第五章矩阵分析-修订版.doc

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1、第五章第五章 矩阵分析矩阵分析本章将介绍矩阵微积分的一些内容本章将介绍矩阵微积分的一些内容. .包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识. .5.15.1 向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用起到了十分重要的作用. .一、向量的范数一、向量的范数定义定义 1 1 设设是数域是数域上上维（数组）向量全体的

2、集合，维（数组）向量全体的集合，是定义在是定义在VFnx上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：V1 1）非负性）非负性 对对中任何向量中任何向量，恒有，恒有，并且仅当，并且仅当时，才有时，才有Vx0x 0x=0=0；x2 2）齐次性）齐次性 对对中任意向量中任意向量及及中任意常数中任意常数，有，有VxFk;xkkx 3 3）三角不等式）三角不等式 对任意对任意，有，有Vyx,，yxyx则称此函数则称此函数（有时为强调函数关系而表示为（有时为强调函数关系而表示为） 为为上的一种向量范数上的一种向量范数. .xV例例 1 1 对对中向量中向

3、量，定义，定义nCT nxxxx,21，22 22 12nxxxxHx x则则为为上的一种向量范数上的一种向量范数 表示复数表示复数的模的模.2xnCixix证证 首先，首先，2nxC是上的实值函数，并且满足1 1）非负性）非负性 当当时，时，；当；当时，时，；0x 0x 0x 0x 2 2）齐次性）齐次性 对任意对任意及及，有，有kCnxC；222 1222|nkxkxkxkxkx3 3）三角不等式）三角不等式 对任意复向量对任意复向量，有，有1212( ,) ,(,)TT nnxx xxyy yy2222 21122|()nnxyxyxyxy222 1122()()()nnxyxyxy（由

4、（由 Cauchy-Cauchy-22111|2|nnniiii iiixxyy不等式）不等式）22 22222 22|2| |(| ) ,xxyyxy因此因此 222|xyxy所以所以 确为确为上的一种向量范数上的一种向量范数2|xnC例例 2 2 对对 或或 上向量上向量定义定义nCnR12( ,)Tnxx xx，112|nxxxx，1maxi i nxx 则则及及都是都是 或或 上的向量范数，分别称为上的向量范数，分别称为 1-1-范数和范数和范范1|xxnCnR数数. .证证 仅对后者进行证明仅对后者进行证明. .1 1）非负性）非负性 当当时，时，又显然有，又显然有；0x max0i

5、ixx002 2）齐次性）齐次性 对任意向量对任意向量及复数及复数，T nxxxx,21kmaxmax;iiiikxkxkxk x3 3）三角不等式）三角不等式 对任意向量对任意向量1212( ,) ,(,) ,TT nnxx xxyy yyiiiiiiyxyxyxmaxmaxiiiiyxmaxmax= =. . yx综上可知综上可知确为向量范数确为向量范数. .x上两例中的上两例中的是常用的三种向量范数是常用的三种向量范数. .xxx,21一般地，对于任何不小于一般地，对于任何不小于 1 1 的正数的正数，向量，向量的函数的函数pT nxxxx,21pnip ipxx11 也构成向量范数，称

6、为向量的也构成向量范数，称为向量的范数范数. .p注（注（1 1）当）当时，时，1p 1;pxx（2 2）当）当时，时，为为 2-2-范数，它是酉空间范数；当范数，它是酉空间范数；当为实数时，为实数时，2p 2xix为欧氏空间范数；为欧氏空间范数；1 22 2 1()ni ixx由由范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且，向量的范数并范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且，向量的范数并p不仅限于不仅限于范数范数. .在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到p两个著名的不等式，即：两个著名的不等式，即：1 1、HlderHlde

7、r 不等式不等式 设正实数设正实数满足满足则对任意的则对任意的有有, p q111,pq,nx yC11111() ()nnnpqpq iiii iiix yxy2 2、MinkowskiMinkowski 不等式不等式 对任意实数对任意实数, ,及及有有1p ,nx yC（）. .111111()()()nnnpppppp iiii iiixyxy例例 3 3 设设为为维向量，则维向量，则Tn1 , 1 , 1 n1,21xnxnx各种范数值差距很大各种范数值差距很大. .但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称为范数的等价性称为范数的等价性.

