQ. 五、课堂小结： 我们今天这堂课收获了什么呢？ （1）学习了K型相似的证明；（2）我们要快乐学习。 六、作业布置： ADCEB 推荐第5篇：矩阵分析 第一章： 了解线性空间（不考证明），维数，基 9页：线性变换，定理1.3 13页：定理1.10，线性空间的内积，正交 要求：线性子空间（3条）非零，加法，数乘 35页，2491011 本章出两道题 第二章： 约旦标准型 相

10、似变换矩阵例2.8（51页）出3阶的例2.6（46页） 出3阶的 三角分解例2.9（55页）（待定系数法）（方阵） 行满秩/列满秩 （最大秩分解） 奇异值分解 本章出两道题 第三章： 例3.1（75页） 定理3.2要会证明例3.3必须知道（证明不需要知道）定义3.3 例3.4证明要知道定理3.5掌握定理3.7要掌握 习题24 本章出（一道计算，一道证明）或者（一道大题（一半计算，一半证明） 第四章： 矩阵级数的收敛性判定要会，一般会让你证明它的收敛 比较法， 数字级数 对数量微分不考，考对向量微分（向量函数对向量求导） 本章最多两道，最少 一道，也能是出两道题选一道 第六章： 用广义逆矩阵法求

11、例6.4（154页） 能求最小范数（158页） 如果无解就是LNLS解 定理6.1了解定理6.2 求广义逆的方法（不证明） 定理6.3（会证明）定理6.4（会证明）（去年考了） 定理6.9（会证明）推论要记 住定理6.10（会证明） 出一道证明一道计算 推荐第6篇：矩阵解题总结 矩阵解题总结 迄今，我们都做了不少的矩阵习题，我们常常以刷题来满足自己的做题欲望，并以此方法来让自己对矩阵这个新概念有更好的了解，那么，在我们无限刷题时，是否想过，出题，都是万变不离其宗，如果我们尝试去整理一些题型的做法，那么不久可以做到了举一反三的功效了吗？也让自己腾出了更多的时间去从事其他事物，如此事半功倍，岂不妙

12、哉？因此，解题总结很有必要。 以下，我们来介绍一些常用而较为普遍的经验方法： 对称矩阵：A=A，这个概念我们见过此类题型当A为非零实对称矩阵时，有A=A*，求证lAl0。这种题，我们通法就是先设出A，再写出A，然后矩阵乘法，得到的矩阵中对角线处元素为ij，并且再用已知条件可得到前面的累和式子都等于lAl。因为A为非零实对称矩阵，因此存在一元素不为零，从而证得lAl0。 题干中给出某等式，求某个问题。如：设A,B均为n阶方阵且AB=A+B，则证明AB=BA。此题思路就是从条件出发，一般都是移项、提公因式，所以得到（A-E）B-A=0，记住，一旦看到等号右边有零，我们常常会加E，变成（A-E）B-

13、A+E=E，然后再次提公因式，得到（A-E）（B-E）=E，所以（A-E）（B-E）=（B-E）（A-E），然后展开即可。总结：移项提公因式整理。 关于留一道练习题设n阶方阵A和B满足A+B=AB，证明A-E可逆。 正交阵概念：满足AA=AA=E 反对称矩阵概念：A=-A l(A*)l=lAln-1，（A*）-1=A/lAl， A为n阶方阵，若R(A)=n,则R(A*)=n；若R(A)=n-1，则R(A*)=1；若R(A)n-1，则R(A*)=0 A、B均为n阶方阵，则有tr（AB）=tr（BA），其中tr为对角线元素因此AB-BA的对角线元素为零，即tr（AB-BA）=零。 结论：任何一个n

