概率统计学大题题型资料.doc

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1、题型一题型一 直方图直方图 （湖北理17） （本小题满分 12 分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗 细的一种量）共有 100 个数据，将数据分组如右表： （I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II）估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？1.381.50)，1.40（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点1.301.34)，值是）作为代表据此，估计纤度的期望1.32解：（）（）纤度落在中的概率约为，纤度小于 1.40 的概1.381.50，0.300.290.100.69分组频数频率 1.301.34，40.041

2、.341.38，250.251.381.42，300.301.421.46，290.291.461.50，100.101.501.54，20.02合计1001.00样本数据频率/组距1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54率约为10.040.250.300.442（）总体数据的期望约为 1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.021.4088变式变式 （2009广广东东卷卷 理理）根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年（365 天）的空气质量进行监测，获

3、得的 API 数据按照区间50, 0，100,50(，150,100(，200,150(，250,200(，300,250(进行分组，得到频率分布直方图如图 5. （1）求直方图中x的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示已知7812557，12827，3652 18253 182579125123 91258 18253，573365）解：（1）由图可知150x3652 18253(18257509125123150)91258 18253，解得18250119x；（2）219)503652501

4、8250119(365；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为53 3652195036525018250119，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为52 531，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为7812576653)53()52()53()52(1166 7077 7CC.3.（2009 浙江卷理） （本题满分 14 分）在1,2,3,9这9个自然数中，任取3个数（I）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；（II）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时的值是2） 求随机变量的分布列及其数学期望E解析：（I）记“

5、这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A，则12 45 3 910( )21C CP AC；. （II）随机变量的取值为0,1,2,的分布列为012P5 121 21 12所以的数学期望为5112012122123E . 题型二题型二 抽样问题抽样问题例题例题 (2009 山东卷文) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车 A轿车 B轿车 C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆.（1）求 z 的值. （2）用分层抽样的方法在 C 类轿车中

6、抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率;（3）用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.解: (1).设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得,5010 100300n,所以 n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400(2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类

7、轿车中抽取一个容量为5 的样本,所以400 10005m,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有7 个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2

8、),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒适型轿车的概率为7 10.(3)样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x ,那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为75. 086.【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.变式变式 （2009 天津卷文）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方

9、法从 A，B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查，已知 A,B，C 区中分别有 18，27，18 个工厂（）求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数；（）若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。【答案】(1) 2，3，2(2) 2111【解析】 （1）解： 工厂总数为 18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为91 637，所以从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2，3，2.（2）设21, AA为在 A 区中抽得的 2 个工厂，321,BBB为在 B 区中抽得的 3 个工厂，21,CC为在

10、C 区中抽得的 2 个工厂，这 7 个工厂中随机的抽取 2 个，全部的可能结果有：2 7C种，随机的抽取的 2 个工厂至少有一个来自 A 区的结果有),(21AA，),(21BA),(11BA),(31BA),(21CA),(11CA,同理2A还能组合 5 种，一共有 11 种。所以所求的概率为2111112 7C【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。题型三题型三 等等可能事件的概率可能事件的概率 在一次实验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A 包含的结果有

11、 m 个，那么 P（A）= 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计nm算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际 问题的能力。 例题例题 1 1（20102010 湖南）湖南）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）()求 x,y ; （）若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言，求这二人都来自高校 C 的概率。解 ()由题意可得所以，2 183654xy1,3xy（）记从高校 B 中抽取的 2 人为，从高校 C 中抽取的 3 人为则12,b b123,C C C从

12、高校 B、C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有（） ， （） ， （12,b b11,b c） ， （） ， （） ， （） ， （） ，共 1012,b c23,b c21,b c22,b c23,b c12(,)C C13(,)C C23(,)C C种，设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X，则 X 包含的基本事件有，12(,)C C，共 3 种，因此故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为13(,)C C23(,)C C3()10p X 3 10变式变式 1 1（20102010 江苏江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为 20%；乙产

13、品的一等品率为 90%，二等品率为 10%。生产 1件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。 （）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列；（）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。解：（1）由题设知，X 的可能取值为 10，5，2，-3，且 P（X=10）=0.80.9=0.72， P（X=5）=0.20.9=0.18， P（X=2）=0.80.1=0.08 ，P（X=-3）=0.20.1=0.