8、.定理定理 1 1 设设为有限维线性空间为有限维线性空间的任意两种向量范数（它们不限的任意两种向量范数（它们不限,V于于范数）范数） ，则存在正的常数，则存在正的常数, ,使对一切向量使对一切向量，恒有，恒有p12,C Cx(1)(1)xCxxC21证证 如果范数如果范数和和都与一固定范数譬如都与一固定范数譬如 2-2-范数范数满足式（满足式（1 1）的）的xx2x关系，则这两种范数之间也存在式（关系，则这两种范数之间也存在式（1 1）的关系，这是因为若存在正常数）的关系，这是因为若存在正常数和和，使，使12,C C12,CC1222122,CxxCxCxxCx成立，则显然有成立，则显然有11

9、22|C CxxC Cx 令令，则得式（，则得式（1 1） ，因此只要对，因此只要对证明或（证明或（1 1）成立即可）成立即可. .111222,CC C CC C 2设设是是维的，它的一个基是维的，它的一个基是，于是，于是中的任意向量中的任意向量可表示为可表示为Vn12,nx xxVx1 122nnxxxx从而，从而，可视为可视为 n n 个变量个变量的函数，的函数，1 122nnxxxx12,n 记为记为，易证，易证是连续函数，事实上，若令是连续函数，事实上，若令12( ,)nx 12( ,)n , ,则则1 122nnxxxxV. .12( ,)nx 1212( ,)( ,)nnxxxx

10、 . .11111()()nnnnnnxxxx由于由于 是常数，因此是常数，因此与与充分接近时，充分接近时，ix(1,2, )inii就与就与充分接近，所以充分接近，所以是连续函数是连续函数. .12( ,)n 12( ,)n 12( ,)n 所以在有界闭集所以在有界闭集上，上，222 1212( , )1nS 函数函数可达到最大值可达到最大值及最小值及最小值. .因此在因此在中，中，不能全不能全12( ,)n 2C1CSi为零，所以为零，所以. .记向量记向量10C ，12 12222n nyxxxxxx则其坐标分量满足则其坐标分量满足，22212 122221nxxxxx因此，因此，. .

11、从而有从而有yS. .11 122220,nCyCxxx但但故故 . .2,xyx122xCCx即即 . .12222C xxCx二、矩阵的范数二、矩阵的范数定义定义 2 2 设设是数域是数域F F上所有上所有矩阵的集合，矩阵的集合，是定义在是定义在上的一个上的一个VnmAV实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：对实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：对中任意矩阵中任意矩阵、及及中中VABF任意常数任意常数总有总有k1 1）非负性）非负性 并且仅当并且仅当时，才有时，才有；0A0A0A2 2）齐次性）齐次性 ；AkkA 3 3）三角不等式）三角不等式 ；BABA则称则称是是上的一种矩阵范数

12、上的一种矩阵范数. . AV例例 4 4 对对（或（或）上的矩阵）上的矩阵定义定义nmCnmRA()ija， minjijMaA111， minjijMaA1122， 1 1maxijMi m j nAa 则则都是都是（或（或）上的矩阵范数）上的矩阵范数. . MMM, 21nmCnmR实用中涉及较多的是方阵的范数，即实用中涉及较多的是方阵的范数，即的情形的情形. .mn定义定义 3 3 设设是数域，是数域，是是上的方阵范数上的方阵范数. .如果对任意的如果对任意的，FnnF,n nA BF总有总有，ABAB则说方阵范数则说方阵范数具有乘法相容性具有乘法相容性. .注意：在某些教科书上，往往把

13、乘法相容性直接纳入方阵范数的定义中注意：在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳入方阵范数的定义中作为第作为第 4 4 个条件，在读书时，只要注意到各自定义的内涵就可以了个条件，在读书时，只要注意到各自定义的内涵就可以了. .例例 5 5 对对上的矩阵上的矩阵定义定义，则，则是一种矩阵是一种矩阵nnCAijaijnjianA ,1max范数，并且具备乘法相容性范数，并且具备乘法相容性. .证证 非负性与齐次性显然成立，另两条证明如下：三角不等式非负性与齐次性显然成立，另两条证明如下：三角不等式ijijbanBAmaxmaxmaxijijnab；BA 乘法相容性乘法相容性 nkkjiknkkjik

