概率论与数理统计期末考试'预习复习资料.doc

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1、 第第1 1章章 随随机机事事件件 及及其其概概率率 （1） 排列 组合 公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。)!(! nmmPn m从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。)!( ! nmnmCn m（2） 加法 和乘 法原理加加法法原原理理（两两种种方方法法均均能能完完成成此此事事）： m m+ +n n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m种方法完成，第二种 方 法可由n种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘乘法法原原理理（两两个个步步骤骤分分别别不不能能完完成成这这件件事事）：m mn n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m种方法完成，第二个 步 骤可

2、由n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。 （3） 一些 常见 排列重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题（4） 随机 试验 和随 机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不 止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这 种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。（5） 基本 事件、 样本 空间 和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件， 它具有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基

3、本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用 大写字母A，B，C，表示事件，它们是 的子集。 为必然事件， 为不可能事件。 不可能事件（ ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（ ）的概率为1，而概率为1的事件也不一 定 是必然事件。（6） 事件 的关 系与 运算关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B 发生）：BA 如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等BA AB 于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构

4、成的事件，称为A与B的差，记为A- B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。BA A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示A与B不可能同时 发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不 发生的事件。互斥未必对立。 运算：结合率： A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率： (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)德摩根率：11iiiiAA，BABABABA（7） 概率 的公 理化 定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)， 若满足下列三个条件

5、： 1 0P(A)1， 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11)(iiiiAPAP常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。（8） 古典 概型1 ，n21,2 。nPPPn1)()()(21设任一事件A，它是由组成的，则有m21,P(A)= =)()()(21m)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A（9） 几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同 时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称 此随机试验为几何概型。对任一事件 A，。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。)()()(LAL

6、AP（10 ）加 法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11 ）减 法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=时，P()=1- P(B)B（12 ）条 件概率定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称为事件A发生条件)()( APABP下，事件B发生的条件概率，记为。)/(ABP)()( APABP条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B （13 ）乘 法公式乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件

7、A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。（14 ）独 立性两两个个事事件件的的独独立立性性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立 的。 若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()( )()()|(BPAPBPAP APABPABP若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相 互独立。 必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多多个个事事件件的的独独立立性性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)

8、=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。（15 ）全 概公式设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容，), 2 , 1(0)(niBPi，2niiBA1， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。（16 ）贝 叶斯 公式设事件1B，2B，nB及A满足 1 1B，2B，nB两两互不相容， )(BiP0，i1，2，n，2 niiBA1，0)(AP， 则，i=1，2，n。 njjjii i BAPBPBA

9、PBPABP1)/()()/()()/(此公式即为贝叶斯公式。 ， （1i，2，n） ，通常叫先验概率。)(iBP， （1i，2，n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反 映)/(ABPi 了“因果”的概率规律，并作出了 “由果朔因 ”的推断。（17 ）伯 努利 概型我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发 生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1，用 )(kPn表示n重伯努利试

10、验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk, 2 , 1 , 0。 第第二二章章 随随机机变变量量及及其其分分布布 （1）离 散型随 机变量 的分布 律设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个 值的概率，即事件 (X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时 也用分布列的形式给出： ,|)(2121kkkpppxxx xXPX 。 显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，, 2 , 1k， （2）11kkp。 （2）连 续型随 机变量 的分布 密度设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负

11、函数)(xf，对任 意实数x，有xdxxfxF)()(， 则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度 函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1 0)(xf。2 1)(dxxf。 （3）离 散与连 续型随 机变量 的关系dxxfdxxXxPxXP)()()( 积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与dxxf)(kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分 布函数设为随机变量， 是任意实数，则函数Xx)()(xXPxF 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到X落入区间的概率。)()()(aFbFbXaP,(ba分布函数表示随机变量落

12、入区间（ ，x内的概率。)(xF分布函数具有如下性质： 1 ；, 1)(0xFx2 是单调不减的函数，即时，有 )(xF21xx )(1xF；)(2xF3 ， ；0)(lim)( xFF x1)(lim)( xFF x 4 ，即是右连续的；)()0(xFxF)(xF5 。)0()()(xFxFxXP对于离散型随机变量，； xxkkpxF)(对于连续型随机变量， 。 x dxxfxF)()( 0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。nAp事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则可能AXX 取值为。n, 2 , 1 , 0， 其中knkk n