14、阶方阵均可表为一个对称阵与一个反对称阵之和。证明：A=1/2A+1/2A-1/2A*+1/2A*=1/2（A+A）+1/2（A-A）=B+C。B=（1/2（A+A）=1/2(A+A)=B,C=(1/2(A-A)=1/2(A-A)=-C，证明完毕。 秩的一种常见题型：A,B为n阶方阵，AB=0，B为非零方阵，求lAl。思路：因为AB=0，所以R(A)+R(B)n，又因为B0，所以R（B）1，因此R（A）n-1，因此A不满秩，故行列式为零。 对于AB=AC时，如何才可以有B=C？一种情况就是A为满秩。接下来，我们进行计算证明由原式可得到：A(B-C)=0。运用一个结论：AX=0，A满秩时，解唯一，

15、即X=0，所以得到B-C=0，因此B=C 证明完毕。特殊的，如果A可逆（因此显然A是方阵），显然证得B=C。 A为n阶方阵，则R(A)1的充要条件是存在两个nx1矩阵U,V使A=UV。证明过程可见考研P45。 推荐第7篇：矩阵与变换 2023 年高考数学理科分类汇编 矩阵与变换 解答题 1、（2023 福建理）选修 42：矩阵与变换 已知矩阵A的逆矩阵A-1=1 （I ）求矩阵A； （II ）求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.-1-1解析 ：( )因为矩阵A是矩阵A的逆矩阵, 且A=22-11=30,。2 分21 2-1 12.-12.-133 所以A=3-1.2-1.23 3

16、( )矩阵A的特征多项式为f(l)=-1l-2. -1-1=l2-4l+3=(l-1)(l-3)令.l-2 f(l)=0, 得矩阵A-1的特征值为l1=1或l2=3, 所以x1=-1是矩阵A的属于特征值l1=1的一个特征向量,1-1 1-1A是矩阵的属于特征值l2=3的一个特征向量.x2=1 2、（2023 江苏卷）已知矩阵A= 求x ,y 的值 解：由已知， 得Aa=-12112B=a=2-1yx,y是实数，若Aa=Ba,1x-122-2+2y1122+y =,Ba=1xy2+xy2-1y4-y 1-2+2y2+y-2+2y=2+yx=-Aa=Ba，所以故解得 =22+xy4-y2+xy=4

17、-yy=4 所以x+y=7 推荐第8篇：可逆矩阵教案 1.4 可逆矩阵 教学内容： 1.2.3.4. 教学课时：100分钟/2课时。 教学目的： 通过本节的学习，使学生 1. 理解可逆矩阵的概念； 2. 掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3. 熟悉可逆矩阵的有关性质。 教学重点和难点： 本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。 可逆矩阵的概念； 可逆矩阵的判定； 利用转置伴随矩阵求矩阵的逆； 可逆矩阵的性质。 教学设计： 一 可逆矩阵的概念。 1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概

18、念。 2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为A。 3.可逆矩阵的例子： （1）例1 单位矩阵是可逆矩阵； （2）例2 A=-11010，B=，则A可逆； 11-11100（3）例3 对角矩阵A=020可逆； 0031111-10（4）例4 A=011，B=01-1，则A可逆。 0010014.可逆矩阵的特点： （1）可逆矩阵A都是方阵； （2）可逆矩阵A的逆唯一，且A和A是同阶方阵； -1（3）可逆矩阵A的逆A也是可逆矩阵，并且A和A互为逆矩阵； （4）若A、B为方阵，则AB=EA=B。 二

19、可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆 1.方阵不可逆的例子： -1-1-111 例5 A=不可逆； 00 例6 A=12不可逆； 242.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法： （1）说明利用定义判定及求逆的方法， （2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆 （1）引入转置伴随矩阵 1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论 ai1As1+ai2As2+D,i=s (i=1,2,n,，) +ainAsn=0,isD,j=t (j=1,2,+anjAnt=0,jtA21A22A2nAn1AAn20=Ann00A0,n)； a1jA1t+a2jA2t+ 2）写成矩阵乘法的形式有： a11a21an1a1

20、2a22an2a1nA11a2nA12annA1n00=AE A 3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设Aij式是A=(aij)nn的行列式中aij的代数余子式，则 A11A*A=12A1n称为A的转置伴随矩阵。 （2）转置伴随矩阵求逆： 1）AA=AE； *A21A22A2nAn1An2 Ann 2）定理1.4.1 A可逆的充分必要条件是A0（或A非奇异），且 A-1=1*A； A 3）例7 判断矩阵A=12是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。 35223 4）例8 设A=1-10，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。 -121三 可逆矩阵的性质 1.性质1 (A-1)-1=A； 2.性质2 (AB