14、banbanAB11maxmax， BAbnanijijmaxmax证得证得为矩阵范数且具有乘法相容性为矩阵范数且具有乘法相容性. .A并不是所有的方阵范数都具有乘法相容性并不是所有的方阵范数都具有乘法相容性. .例如对于例如对于上的方阵范数上的方阵范数22R就不具备相容性条件就不具备相容性条件. .此时此时.M. .ijjiMaA 2,1max 取取 ，1110,0111AB则有则有 ，1 MMBA而而 . .2MMMABAB 定义定义 4 4 如果如果阶矩阵阶矩阵的范数的范数与与维向量维向量的范数的范数，使对任意，使对任意阶阶nAAnxxn矩阵矩阵及任意及任意维向量维向量均有均有，则称矩阵

15、范数，则称矩阵范数与向量范数与向量范数AnxxAAx A是相容的是相容的. .x定理定理 2 2 设设是某种向量范数，对是某种向量范数，对阶矩阵阶矩阵定义定义xnAAxxAxA xx10maxmax （2 2）则则为方阵范数，称为由向量范数为方阵范数，称为由向量范数导出的矩阵范数，而且它具有乘法相导出的矩阵范数，而且它具有乘法相Ax容性并且与向量范数容性并且与向量范数相容相容. .x证证 首先可证，由（首先可证，由（2 2）式定义的函数关系）式定义的函数关系满足与向量范数满足与向量范数的相的相|A|x容性容性. .对于任意对于任意阶矩阵阶矩阵及及维向量维向量，当，当时，有时，有nAnx0x ，

16、 0|max|yAxAyAxy即即 | |;AxAx（3 3）而当而当时，时，于是总有（，于是总有（3 3）式成立）式成立. .0x | 0 | |AxAx容易验证容易验证满足范数定义中的非负性、齐次性及三角不等式三个条件，满足范数定义中的非负性、齐次性及三角不等式三个条件，|A因而因而是一种方阵范数是一种方阵范数. .并且，对任意并且，对任意阶矩阵阶矩阵，利用（，利用（2 2）式和（）式和（3 3）An,A B式可得式可得. . 000maxmaxmax xxxABxABxBxABAABxxx即说矩阵范数即说矩阵范数具备乘法相容性具备乘法相容性. .A一般地，把由向量一般地，把由向量范数范数

17、导出的矩阵范数记作导出的矩阵范数记作. .下面看常用的下面看常用的ppxpA三种矩阵范数：三种矩阵范数：例例 6 6 证明：对证明：对 n n 阶复矩阵阶复矩阵，有，有i jAa1 1），称为，称为 A A 的列和范数的列和范数. . 11maxnijj niAa 2 2），称为，称为 A A 的行和范数的行和范数. . 11maxnijj njAa 证证 1 1）设）设. .若若 A A 按列分块为按列分块为 111maxnnijikj niiwaa 12(,)nA 则则. .任意任意维向量维向量，有，有111maxkjj nw n12( ,)Tnxx xx11221122111111211

18、1()max.nnnnnjj nAxxxxxxxxxxx w 于是，对任意非零向量于是，对任意非零向量有有. .x11Axwx以下证明存在非零向量以下证明存在非零向量使使. .事实上，设事实上，设是第是第个分量为个分量为 1 1ke11kkAewekek而其余分量全为而其余分量全为 0 0 的向量，则的向量，则, ,且且1ke=1, ,1kik iAeawn=1即即 . .11kkAewe2 2）的证明与）的证明与 1 1）相仿，留给读者去完成）相仿，留给读者去完成. .例例 7 7 证明对证明对阶复矩阵阶复矩阵，有，有nA，21maxii nA 这里这里是是的奇异值，称此范数为的奇异值，称此

