导数普通地一些技巧和结论.doc

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1、导数常用的一些技巧和结论导数常用的一些技巧和结论（2017 年全国新课标 1理21）已知. 22xxf xaeaex（1）讨论的单调性； fx（2）若有两个零点，求的取值范围. fxa解析：（1） 2221211xxxxfxaeaeeae 若，则恒成立，所以在 R 上递减；0a 0fx fx若，令，得.0a 0fx 11,lnxexaa当时，所以在上递减；1lnxa 0fx fx1,lna当时，所以在上递增.1lnxa 0fx fx1ln,a综上，当时，在 R 上递减；当时，在上递减，在上递增.0a fx0a fx1,lna1ln,a（2）有两个零点，必须满足，即，且. fx min0f x0

2、a min111ln1ln0f xfaaa 构造函数，. 易得，所以单调递减. 1lng xxx 0x 110gxx 1lng xxx 又因为，所以. 10g 11111ln01101ggaaaaa 下面只要证明当时，有两个零点即可，为此我们先证明当时，.01a fx0x lnxx事实上，构造函数，易得，所以，即. lnh xxx 11hxx min11h xh 0h x lnxx当时，01a 22222110aeaeaafeee ，2333333ln121ln11 ln10afaaaaaaaa 其中，所以在和上各有一个零点.11lna 31lnlna aa fx11,lna13ln,lna

3、aa故的取值范围是.a0,1注意：取点过程用到了常用放缩技巧。一方面：；2233202030ln1xxxxxxxaaeaexaeaeeaeaexaa另一方面：时，（目测的）0x 220201xxxaeaexaexx 常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数），ln1xxln xxln 1xx（放缩成双撇函数），11ln12xxxx11ln012xxxx，1ln1xxxx1ln01xxxx（放缩成二次函数），2ln xxx21ln 1102xxxx 21ln 102xxxx（放缩成类反比例函数），1ln1xx 21ln11xxxx21ln011xxxx，ln 11x

4、xx2ln 101xxxx2ln 101xxxx 第二组：指数放缩（放缩成一次函数），1xexxexxeex（放缩成类反比例函数），101xexx10xexx （放缩成二次函数），21102xexxx 2311126xexxx 第三组：指对放缩 ln112xexxx第四组：三角函数放缩，. sintan0xxx x21sin2xxx22111cos1sin22xxx 第五组：以直线为切线的函数1yx，.lnyx11xye2yxx11yx lnyxx几个经典函数模型经典模型一：经典模型一：或或.ln xyxlnxyx【例 1】讨论函数的零点个数. lnf xxax（1）时，无零点.1ae，. 1

5、fxax max11ln10f xfaa （2）时，1 个零点.1ae，. 11fxxe maxln10f xf ee （3）当时，2 个零点.10ae（目测） ，其中.（放缩） 10fa 111ln1011111aafaaaaa 111ea. 10f eea ，其中.（用到了）2211111ln0faaaaaaa 2 21eea1ln1xxxx（4）当时，1 个零点.0a ，单调递增.， 10fxax 10fa .1122111110aaaaafeaaeaaaaeea【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1：）： lnf xxax1. 讨论的零点个数（令，） ； lnfxxm x

6、xt2ma2. 讨论的零点个数（令） ； lnf xxmx1am3. 讨论的零点个数（考虑） ； lnfxxxmx fxg xx4. 讨论的零点个数（考虑，令，） ； ln xfxmxx g xx fx3 2tx3 2ma5. 讨论的零点个数（令，） ； 2lnf xxmx2tx2ma6. 讨论的零点个数（令）. xf xaxexet经典模型二：经典模型二：或或xeyxxeyx【例 2】讨论函数的零点个数. xf xeax（1）时，1 个零点.0a ，单调递增. 0xfxea xf xeax且，所以在上有一个零点； 010fa 1110afea 1,0a（2）时，无零点.0a 恒成立； 0xf

7、xe（3）时，无零点.0ae； minln1 ln0f xfaaa（4）时，2 个零点.ae，.1110afea 10fea2ln2ln20faa aaa e【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2：）： xf xeax1. 讨论的零点个数（令，） ； 2xf xemx2xt2ma2. 讨论的零点个数（去分母后与 1 等价） ； xxemfxxe3. 讨论的零点个数（移项平方后与 1 等价） ； xfxem x4. 讨论的零点个数（移项开方后换元与 1 等价） ； 2xf xemx5. 讨论的零点个数（乘以系数 e，令） ； 1xf xemxema6. 讨论的零点个数（令，转化成

8、 2） ln xfxmxxtxe7. 讨论的零点个数（令，） ； 1xf xemxm1xt 2mae经典模型三：经典模型三：或或lnyxxxyxe【例】讨论函数的零点个数. lnaf xxx（1）时，1 个零点. 0a ，单调递增. 20xafxx lnafxxx，. 10fa 11ln 110111aafaaaaa （2）时，1 个零点（）.0a 01x （3）时，无零点.1ae ， 2xafxx minln10f xfaa （4）时，1 个零点.1ae .01xe min11ln10f xfee （5）时，2 个零点.10ae， 22111ln0f aaaaaaa 110feae 10fa 【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 3：）： lnaf xxx1.讨论的零点个数； 1lnfxaxx2. 讨论的零点个数（考虑，令） ； lnfxmxx f xg xxxt3. 讨论的零点个数（令） ； xafxxexet4. 讨论的零点个数； xafxex练习题练习题1. 已知函数有两个零点，求的取值范围. 221xf xxea xa2. 设函数，讨论的导函数的零点的个数. 2lnxf xeax fx fx3. 已知函数有两个零点，求的取值范围. 21xf xxeaxa4.已知函数. 当时，试讨论的零点的个数. 212xmf xexmx0m yfx