13、nqpCkPkXP)()( ，nkppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记Xnp为。),(pnBX当时，这就是（ 0-1nkkqpkXP1)(1 . 0k1）分布，所以（ 0-1）分布是二项分布的特例。 泊松分布设随机变量 的分布律为X，ekkXPk!)(02 , 1 , 0k 则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为X 或者P( )。)(X泊松分布为二项分布的极限分布（ np=，n） 。 超几何分 布),min(,2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPn Nkn MNk M 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为 H(n,N,

14、M)。（5）八 大分布几何分布，其中p0，q=1-p。, 3 , 2 , 1,)(1kpqkXPk随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 均匀分布设随机变量X的值只落在 a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数，即ab 1其他， , 0,1 )(abxf则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。 分布函数为xdxxfxF)()(当ax1b。axb)(xf,xe0x,0, 0x,)(xF,1xe0x, 0xx1时，有F（x2,y）F(x1,y);当y2y1时，有F(x,y2) F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即 );0,(),(), 0

15、(),(yxFyxFyxFyxF （4）. 1),(, 0),(),(),(FxFyFF（5）对于，2121yyxx.0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，（4）离 散型与连 续型的 关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，离散型X的边缘分布为；), 2 , 1,()(jipxXPPij jiiY的边缘分布为。), 2 , 1,()(jipyYPPij ijj（5）边 缘分布连续型X的边缘分布密度为 ；dyyxfxfX),()(Y的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY离散型在已知X=xi的条件下， Y取值的条件分布为；iij ijppxXyY

16、P)|(在已知Y=yj的条件下， X取值的条件分布为,)|(jij jippyYxXP（6）条 件分布连续型在已知Y=y的条件下， X的条件分布密度为；)(),()|(yfyxfyxfY在已知X=x的条件下， Y的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX（7）独一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型jiijppp有零不独立 连续型f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形 二维正态 分布, 121),(2222121211 221)(2)1(212 yyxxeyxf0立性随机变量 的函数若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立

17、， h,g为连续函 数，则： h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互独立。 特例：若X与Y独立，则： h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则： 3X+1和5Y-2独立。 （8）二 维均匀分 布设随机向量（ X，Y）的分布密度函数为 其他, 0),(1),(DyxS yxfD其中SD为区域D的面积，则称（ X，Y）服从D上的均匀分布， 记为（X，Y）U（D） 。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1D1 O 1 x图3.1y 1O 2 x图3.2y dc O a b x 图3.3D21D3 （9）二 维正态分 布设随机向量（ X，Y）的分布密度函数为, 121),(222

18、2121211 221)(2)1(212 yyxxeyxf其中是5个参数，则称（ X，Y）服从1| , 0, 0,21, 21二维正态分布，记为（X，Y）N（).,2 22 1, 21由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分 布仍为正态分布，即XN（).(),2 2, 22 11NY但是若XN（，(X，Y)未必是二维正态分)(),2 2, 22 11NY布。 Z=X+Y根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ对于连续型， fZ(z)dxxzxf ),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ） 。2 22 121,n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态 分布。， iii

19、CiiiC222（10）函 数分布Z=max,mi n(X1,X2, Xn)若相互独立，其分布函数分别为nXXX21,，则Z=max,min(X1,X2,Xn)()()( 21xFxFxF nxxx，的分布函数为： )()()()( 21maxxFxFxFxF nxxx)(1 )(1 )(1 1)( 21minxFxFxFxF nxxx 分布2设n个随机变量相互独立，且服从标nXXX,21准正态分布，可以证明它们的平方和 niiXW12的分布密度为 . 0, 0, 0221)(2122uueu nufunn我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记2为W，其中)(2n.2012dxexnxn 所

20、谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它 是随机变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设2),(2 iinY 则).(21 12 kkiinnnYZt分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 ),(),1 , 0(2nYNX 可以证明函数nYXT /的概率密度为21 2 1221)( nnt nnntf ).(t 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记 为Tt(n)。 )()(1ntnt F分布设，且X与Y独立，可以证)(),(22 12nYnX明的概率密度函数为21 / nYnXF 0, 00,1222 )(22112221212121 11yyynnynn nnnnyfnn nn我