19、范数为的谱范数的谱范数. .nii, 2 , 1AA证证 设设的全部特征根为的全部特征根为不妨设不妨设. .于是于是HA A12,n 11maxii n . .因为因为为为矩阵，故有酉矩阵矩阵，故有酉矩阵，使得，使得111maxii n HA AH U. .,HHUA AVdiag 12n(,)如设如设则则是是相应于特征根相应于特征根的单位特征向量，即有的单位特征向量，即有12( ,)nUu uuiuHA Ai. .,H iiiA A uu21iu对任意满足对任意满足的复向量的复向量 ，有，有2|1x12( ,)Tnxx xx2 2|() ()HHAxAxAxxHUU x令令，则，则，说明，说

20、明亦为单位向量亦为单位向量. .若设若设HyU x222 222|1HyU xxy, ,则则12(,)Tnyy yy22 2 1|1ni iyy于是于是 . .22 21 1|n H ii iAxyyy 即有即有 . .12Ax由由的任意性，便得的任意性，便得 x21221max xAAx 特别取特别取，则有，则有，1xu2 1111 1112HHHAuu A Auu u即即 . .112Au这说明这说明在单位球面在单位球面上可取到最大值上可取到最大值，从而证明了，从而证明了 2Ax21,nx xxC121221max xAAx 各种矩阵范数之间也具有范数的等价性各种矩阵范数之间也具有范数的等

21、价性定理定理 3 3 设设是任意两种矩阵范数是任意两种矩阵范数 则有正实数则有正实数使对一切矩阵使对一切矩阵,aAA12,C C恒有恒有A12aCAACA5.25.2 向量与矩阵序列的收敛性向量与矩阵序列的收敛性在这一节里，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上在这一节里，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上去去. .可数多个向量（矩阵）按顺序成一列，就成为一个向量（矩阵）序列，可数多个向量（矩阵）按顺序成一列，就成为一个向量（矩阵）序列，例如例如 ，( )( )( ) 12(,)kkkT knxxxx1,2,3,k 是一个是一个维向量序列，记为维向量序列，记为，诸，

22、诸的相应分量则形成数列的相应分量则形成数列. .nkxkxk ix定义定义 5 5 设有向量序列设有向量序列. .如果对如果对，( )( )( ) 12:(,)kkkT kknxxxxx1,2,in数列数列均收敛且有均收敛且有，则说向量序列，则说向量序列收敛收敛. .如记如记( )k ix( )limk iikxx kx，则称，则称为向量序列为向量序列的极限，记为的极限，记为，或简记为，或简记为12( ,)Tnxx xxxkxlimkkxx . .kxx如果向量序列如果向量序列不收敛，则称为发散不收敛，则称为发散. .类似于数列的收敛性质，读者不类似于数列的收敛性质，读者不kx难证明向量序列的

23、收敛性具有如下性质难证明向量序列的收敛性具有如下性质. .设设是是中两个向量序列，中两个向量序列，是复常数，是复常数，如果如果,kkxynC, a bn,mAC，则，则lim,limkkkkxxyy 1lim();2lim.kkkkkaxbyaxbyAxAx定理定理 4 4 对向量序列对向量序列，的充分必要条件是的充分必要条件是， kxxxk klim0lim xxk k其中其中是任意一种向量范数是任意一种向量范数. .证明证明 1 1）先对向量范数）先对向量范数证明定理成立证明定理成立. .有有inixx 1max，；ik ikkkxxxx )(limlimni,.,2 , 1；, 0lim

24、)( ik ikxxni,.,2 , 1；0maxlim)(1 ik inikxx. .0limxxk k2 2）由向量范数等价性，对任一种向量范数）由向量范数等价性，对任一种向量范数，有正实数，有正实数，使，使21,bb. .令令取极限即知取极限即知xxbxxxxbkkk21k. .lim0lim0kkkkxxxx于是定理对任一种向量范数都成立于是定理对任一种向量范数都成立. .根据上述定义，向量序列有极限的根本之处在于各分量形成的数列都有根据上述定义，向量序列有极限的根本之处在于各分量形成的数列都有极限极限. .由于由于中矩阵可以看作一个中矩阵可以看作一个维向量，其收敛性可以和维向量，其收

