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1、初三数学培优卷:二次函数考点分析二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)一般式:y=ax2+bx+c,三个点顶点式:y=a(xh)2+k,顶点坐标对称轴顶点坐标(2b a,24 4acb a) 顶点坐标(h,k)a b c 作用分析aa的大小决定了开口的宽窄开口的宽窄,a越大,开口越小,a越小,开口越大,a a,b b 的符号共同决定了对称轴的位置,当 b=0 时,对称轴 x=0,即对称轴为 y 轴,当 a,b 同号时,对称轴 x=2b a0,即对称轴在 y 轴右侧, (左同右
2、异 y 轴为0)cc的符号的符号决定了抛物线与 y 轴交点的位置,c=0 时,抛物线经过原点,c0 时,与 y 轴交于正半轴;c0 时,与y轴交于负半轴,以上 a,b,c 的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出交点式:y=a(x- x1)(x- x2), (有交点的情况)与 x 轴的两个交点坐标 x1,x2 对称轴为221xxh一元二次方程一元二次方程根的分布情况根的分布情况02cbxax设方程的不等两根为且,相应的二次函数为,200axbxca12,x x12xx 20f xaxbxc方程的根即为二次函数图象与轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)x表一:(
3、两根与 0 的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于 0 120,0xx两个正根即两根都大于 0 120,0xx一正根一负根即一个根小于0,一个大于 0120xx大致图象()0a得出的结论 002 00b a f 002 00b a f 00 f大致图象()0a得出的结论 002 00b a f 002 00b a f 00 f综合结论(不讨论)a 002 00b a a f 002 00b a a f 00 fa表二:(两根与 的大小比较)k分布情况两根都小于即kkxkx21,两根都大于即kkxkx21,一个根小于,一个大于即kk21xkx大致图象()0a得出的结论 02 0b
4、ka f k 02 0bka f k 0kf大致图象()0a得出的结论 02 0bka f k 02 0bka f k 0kf综合结论(不讨论)a 02 0bka a f k 02 0bka a f k 0kfakkk表三:(根在区间上的分布)分布情况两根都在内nm,两根有且仅有一根在内nm,(图象有两种情况,只画了一种)一根在内,另一根在nm,内,qp,qpnm大致图象()0a得出的结论 0002f mf n bmna 0nfmf或 0000f mf nfpf q 0 0f m f n fp f q大致图象()0a得出的结论 0002f mf n bmna 0nfmf或 0000f mf n
5、fpf q 0 0f m f n fp f q综合结论(不讨论)a 0nfmf 00qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间外,即在区间两侧, (图形分别如下)nm,12,xm xn需满足的条件是(1)时,; (2)时,0a 00f mf n0a 00f mf n对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:(1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况:nm,若或,则此时不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为或1 0f m 0f n 0f mf n Am,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间内,从而可以求出参数的值。如方程nnm,在区间上有一根,因为,所以,2220mxmx
6、1,3 10f22212mxmxxmx另一根为,由得即为所求;2 m213m223m方程有且只有一根,且这个根在区间内,即,此时由可以求出参数的值,然后再将参数2nm,0 0 的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内,求的取值范围。分析:由即24260xmxm3,0m 300ffA得出;由即得出或,当141530mm15314m 0 2164 260mm1m 3 2m 时,根,即满足题意;当时,根,故不满足题意;1m 23,0x 1m 3 2m 33,0x 3 2m 综上分析,得出或15314m 1m 例例 1、已知二次方程有一正根
7、和一负根,求实数的取值范围。221210mxmxmm例例 2、已知方程有两个不等正实根,求实数的取值范围。2210xmxmm例例 3、已知二次函数与轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求222433ymxmxmx实数的取值范围。m例例 4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于 1,求实数的取值范围。22340mxmxm1.解:由 即 ,从而得即为所求的范围。 2100mfA2110mm112m2 解:由 0102 2 00mf A2180 1 0mm m m 32 232 2 0mm m或或即为所求的范围。032 2m32 2m 3 解:由 即 即为所求的范围。 210mfA2210mmA122m 4 解:由题意有方程在区间上只有一个正根,则 即为所求0,1 010ffA4 310mA1 3m 范围。(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内,由计算检验,均不复合0,10 题意,计算量稍大)