21、们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个 自由度为n2的F分布，记为Ff(n1, n2).),(1),(12211nnFnnF第第四四章章 随随机机变变量量的的数数字字特特征征 离散型连续型 期望 期望就是平均值设X是离散型随机变量， 其分布律为P()kxX pk，k=1,2,n， nkkkpxXE1)(（要求绝对收敛）设X是连续型随机变量， 其概率密度为f(x)，dxxxfXE)()(（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X) nkkkpxgYE1)()(Y=g(X)dxxfxgYE)()()(（1 ）一 维随 机变 量的 数字 特征方差 D(X)=EX-E(X)2， 标准差， )()(XD

22、X kkkpXExXD2)()(dxxfXExXD)()()(2 矩对于正整数k，称随机 变量X的k次幂的数学 期望为X的k阶原点矩， 记为vk,即k=E(Xk)= , iik ipxk=1,2, . 对于正整数k，称随机 变量X与E（X）差的k 次幂的数学期望为X的 k阶中心矩，记为，k即.)(k kXEXE=， iik ipXEx)(k=1,2, .对于正整数k，称随机 变 量X的k次幂的数学期 望 为X的k阶原点矩，记 为 vk,即k=E(Xk)=,)(dxxfxkk=1,2, . 对于正整数k，称随机 变 量X与E（X）差的k次幂 的数学期望为X的k阶中 心矩，记为，即k.)(k kX

23、EXE=,)()(dxxfXExkk=1,2, .切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（X）=，方差D（X） =2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式22 )(XP切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情况下，对 概率 )(XP的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2 ）期 望的 性质（1）E(C)=C （2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)， niniiiiiXECXCE11)()(（4）E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件： X和Y独立；充要条件： X和Y不相关。 （3 ）方 差的 性质（1）D(C)=0；E(C)=C （2）D(aX)=a2D(X)；

24、 E(aX)=aE(X) （3）D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4）D(X)=E(X2)-E2(X) （5）D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件： X和Y独立；充要条件： X和Y不相关。D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 期望方差 0-1分布), 1 (pBp)1 (pp 二项分布),(pnBnp)1 (pnp（4 ）常 见分 布的 期望泊松分布)(P几何分布)(pG p121 pp超几何分布 ),(NMnHNnM 11NnN NM NnM均匀分布),(baU

25、2ba 12)(2ab 指数分布)(e 121 正态分布),(2N2 分布2n2n和方 差t分布0(n2)2nn期望 niiipxXE1)( njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(函数的期望),(YXGE ijijjipyxG),(),(YXGE dxdyyxfyxG),(),(方差 iiipXExXD2)()(jjjpYExYD2)()(dxxfXExXDX)()()(2dyyfYEyYDY)()()(2协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为11X与Y的协方差或相关矩，记为，即),cov(YXXY或).()(11YEYXEXEXY 与记号相对应，

26、 X与Y的方差D（X）与D（Y）也XY可分别记为与。XXYY（5 ）二 维随 机变 量的 数字 特征相关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）0, D(Y)0，则称)()(YDXDXY为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为 ） 。XY|1，当|=1时，称X与Y完全相关：1)(baYXP完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aa而当时，称X与Y不相关。0以下五个命题是等价的： ；0XYcov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 YYYXXYXX 混合矩对于随机变量X与Y，如果有存在，则称之

27、)(lkYXE为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合kl中心矩记为： .)()(lk klYEYXEXEu （6 ）协 方差 的性 质(i)cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii)cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7 ）独 立和 不相 关（i）若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。0XY（ii）若（X，Y）N（） ，,2 22 121 则X与Y相互独立的充要条件是 X和Y不相关。第第五五章章 大大数数定定律律和和中中