25、敛性可以和中的向中的向m nCmnmnC量一样考虑量一样考虑. .因此，我们可以用矩阵各个元素序列的同时收敛来规定矩阵序列因此，我们可以用矩阵各个元素序列的同时收敛来规定矩阵序列的收敛性的收敛性. .定义定义 6 6 设有矩阵序列设有矩阵序列，如果对任何，如果对任何 nmk ijkkaAA:)(，均有，均有, (1,1)i jimjn ijk ijkaa )(lim则说矩阵序列则说矩阵序列收敛，如令收敛，如令，又称，又称为为的极限的极限. .记为记为 kAnmijaAA kA或或. .,limAAk k AAk矩阵序列不收敛时称为发散矩阵序列不收敛时称为发散. .讨论矩阵序列极限的性质，以下设

26、所涉及的矩阵为讨论矩阵序列极限的性质，以下设所涉及的矩阵为阶矩阵：阶矩阵：n1)1) 若若，为数列且为数列且，则，则. .AAk k lim kaaak k limaAAakkk lim特别，当特别，当为常数时，为常数时，. .akkkkAaaA limlim2)2) 若若，则，则. .AAk k limBBk k limBABAkkk lim3)3) 若若，则，则. .AAk k limBBk k limABBAkkk lim4)4) 若若且诸且诸及及均可逆，则均可逆，则收敛，并且收敛，并且AAk k limkAA 1 kA. .11lim AAk k容易证明性质容易证明性质 1)-3)1)

27、-3)成立，对性质成立，对性质 4)4)注意到行列式注意到行列式值定义的和式无非是值定义的和式无非是kA中元素中元素的乘法与加法之组合，再由的乘法与加法之组合，再由 kA( )( ,1,2, )k ijai jnlim k( ),k ijijaa即可知即可知limkkAA 用用表示表示中中元素的代数余子式，用元素的代数余子式，用表示表示中（中（）元素的代）元素的代( )k ijAAk( , )i jijAA, i j数余子式，便有数余子式，便有. .( )limk ijijkAA 进而进而 . .*limkkAA 这里这里是是的伴随矩阵，的伴随矩阵，是是的伴随矩阵的伴随矩阵. .又又* kAk

28、A*AA，* 1k k kAAA所以所以. .* 11limkkAAAA定理定理 5 5 对于矩阵序列对于矩阵序列，的充分必要条件是对任何一种矩阵范的充分必要条件是对任何一种矩阵范 kAlimkkAA 数数, ,有有lim0kkAA 定理定理 5 5 的证明与定理的证明与定理 4 4 类似，由于矩阵范数的等价性，只需证明对矩阵类似，由于矩阵范数的等价性，只需证明对矩阵范数范数定理成立，其方法也与定理定理成立，其方法也与定理 4 4 的证明一致，这里从略的证明一致，这里从略. . ,maxiji jAa以下主要介绍范数在特征值估计方面的应用以下主要介绍范数在特征值估计方面的应用. .定义定义 7

29、 7 设设, ,为为的的个特征值，称个特征值，称n nAC1,jnAn( )maxjjA为为的谱半径的谱半径. .A有了谱半径的概念，可以对矩阵范数作如下的初步估计有了谱半径的概念，可以对矩阵范数作如下的初步估计. .定理定理 6 6 设设, ,则对则对上的任一矩阵范数上的任一矩阵范数，皆有，皆有n nACn nC( )AA证证 设设是是的特征值，的特征值，为为的属于特征值的属于特征值的特征向量，故的特征向量，故，所，所AxA0x 以以. .另设另设是是上与矩阵范数上与矩阵范数相容的向量范数，由相容的向量范数，由，应有，应有0x vnCAxxvvAxx而而, ,于是有于是有vvAxA xvvx