21、)-1=B-1A-1； 3.性质3 (AT)-1=(A-1)T； 4.性质4 (kA) 5.性质5 A-1-1=1-1A； k=1； An-1 6.性质6 A=A 7.(A+B)-1*； A-1+B-1。 1T-1，B=3，求(2BA)。 2 例9 设A，B均为三阶方阵，且A=四 可逆的应用解矩阵方程 例10 设方程A-A-2E=O，证明：A+2E可逆，并求其逆。 2 推荐第9篇：矩阵教学设计 矩阵复习课 教学设计 江苏省海州高级中学 申磊 一、教学内容分析 普通高中课程标准实验教科书数学（选修4-2）（苏教版）。本节课程不是大学教材中矩阵内容的简单下放，而是通过平面图形的几何变换来讲解常见的

22、简单二阶矩阵，把矩阵作为一个研究平面图形变换的基本工具，作为广泛意义上的一种“代数”来学习和介绍。 二、设计思想 标准强调数学文化的重要作用，体现数学的文化的价值。数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神，以及数学文明的深刻内涵。 三、教学目标 通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，矩阵的简单应用。 四、教学重点和难点 重点：通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概念、性质和思想； 难点：切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。 五、教学过程设计 【课堂准备】 1选

23、题：由教师根据本章教学目标及重难点选择适当的题目制成导学案，印刷成导学案并提前一天发给学生； 2做题：提前一天每位同学独立完成导学案，然后学习小组内部根据各自的做题情况展开讨论； 3精彩展示：课前教师把任务分配到各个小组，由组长确定每人的具体任务，上台来展示； 4点评：最后又其他组的成员给出点评，不足之处再有教师补充。 【教学过程】 1出示课题：教师简明叙述本章内容及重难点 2交流、分享：（由教师主持。小组推荐发言人；以下记录均为发言概述） 基础训练（学生在原位回答问题，回答问题方式：本题考查点是什么，答案是什么，怎么做？教师点评） 112012（1） 学生1：函数小史计算：（1） （2） 0

24、1110-1（2）教师点评：掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则是解题的关键 （3）学生2： 曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90后得到的曲线方程是_，变换对应的矩阵是_.（4）教师带头鼓掌并简单评价 02-10（5）学生3：已知A=,B=则AB=_,BA=_ 213-2（6）教师带头鼓掌并简单评价 3（7）学生4：设矩阵M=2121-2的逆矩阵是M-1=ab，则a+c的值为 cd32（8）教师带头鼓掌并简单评价 002x+yx（9）学生5：已知A=，若A=B，求x，y.,B=-2-y00x-2y（10）教师点评：两个矩阵相等的充要条件是它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等.

25、xx2x+5y（11）学生6：已知变换=，试将它写成矩阵的乘法形式.yyx-2y（12）教师点评：一般地，对于平面向量变换T，如果变换规则为T：xxax+byyy=cx+dy，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为xxabxT：=的矩阵形式.yycdy能力测试（学生上黑板展示，再有其他组同学给予点评） （13）学生7：已知在矩阵M的作用下点A（1，2）变成了点A（11，5），点B（3，-1）变成了点B（5，1），点C（x，0）变成了点C（y，2），求（1）矩阵M；求（2）x、y值.（14）学生8点评：求变换矩阵通常用待定系数法 （15）学生9：求关于直线y=3x的反射变换对应的矩阵A

26、 （16）学生10点评：一般地若过原点的直线m的倾斜角为a，则关于直线m cos2a的反射变换矩阵为： A=sin2asin2a -cos2ax（17）学生11：已知矩阵A=f(x)，B=x1-x，C=，若A=BC， 2a求函数f(x)在1,2 上的最小值.（18）学生12点评：（本题运用了行矩阵与列矩阵的乘法规则及两个矩阵相等的充要条件；求含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，通常需要分类讨论.（19）学生最值。 cosqsinq(qR)，试求f(x)=x2+2x-3的13：若x=sinqcosq-12153M=a=M16，求a （20）学生14：已知矩阵，向量32abk0（21）学生15：