28、心心极极限限定定理理 切比 雪夫 大数 定律设随机变量X1，X2，相互独立，均具有有限方 差， 且被同一常数C所界：D（Xi）C(i=1,2,),则对 于任意的正数，有. 1)(11lim11 niiniinXEnXnP特殊情形：若X1，X2，具有相同的数学期望 E（XI）=，则上式成为. 11lim1 niinXnP伯努 利大 数定 律设是n次独立试验中事件A发生的次数， p 是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意 的 正数，有. 1lim pnP n伯努利大数定律说明，当试验次数 n很大时， 事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小， 即. 0lim pnP n这就以严格的数学形式

29、描述了频率的稳定性。（1）大数定 律 X辛钦 大数 定律设X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机 变 量序列，且E（Xn）=，则对于任意的正数有. 11lim1 niinXnP 列维 林 德伯 格定 理设随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分 布，且具有相同的数学期望和方差：，则随机变量), 2 , 1(0)(,)(2kXDXEkknnX Ynkkn 1的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 xtnkknnndtex nnX PxF. 21lim)(lim212此定理也称为 独独立立同同分分布布 的中心极限定理。（2）中心极 限定理),(2nNX棣莫 弗 拉普 拉斯 定理设随机变量为具有参

30、数n, p(0p1)的二项分nX布，则对于任意实数x,有 xt nndtex pnpnpXP. 21)1 (lim22（3）二项定 理若当，则),(,不变时knpNMNknkk nn Nkn MNk MppCCCC )1 ().(N 超几何分布的极限分布为二项分布。 （4）泊松定 理若当，则0,npn时ekppCk knkk n!)1 ().(n 其中k=0，1，2，n，。 二项分布的极限分布为泊松分布。 第第六六章章 样样本本及及抽抽样样分分布布 总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个） 指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把 总体 看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 个

31、体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。（1）数 理统计的 基本概念样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样nxxx,21本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是 n个相互 独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样 本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时， 表示n个随机变量（样本）；在具体的nxxx,21一次抽取之后，表示n个具体的 数值nxxx,21（样本值） 。我们称之为样本的两重性。 样本函数 和统计量设为总体的一个样本，称nxxx,21（）nxxx,21为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 （）为一个nx

32、xx,21统计量。 常见统计 量及其性 质样本均值.11 niixnx样本方差 niixxnS122.)(11样本标准差.)(1112 niixxnS样本k阶原点矩 nik ikkxnM1., 2 , 1,1样本k阶中心矩 nik ikkxxnM1., 3 , 2,)(1，)(XEnXD2 )(，,22)(SE221)*(nnSE其中，为二阶中心矩。 niiXXnS122)(1*正态分布设为来自正态总体的一个样本，nxxx,21),(2N则样本函数).1 , 0( /N nxudeft分布设为来自正态总体的一个样本，nxxx,21),(2N则样本函数),1(/ntnsxtdef其中t(n-1)

33、表示自由度为n-1的t分布。（2）正 态总体下 的四大 分布分布2设为来自正态总体的一个样本，nxxx,21),(2N则样本函数),1() 1(2 22 nSnwdef 其中表示自由度为n-1的分布。) 1(2n2 F分布设为来自正态总体的一个样本，nxxx,21),(2 1N而为来自正态总体的一个样本，nyyy,21),(2 2N则样本函数),1, 1(/212 22 22 12 1nnFSSFdef其中,)(112112 11 niixxnS;)(112122 22 niiyynS表示第一自由度为，第二自由) 1, 1(21nnF11n度为的F分布。12n（3）正 态总体下 分布的 性质与

34、独立。X2S第第七七章章 参参数数估估计计 （1） 点估 计矩估计 设总体X的分布中包含有未知数，则其分布 函m,21数可以表成它的k阶原点矩).,;(21mxF中也包含了未知参数，), 2 , 1)(mkXEvk km,21 即。又设为总体X的n个),(21mkkvvnxxx,21样本值，其样本的k阶原点矩为 nik ixn11 )., 2 , 1(mk 这样，我们按照 “当参数等于其估计量时，总体矩等于 相 应的样本矩 ”的原则建立方程，即有nim immniimniimxnvxnvxnv12112 2121211.1),(,1),(,1),(由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数