30、A x同除同除，有，有0vx. .A故故 , ,max jA于是于是 . .( )AA定理定理 7 7 设设，的充分必要条件是的充分必要条件是. .n nAClim0kkA ( )1A证证 对对, ,由定理由定理 3.5.13.5.1 知，存在知，存在阶的逆矩阵阶的逆矩阵使得使得n nACnP, ,1 12(,)sP APJdiag J JJ其中其中, ,10 11 0 iiiiiiinnJ 则则 . .1 12(,)kkkkk sP A PJdiag JJJ因此因此. .而而lim0lim0lim0(1,2, )kkk ikkkAJJis (1)11()()()()2(1)()()1()2

31、()()in kikikiki ikikik ikikikiffffnffJ fff ！其中其中因为对任一多项式因为对任一多项式当当时，时，. .( )k kf( ),gk ( )01k iig k而而. .1(1,2, )( )1iisA由定理由定理 6 6 和定理和定理 7 7 即得如下结果即得如下结果. .定理定理 8 8 设设, ,如果存在如果存在上的一种相容矩阵范数上的一种相容矩阵范数使使，n nACn nC.1A 则则lim k0kA 5.35.3 矩阵的导数矩阵的导数本节讨论三种导数：矩阵对变量的导数、函数对矩阵的导数、矩阵对矩本节讨论三种导数：矩阵对变量的导数、函数对矩阵的导数

32、、矩阵对矩阵的导数阵的导数一、函数矩阵对变量的导数一、函数矩阵对变量的导数如果矩阵中诸元素都是某实变量如果矩阵中诸元素都是某实变量的函数，则称这种矩阵为函数矩阵的函数，则称这种矩阵为函数矩阵. .x它的一般形式是它的一般形式是， )()()()()()()()()(212222111211xaxaxaxaxaxaxaxaxaxAmnmmnn其中其中都是实变量都是实变量的函数的函数. .( )1,2,;1,2,ijaximjnx定义定义 8 8 设函数矩阵设函数矩阵，如果对一切正整数，如果对一切正整数( )( )ijm nA xax，均有，均有,1,1i jimjn 0limijijxxaxb

33、则说当则说当时函数矩阵时函数矩阵有极限有极限, ,叫做叫做的极限的极限, ,记为记为0xx ( )A xnmijbB( )A x. . 0lim xxA xB 该定义的实质是：如果该定义的实质是：如果的所有各元素的所有各元素在在处都有极限，则说处都有极限，则说( )A x( )ijax0x在在处有极限处有极限. .( )A x0x( )A x若若的所有各元素的所有各元素在在处连续，即处连续，即( )A x( )ijax0x00lim( )()ijxxA xax (1,2,;1,2, )im jn则称则称 A A在在处连续，且记为处连续，且记为. .如果如果在某区间在某区间( )x0xx00li

34、m( )() xxA xA x ( )A x上处处连续，则说上处处连续，则说在在上连续上连续. . , a b( )A x , a b容易验证下列等式是成立的：容易验证下列等式是成立的：设设，则，则 00lim,lim xxxxA xAB xB （1 1）；0lim( ( )( ) xxA xB xAB （2 2）；0lim( ) xxkA xkA （3 3）. .0lim( ) ( ) xxA x B xAB 定义定义 9 9 对于函数矩阵对于函数矩阵，如果所有元素，如果所有元素 nmijxaxA)(在某点在某点处处 或在某区间上或在某区间上 均可导，则称均可导，则称 njmixaij, 2

35、 , 1;, 2 , 1x在在处处 或在某区间上或在某区间上 可导可导. .导数导数 或导函数或导函数 记为记为，简记为，简记为. .并并 xAx dA xdx xA规定规定, , 111212122212nnmmmnaxaxaxaxaxaxdA xA xdx axaxax 其中其中表示表示对对的一阶导数的一阶导数. . ijax xaijx矩阵对变量的导数运算具有如下一些性质：矩阵对变量的导数运算具有如下一些性质：11 若函数矩阵若函数矩阵都可导，则它们的和亦可导，并且都可导，则它们的和亦可导，并且 xBxA,. . xBdxdxAdxdxBxAdxd22 若若可导，可导，是是的可导函数，则