27、记A=，其中kR，作矩阵乘法SA，AS， ,S=cd0kS与单位矩阵、零矩阵的关系？ 当k0时，矩阵S对应的变换TS有何几何意义？ 研究TS与伸压变换的关系？ （22）学生16点评：仔细体会两个二阶矩阵乘法可交换的条件；从矩阵乘法的代数运算和几何意义两个不同的方面理解矩阵乘法和变换复合之间的内在联系；复杂的变换都可以通过简单的初等变换复合而成。 3课堂小结： 推荐第10篇：相似教案 相似 1成比例线段 用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比 如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a，b，c，d叫做成比例线段，记作ac=或abcd，其中a，c叫做比的前项，b，d叫做比的

28、后项，b，c叫做比例内bd若项，a，d叫做比例外项，d叫做a，b，c的 (3)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； (4)相似三角形周长比等于相似比； (5)相似三角形面积的比等于相似比的平方 6相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角相等； (2)相似多边形对应边的比等于相似比； (3)相似多边形周长的比等于相似比； (4)相似多边形面积的比等于相似比的平方 7直角三角形中的成比例线段 如图131，在RtABC中，C90，CDAB于D，则(1)ADCACBCDB(可拆成三对相似三角形)； 图131 (2)CD2ADDB；(注：用时要证明) (3)AC2ADA

29、B， BC2BDBA；(注：用时要证明) (4)CDABACBC(注：用时要证明) 8位似 (1)如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 (2)如果两图形F与F是位似图形，它们的位似中心是点O，相似比为k，那么 设A与A是一对对应点，则直线AA过位似中心O点，并且设A与A，B与B是任意两对对应点，则 OA=k.OAAB=k若直线AB，AB不通过位AB似中心O，则ABAB (3)利用位似，可以将一个图形放大或缩小 (4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k 9相似图形的应用

30、 二、例题分析 例 1已知：如图132，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB3，BFBP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与ABP相似，作图并指出相似比k的值 图132 分析 由已知，ABPCBF欲使以点B，M，C为顶点的三角形与ABP相似，只要使夹ABP及CBF的两边对应成比例 解 如图133 图133 ABBC，PBBF， ABPCBF BM14BM1BC，即=，BM13时，CBM1ABP相似比k1 =3BPAB44BM2BCBM2416当即=,BM2=时，CBM2PBA相似比k= 4ABBP33316当BM3或BM=时，以点B，M，C为顶点的三角形与A

31、BP相似，相似比分 3当4别为1和 3说明 (1)对于探究三角形相似的条件这类问题，可从“角的关系在先、边的关系在后”的思维顺序入手，由于题目条件中只有一组对应角相等，因此就考虑这组对应角的四条线段何时对应成比例，由于点C可以与点A对应(此时点M与点P对应)，点C也可以与点P对应(此时点M与点A对应)，因此有两种情形 (2)注意当相似比k1时，两个相似图形全等，因此，全等图形是相似图形的特例 例 2已知：如图134，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q 图134 (1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除外)； (2)求BPPQQR

32、的值 解 (1)BCPBER，PCQRDQ，PCQPAB，PABRDQ (2)四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，BCADCE，ACDE PB=PR,PC1= RE2又PCDR，PCQRDQ 点R是DE中点，DRRE PQPCPC1=,QR2PQ QRDRRE2又BPPRPQQR3PQ， BPPQQR312 说明 (1)如图135，“若DEBC，则ADEABC”这是用平行线截得三角形构成相似三角形，得到成比例线段常见的基本图形结构 图135 (2)对于例2，还可进一步思考研究其他问题，例如，在已知条件不变的前提下，若PCQ的面积为S，你能用含S的代数式分别表示图134中其他各图形的面