14、02。 由此得 X 的分布列为：X1052来源:学科网ZXXK-3P0.720.180.080.02（2）设生产的 4 件甲产品中一等品有件，则二等品有件。n4n由题设知，解得， 又，得，或。4(4)10nn14 5n nN3n 4n 所求概率为334 40.80.20.80.8192PC答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。变式变式 2 2 （20102010 福建福建）设平面向量 a m =（m，1） ，b n =（2，n） ，其中m，n1,2,3,4.（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使 得 a m （a mb n） 成立的（

15、m，n） ”为事件 A，求事件 A 发生的概率. 解：()有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：（1,1） ， （1,2） ， （1,3） ， （1,4） ， （2,1） ， （2,2） ， （2,3） ， （2,4） ， （3,1） ， （3,2） ， （3,3） ， （3,4） ， （4,1） ， （4,2） ， （4,3） ， （4,4）共 16 个.()由得，即. 由于1,2,3,4 ，()mmnaab221mmno 2(1)nm,m n故事件 A 包含的基本条件为（2,1）和（3,4） ，共 2 个.又基本事件的总数为16，故所求的概率.21( )168P A 题型四题型四 互斥事件

16、至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算不可能同时发生的两个事件 A、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为 A+B，用概率的加法公式计算。事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或)()()(BPAPBAPA）发生的概率没有影响，则 A、B 叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为。用概BA率的法公式计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个 BPAPBAP事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。必有一个发生的两个互斥事件 A、B 叫做互为对立事件。即或。至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求解.用 AB BA概率的减法公式

17、计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对 _ 1APAP立事件的判断识别及其概率计算进行考查。 例题例题 1（2005 全国卷全国卷）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在 某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都 需要照顾的概率为 0.125， （）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 解：（）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A、B、C，1 分 则 A、B、C 相互独立，由题意得： P（AB）=P（A）P（B）=0.05 P（AC）=

18、P（A）P（C）=0.1 P（BC）=P（B）P（C）=0.1254 分 解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5 所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2、0.25、0.56 分（）A、B、C 相互独立，相互独立，7 分A B C、甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为10 分()( ) ( ) ( )0.8 0.75 0.50.3P A B CP A P B P C这个小时内至少有一台需要照顾的概率为12 分1()1 0.30.7pP A B C 变式变式 1 （2005 福建卷文）福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

19、.52 21与（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率； （）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率. 解：（）依题意，记“甲投一次命中”为事件 A， “乙投一次命中”为事件 B，则.53)(,21)(,52)(,21)(BPAPBPAP甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.21（）事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为1009 53 53 21 21P甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率.10091 100911PP答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为.10091“甲、乙两人各投球一次，恰好命中

20、一次”的事件为BABA13121()()().25252P A BA BP A BP A B变式变式 2 （06 四川卷）四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” ，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格” ，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，0.9,0.8,0.70.8,0.7,0.9所有考核是否合格相互之间没有影响 （）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （）求这三人该课程考核都合格的概率。 （结果保留三位小数）解：解：记“甲理论考核合格”为事件；“乙理论考核合格”为事件；“丙理论考核合1A2

21、A格”为事件；记为的对立事件，；记“甲实验考核合格”为事件；3AiAiA1,2,3i 1B“乙实验考核合格”为事件；“丙实验考核合格”为事件；2B3B（）记“理论考核中至少有两人合格”为事件，记为的对立事件CCC解法 1： 123123123123P CP A A AA A AA A AA A A123123123123P A A AP A A AP A A AP A A A0.9 0.8 0.30.9 0.2 0.70.1 0.8 0.70.9 0.8 0.70.902解法 2： 1P CP C 1231231231231P A A AA A AA A AA A A 123123123123

22、1P A A AP A A AP A A AP A A A 10.1 0.2 0.30.9 0.2 0.30.1 0.8 0.30.1 0.2 0.7 1 0.098 0.902所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902 （）记“三人该课程考核都合格” 为事件D 112233P DPA BABAB112233P A BP ABP A B 112233P AP BP AP BP AP B0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.9 0.254016 0.254所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254题型五题型五 独立重复试验概率独立重复试验概率若在次重复试验中，每次试验结果的概率都

23、不依赖其它各次试验的结果，则此试验n 叫做次独立重复试验。若在 1 次试验中事件 A 发生的概率为 P，则在次独立惩处试验nn中，事件 A 恰好发生次的概率为。k 1n kkk nnP kC PP高考结合实际应用问题考查次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法和nk 化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。例题（例题（2005 湖北卷）湖北卷）某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每 盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1，寿命 为 2 年以上的概率为 p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯

24、泡， 平时不换.（）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率；（）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概 率；（）当 p1=0.8，p2=0.3 时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换 4 只灯泡的概率 （结果保留两个有效数字）.解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为需要更换 2 只灯泡的概率,5 1p为;)1 (2 13 12 5ppC（II）对该盏灯来说，在第 1、2 次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；在第一次未更换 灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为 p1(1-p2)，故所求的概率为);1 ()1 (212