35、（）的矩估计量。),(21mm,21若为 的矩估计，为连续函数，则为的矩 )(xg)(g)(g估计。 极大 似然 估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。又设),;(21mxfm,21为总体的一个样本，称nxxx,21),;(),(11122 nimimxfL为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体X为离型随机变量时，设其分布律为，则称),;(21mxpxXP),;(),;,(1111222 nimimnxpxxxL为样本的似然函数。若似然函数在处),;,(2211mnxxxLm ,21取到最大值，则称分别为的最大似m ,21m,21然估计值，相应的统计量称为最大似然估计

36、量。miLiiin, 2 , 1, 0ln 若为 的极大似然估计，为单调函数，则为 )(xg)(g的极大似然估计。)(g无偏性设为未知参数 的估计量。若E （ ）=),(21nxxx ，则称 为 的无偏估计量。 E（）=E（X） ， E（S2）=D（X）X 有效性设和是未知参数),(2111nxxx ),(2122nxxx 的两个无偏估计量。若，则称有效。)()(21 DD21 比（2） 估计 量的 评选 标准一致性设是 的一串估计量，如果对于任意的正数，都有n , 0)|(|limn nP则称为 的一致估计量（或相合估计量）。n 若为 的无偏估计，且则 为 的一致 ),(0)(nD 估计。

37、只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的 连 续函数都是相应总体的一致估计量。 置信 区间 和置 信度设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本出发，找出两个统计量与nxxx,21),(2111nxxx，使得区间以),(2122nxxx)(21,21的概率包含这个待估参数 ，即) 10(1,121P 那么称区间为 的置信区间，为该区间的置 信,211度（或置信水平）。 设为总体的一个样本，在置信 度nxxx,21),(2NX为下，我们来确定的置信区间。具体步12和,21骤如下： （i）选择样本函数； （ii）由置信度，查表找分位数；1（iii）导出置信区间。,21已知方差，

38、估计均值（i）选择样本函数).1 , 0( /0N nxu (ii) 查表找分位数.1/0 nxP（iii）导出置信区间 nx nx00,未知方差，估计均值（i）选择样本函数).1( /nt nSxt(ii)查表找分位数.1 / nSxP（iii）导出置信区间 nSx nSx,（3） 区间 估计单正 态总 体的 期望 和方 差的 区间 估计方差的区间估计（i）选择样本函数).1() 1(2 22 nSnw （ii）查表找分位数.1) 1(2221 SnP（iii）导出 的置信区间 SnSn121,1 第第八八章章 假假设设检检验验 基本思 想假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以

39、 认为基本上是不会发生的，即小概率原理。 为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。 如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原 来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导 出 不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0 相对的假设称为备择假设，用H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件，其概率就是检验RK 水平，通常我们取=0.05，有时也取0.01或0.10。 基本步 骤假设检验的基本步骤如下： (i)提出零假设H0； (ii)选择统计量K； (iii)对于检验水平查表找分位数； (iv)由样本值计算统计量之值K；nxxx,21将进行

40、比较，作出判断：当时否定H0，否与 K)(| KK或则认为H0相容。 第一类错误当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按 照 我们规定的检验法则，应当否定H0。这时， 我 们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定 了 真实的假设），称这种错误为 “以真当假 ”的错 误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率， 即P否定H0|H0为真= ；此处的恰好为检验水平。两类错 误第二类错误当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按 照 我们规定的检验法则，应当接受H0。这时， 我 们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受 了 不真实的假设），称这种错误为 “以假当真 ”的 错误或第二类错误，记 为犯此类错

41、误的概 率，即 P接受H0|H1为真=。 两类错误的 关 系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。 但是，当容量n一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类 错误的概率，即给定显著性水平 。大小的 选取应根据实际情况而定。当我们宁可 “以假 为真” 、而不愿 “以真当假 ”时，则应把取 得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应 把 取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件零假设统计量对应样本 函数分布否定域00:H 21| uu00:H1uu已知200:HnxU /00 N（0，1）1uu00:H) 1(|21 ntt00:H) 1(1ntt未知200:HnSxT /0) 1( nt) 1(1ntt22 0:H) 1() 1(22122 nwnw或2 02 0:H) 1(2 1nw未知22 02 0:H2 02) 1( Snw) 1(2n) 1(2nw