33、积吗?并说明你的理由 (1)BPC的面积_理由是_； (2)ABP的面积_理由是_； (3)四边形PCER的面积_理由是_； (4)四边形APRD的面积_理由是_； 例3 如图136，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD3，BC7，B60，P为下底BC上一点(不与B，C重合)，连接AP，过P点作PE交DC于E，使得APEB 图136 (1)你认为图中哪两个三角形相似，为什么? (2)当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DEEC53?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由 解 (1)ABPPCE其理由是除BC外，由于APEB60，APCBBAPAPECPE，BAPC

34、PE由“两角对应相等，两三角形相似”可得ABPPCE BC-AD=2，腰长ABCD2CF4，这样原2问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE1.5 (2)作DFBC于F，由已知可得CF假设存在P点，使CE1.5，由ABPPCE，得 BPAB，可得BPPCABCE=CEPC6 设BPx，BCBPPC7， PC7x x(7x)6，即x27x60 解得x11，x26 答 当BP1或BP6时，使得DEEC53 例4 如图137，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直 图137 (1)求证：RtABMRtMCN； (2)设BMx，梯形

35、ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积； (3)当M点运动到什么位置时，RtABMRtAMN，并求x的值 解 (1)在正方形ABCD中，ABBCCD4， BC90 AMMN， AMN90 CMNAMB90 在RtABM中，MABAMB90， MABCMN RtABMRtMCN (2)RtABMRtMCN， ABBM4x，即= MCCN4-xCN-x2+4xCN= 4y=S梯形ABCN1-x2+4x=4(+4) 2411=-x2+2x+8=-(x-2)2+10. 22当x2时，y取最大值，最大值为10 (3)BAMN90，

36、要使ABMAMN，只需由(1)知 AMAB= MNBMAMAB= MNMCBMMC 当点M运动到BC的中点时，ABMAMN，此时x2 例5 如图138，在正方形ABCD中，AD12，点E是边CD上的动点(点E不与端点C，D重合)，AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P 图138 (1)设DEm(0m12)，试用含m的代数式表示(2)在(1)的条件下，当 FH的值； HGFH1=时，求BP的长 HG2解 (1)如图139，过点H作MNAB，分别交AD，BC于M，N点在正方形ABCD中， 图139 ADBC，FMHGNH FHMH =HGHNFH垂直平分AF

37、， 在ADE中，H是AE的中点 又MHDE，M是AD的中点 11DE=x.22由已知，不难得出四边形ABNM是矩形 MNABAD12 MH=HN=12-1x.21mFHMHm2=, 1HGHN24-m12-m2其中0m12 FH1m1=时，=，解得m8 HG224-m2欲求BP的长，只要求AP的长 在RtADE中，AD12，DE8， 2 AE=413,AH=213,sinEAD=13(2)当FPAE于点H，DAP90， PEAD AH=13, sinPBPAPAB13121 说明 (1)在解 (2)在解 图1312 FDE490， FDE1DEFHGM DEEF= HGGM而EFba，DEa，

38、HGbc，GMc， 即ab-a=,得ac(ba)(bc) b-cc整理可知b(ac)b2，而b0，acb 例8 (2023哈尔滨市)已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE3，连接BE，与对角线AC相交于点M，则解 MC的值是_ AM2 3提示 注意题中给出的“点E在直线AD上”这个条件，因此有两种情况 MCBC=2；(2)AMAEMCBC2= 点E在AD的延长线上时，如图1313(b)，CMBAME，AMAE3(1)点E在线段AD上时，如图1313(a)，CBMAEM 图1313 四、课标考试达标题 (一)选择题 1如图1314，ABCD，AEFD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形( ) 图1314 A4对 B5对 C6对 D7对 2如图1315所示，小刚身高AB为1.7m，测得他站立在阳光下的影子AC长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子AD长为1.1m，那么小刚举起的手臂BE超出头顶 ( ) 图1315 A0.5m B0.55m C0.6m D2.2m 3如图1316，在ABC中，ABAC，过AC边上一点D作直线与AB相交，使得构成的新三角形与ABC相似，这样的直线