25、 1pppp（III）至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况，换 5 只的概率为 p5（其中 p 为（II）中所求，下同）换 4 只的概率为（1-p） ，故至少换 4 只灯泡的概率为41 5pC.34. 042.34. 04 . 06 . 056 . 06 . 07 . 08 . 02 . 0,3 . 0, 8 . 0).1 (45 32 2141 55 3只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当ppppppCpp变式变式 1为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的, , . 现有 名工人独立地从1

26、 21 31 63中任选一个项目参与建设. 求：() 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；() 至 少有 人选择的项目属于民生工程的概率. 1解 记第 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件，iiA，iBiC1i ， 由题意知，相互独立，相互独立，相互独立，231A2A3A1B2B3B1C2C3C，iAjB（ ， ，且 ，互不相同）相互独立，且，kCijk123ijk1( )2iPA， 1()3iP B1()6iP C（）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P 1231233!()6()()()PAB CPAPBP C111162366（）至少有 人选择的项目属

27、于民生工程的概率11231 ()PPB B B 1231( )( )( )PBPBPB 31191(1)327 变式变式 2 (08 天津）天津） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球 2 次21p均未命中的概率为161（）求乙投球的命中率；p（）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；（）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概 率知识解决实际问题的能力满分 12 分 （）解法一：设“甲投球一次命中”为事件 A， “乙投球一次命中”为事件 B由题意得 1611122

28、pBP解得或（舍去） ，所以乙投球的命中率为43p45 43解法二：设设“甲投球一次命中”为事件 A， “乙投球一次命中”为事件 B由题意得，于是或（舍去） ，1( ) ( )16P B P B 1( )4P B 1( )4P B 故31( )4pP B 所以乙投球的命中率为3 4（）解法一：由题设和（）知 21,21APAP故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为431AAP解法二：由题设和（）知 21,21APAP故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 431 2APAPAPAPC（）由题设和（）知， 41,43,21,21BPBPAPAP甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情

29、况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两 次均不中；甲两次均不中，乙中 2 次。概率分别为， 1631 21 2BPBPCAPAPC，641BBPAAP 649BBPAAP所以甲、乙两人各投两次，共命中 2 次的概率为3211 649 641 163题型六题型六 随机变量概率分布与期望随机变量概率分布与期望解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概 率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差 公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际 问题的能力。例题例题 （2005 湖南卷）湖南卷）某城

30、市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设 表示客人离开该城市 时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（）求 的分布及数学期望；（）记“函数 f(x)x23x1 在区间2， 上单调递增”为事件 A，求事件 A 的)概率. 解：（I）分别记“客人游览甲景点” ， “客人游览乙景点” ， “客人游览丙景点” 为事件 A1，A2，A3. 由已知 A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5， P（A3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为 0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数

31、的可能 取值为 3，2，1，0，所以的可能取值为 1，3.P（=3）=P（A1A2A3）+ P（）321AAA= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）)()()321APAPA=20.40.50.6=0.24，P（=1）=10.24=0.76.所以的分布列为E=10.76+30.24=1.48.（）解法一 因为,491)23()(22 xxf所以函数上单调递增，),2313)(2在区间xxxf要使上单调递增，当且仅当), 2)(在xf.34, 223即从而.76. 0) 1()34()(PPAP解法二：的可能取值为 1，3.当=1 时，函数上单调递增，), 213)(2在区间xxxf当=3

32、时，函数上不单调递), 219)(2在区间xxxf增.0所以.76. 0) 1()(PAP例题例题 2 （2005 辽宁卷）辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序1 3 P0.760.24加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每 种产品，两道工序的加工结果都为 A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示，分别求 生产出的甲、乙产品为一等品的概率 P甲、P乙；（）已知一件产品的利润如表二所示，用 、 分别表示一件甲、乙产品的利润， 在（I）的条件下，求 、 的分

33、布列及 E、E；（）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名，可用 资金 60 万元.设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y 为何值时， 最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示）yExEz（）解：2 分. 6 . 08 . 075. 0,68. 085. 08 . 0乙甲PP、 （）解：随机变量、的分别列是6 分, 2 . 432. 05 . 268. 05E. 1 . 24 . 05 . 16 . 05 . 2E（）解：由题设知目标函数为 8 . 0, 0,4028,60105yxyxyx.1 . 22 . 4yxyExEz分 作

34、出可行域（如图）：作直线 : l, 01 . 22 . 4yx将 l 向右上方平移至 l1位置时，直线经过可行域上的点 M 点与原点距离最大，此时 10 分yxz1 . 22 . 4取最大值. 解方程组 .4028,60105yxyx得即时，z 取最大值，z 的最大值为 25.2 .12 分. 4, 4yx4, 4yx变式变式 1 甲、乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击。已知甲乙两人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击。87（1）求前 4 次射击中，甲恰好射击 3 次的概率。52.5P0.6