36、的可导函数，则可导，且可导，且 xA( )f xx xf xA， xAdxdxfxAxfdxdxAxfdxd 特别地，当特别地，当为常数为常数时，有时，有 xfk. . xAdxdkxkAdxd33 若若可导，则可导，则可导，并且可导，并且 xA xAT T T dxxdAxAdxd44 若若，可导且二者可乘，则可导且二者可乘，则亦可导，且亦可导，且 xA xB xA xB. . xBdxdxAxBxAdxdxBxAdxd 推论推论 若若可导，可导，为数字矩阵，则为数字矩阵，则 xAQP, , xAdxdPxPAdxd. . QxAdxdQxAdxd 55 若若为可逆的可导函数矩阵，则为可逆的

37、可导函数矩阵，则亦可导，且亦可导，且 xA xA1. . xAdxxdAxAxAdxd111证证 因为因为所以所以1( ) ( ),Ax A xE. .1 11( )( )( ) ( )( )( )0ddAxdA xAx A xA xAxdxdxdx 于是于是1 11( )( )( )( )dAxdA xAxAxdxdx 函数矩阵的导数本身也是一个函数矩阵，它可以再进行术导运算，下面函数矩阵的导数本身也是一个函数矩阵，它可以再进行术导运算，下面我们给出函数矩阵对纯量的高阶导数：我们给出函数矩阵对纯量的高阶导数：2232321( )( )()( )( )()( )( )()kkkd A xddA

38、 x dxdxdx d A xdd A x dxdxdxd A xddA x dxdxdx 例例 1 1 设设为为阶可导函数矩阵，求阶可导函数矩阵，求的一、二阶导数的一、二阶导数. .)(xAn xA2解解 xAxAxAxAxAxAdxdxAdxd2 注意一般注意一般 2( )2( ) ( )dAxA x A xdx xAxAxAxAdxdxAdxd2 22. . xAxAxAxAxA 22例例 2 2 设设, , txtxtxxn21其中其中均为均为 的可导函数，的可导函数，为为阶实对称矩阵，求二次型阶实对称矩阵，求二次型txitnnijaAn对对 的导数的导数. .AxxTt解解 . .

39、xAxxAxAxxAxxdtdTTTT又又为数字矩阵，为数字矩阵， =0=0，又，又为为 的函数的函数. .而有而有AAxAxTt. . AxxxAxxAxxAxTTTTTT所以所以 . .xAxAxxdxdTT 2二、函数对矩阵的导数二、函数对矩阵的导数定义定义 1 1 设设为多元实变量矩阵，为多元实变量矩阵，nmijxX 1111,nmmnfXf xxxx是以是以中诸元素为变量的多元函数，并且偏导数中诸元素为变量的多元函数，并且偏导数Xijxf 1,2,;1,2,im jn都存在，则定义函数都存在，则定义函数对矩阵对矩阵的导数为的导数为)(XfX mnmmnnxf xf xfxf xf x

40、fxf xf xfdXdf212222111211特别，当特别，当为向量为向量时，函数时，函数对对之导数为之导数为XT nxxxx,21nxxxf,21x xfxf xf xf dxdfTn ,21例例 3 3 设设, ,求求 minjijnmijxXfxX112,dXdf解解 . .2,1,2,;1,2,ij ijfximjnx. .XxxxxxxxxxdXdfmnmmnn2222222222212222111211例例 4 4 设设，则，则1122,nnaxaxaxax 1 122( )T nnf xa xa xa xa x12na adfadx a 三、矩阵对矩阵的导数三、矩阵对矩阵的导数定义定义 1111 设矩阵设矩阵中每一个元素中每一个元素都是矩阵都是矩阵中各中各nmklaAklaqpijbB元素元素的函数，当的函数，当对对中各元素都可导时，则称矩中各元素都可导时，则称矩(1,2,., ;1,2,., )ijb ip jqAB阵阵对矩阵对矩阵可导，且规定可导，且规定对对的导数为的导数为ABAB, ,11122122212qqpppqAAA bbbAAAdAbbbdBAAA bbb 其中其中，是一个是一个矩阵矩阵. .111122212212nijijijnijijiji