35、80.322.51.5P0.60.4（2）若第次由甲射击的概率为，求数列的通项公式；求，并说明极nna nanna lim限值的实际意义。解：记 A 为甲射击，B 为乙射击，则 1）前 4 次射击中甲恰好射击 3 次可列举为 AAAB，AABA，ABAA 其概率为 P=51263 87 81 81 81 81 87 81 87 872）第次由甲射击这一事件，包括第 n 次由甲射击，第次继续由甲射击这1n1n 一事件以 第 n 次由乙射击，第 由甲射击这一事件，这两事件发生的概率是互斥的1n且发生的概率分别为与 则有关系式 + = na87)1 (81na1nana87)1 (81na81 43

36、na其中。=（） ，数列为等比数列。11a211na43 21na21na1)43(21 21n na=nna lim nlim)43(21 21(1n 21实际意义为当甲、乙两人射击次数较多时，甲、乙两分别射击的次数接近相等。变式变式 2 （07 重庆理重庆理）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获元的赔9009000偿（假设每辆车最多只赔偿一次） ，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，1 9，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：1 101 11 （）获赔的概率；（）获赔金额的分布列与期望（

37、18） （本小题 13 分）解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，由题意知，独立，kAk12 3k ，1A2A3A且，11()9P A 21()10P A31()11P A（）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1() () ()19101111P A A AP A P A P A （）的所有可能值为，090001800027000，12312389108(0)()() () ()9101111PP A A AP A P A P A123123123(9000)()()()PP A A AP A A AP A A A123123123() () ()() () ()() ()

38、()P A P A P AP A P A P AP A P A P A19108110891 910119101191011，24211 99045123123123(18000)()()()PP A A AP A A AP A A A123123123() () ()() () ()() () ()P A P A P AP A P A P AP A P A P A1110191811 910119101191011，273 990110123123(27000)()() () ()PP A A AP A P A P A1111 91011990综上知，的分布列为090001800027000

39、P8 1111 453 1101 990求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得811310900018000270001145110990E（元） 299002718.1811解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，kk12 3k ，则有分布列1109000P8 91 9故11900010009E同理得，21900090010E319000818.1811E综上有（元） 1231000900818.182718.18EEEE题型七题型七 离散型随变量概率分布列离散型随变量概率分布列设离散型随机变量的分布列为1x2xixP 1P2PiP它有下面性质：), 2 , 1(0iPi即总概率为 1；,

40、121ippp期望方差;11iiPxPxEiiPExPExD2 12 1)()(离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查.例题例题 1 (2004 年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得 100 分,回答不正确得 100 分.假设这名同学每题回答 正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响. 求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望.求这名同学总得分不为负分(即)的概率.)0解:的取值为.300,100,100,300 ；(P00

41、8. 02 . 0)3002(P;096. 08 . 02 . 03)1002(P2100)3 0.20.80.384; (P512. 08 . 0)3002所以的概率分布为300100100300P0.0080.0960.3840.512180512. 0300384. 010010096100008. 0300E这名同学总得分不为负分的概率为896. 0512. 0384. 0)300()100()0(PPP变式变式（20102010 天津理）天津理）某射手每次射击击中目标的概率是2 3，且各次射击的结果互不影响。（）假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率（）假设这名射手射

42、击 5 次，求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分，记为射手射击 3 次后的总的分数，求的分布列。（1）解：设X为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则X25,3B.在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率22 2 52240(2)133243P XC（）解：设“第i次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)iA i ；“射手在 5 次射击中，有 3 次连续击中目标，另外 2

43、次未击中目标”为事件A,则123451234512345( )()()()P AP A A A A AP A A A A AP A A A A A=323232112112 3333333=8 81（）解：由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6312311(0)()327PP A A A123123123(1)()()()PP A A AP A A AP A A A=2221121122 333333391232124(2)()33327PP A A A123123(3)()()PP A A AP A A A2221118 333327123(6)()PP A A A328 327所以

44、的分布列是题型八题型八 标准正态分布标准正态分布例题例题 （06 湖北）湖北）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 12 名。(70,100)N（） 、试问此次参赛学生总数约为多少人？（） 、若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表可共查阅的（部分）标准正态分布表00()()xP xx0x01234567891.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.10.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.98210.8869 0.9

45、049 0.9207 0.9719 0.9778 0.98260.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.98300.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.98340.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.98380.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.98420.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.98460.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.98500.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.98540.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概 率统计知识