二次函数与特殊地三角形(含答案内容.).doc

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1、二次函数与特殊的三角形二次函数与特殊的三角形 第一组第一组 等腰三角形等腰三角形(2016 山东临沂，26，13 分)（5）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+10 与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点点 C 的 坐标是(8，4)，连接 AC，BC(1)求过 O，A，C 三点的抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；(2)动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动规定其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，PA=QA？

2、(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使以 A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由(2016 新疆建设兵团，新疆建设兵团，23，13 分）分）如图，抛物线的顶点为 E，该抛物23(0)yaxbxa线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 BO=OC=3AO，直线与 y 轴交于113yx 点 D （12） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符 合条件的 P 点坐标，若不存在，请说明理由(2016 重庆 A，26，12 分)如图 1，在平面直角坐标系中，

3、抛物线与212 3333yxx x 轴交于 AB 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E. (1)判断ABC 的形状，并说 明理由； (2)经过 BC 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动 点，当PCD 的面积最大时，点 Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上 点 M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动 到点 A 处停止. 当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长； (3)如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线

4、 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为点E，点 A 的对应点为点 A. 将AOC 绕点 O 顺时针旋转至的位置，点 AC 的对11AOC应点分别为点，且点恰好落在 AC 上，连接，. 是否能为等1A1C1A1C A1C E1A C E腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E的坐标；若不能，请说明理由.第二组 直角三角形 10. （ 2016 山东省枣庄市，山东省枣庄市，25，10 分）分）如图，已知抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴为直 线 x1，且经过 A(1，0)，C(0，3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B 若直接 ymxn 经过 B，C 两点，求抛物线和直线 BC 的解析式；

5、 在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与点 C 的距离之和最小，求 点 M 的坐标； 设点 P 为抛物线的对称轴 x1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标xyOCAB答案：1、(1)解：令 y=0，则2x+10=0，x=5，A(5，0) 把 x=0 代入 y=2x+10，得 y=10，B(0，10) 设过 O，A，C 三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，可得 0 2550 6484c abc abc， ，=+ =+ =解得1 6 5 6 0abc，=-抛物线的解析式为 y=x2x3 分1 65 6 ABC 是直角三角形，理由如下： B(

6、0，10)，A(5，0)，OA=5，OB=10，AB2=125，AB=5 5 C(8，4)，A(5，0)，AC2=25，AC=5 B(0，10)，C(8，4)，BC2=100，BC=10 AC2+BC2=AB2，ABC 是直角三角形，且C=905 分(2)PA=QA， 又PA2=(2t)2+52，QA2=(10t)2+52， (2t)2+52=(10t)2+52，解得 t=10 3故当运动时间为秒时，PA=QA8 分10 3 (3)存在抛物线 y=x2x 过 O，A 两点，则对称轴是 x=，设 M 的坐标为(，m)，1 65 65 25 2 当 AM=BM 时，M 是 AB 的垂直平分线与抛物

7、线的交点， 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 P，与 AB 交于点 Q， 由题意可知 PQy 轴，P 是 OA 的中点， Q 是 AB 的中点， AB 的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是 Q，此时不能形成三角形当 AB=BM 时，()2+(10m)2=AB2=125，解得 m1=，m2=，5 2205 19 2+205 19 2-M1(，)，M2(，)10 分5 2205 19 2+5 2205 19 2-当 AB=AM 时，(5)2+m2=AB2=125，解得 m3=，m4=，5 25 19 25 19 2M3(，)，M4(，)5 25 19 25 25 19 2综上所述，存在点 M，共

8、有 4 个点，分别是 M1(，)，M2(，)，5 2205 19 2+5 2205 19 2-M3(，)，M4(，)12 分5 25 19 25 25 19 2解：（1）由抛物线，令 x=0，得 y=323(0)yaxbxaC（0，3） ， OC=3 BO=OC=3AO， OB=3，AO=1 A（1，0） ，B（3，0）代入，得：23(0)yaxbxa30,9330abab 解得：1, 2a b 抛物线的解析式为223yxx（2）P1（1，1） ，P2（1，） ，P3（1，） ，P4（1，） ，P5（1，317 317 14）14设点 P 的坐标为（1，m） 分三种情况讨论： 若 PC=PB，

9、则 PC2=PB2即2222(3 1)1(3)mm解得：m=1，P1（1，1） 若 PC=BC，则 PC2=BC2即2221(3)(3 2)m解得：，1317m 2317m P2（1，） ，P3（1，）317 317 若 PB=BC，则 PB2=BC2即222(3 1)(3 2)m解得：，114m 214m P4（1，） ，P5（1，）1414综上所述，可知满足条件的点 P 的坐标共有 5 个，分别是 P1（1，1） ，P2（1，） ，P3（1，） ，P4（1，） ，P5（1，）317 317 14143、(1)ABC 为直角三角形，理由如下：当 y=0 时，即，解这个方程，得. 212 33

10、033xx123,3 3xx 点 A(，0)，B(，0). 33 3OA=，OB=3. 33 当 x=0 时，y=3，点 C(0，3)，OC=3. 在 RtAOC 中，. 222223312ACOAOC在 RtBOC 中，.222223 3336BCOBOC又，12+36=48，.223 3348AB 222ACBCABABC 为直角三角形. (2)如图 1，点 B(，0)，C(0，3)，直线 BC 的解析式为.3 3333yx 过点 P 作 PG/y 轴交直线 BC 于点 G. 设点 P(a，)，则点 G(a，)，212 3333aa333aPG=()()=. 212 3333aa333a2

11、133aa设点 D 的横坐标为，点 C 的横坐标为.DxCx.211133223PCDDCSxxPGaa 233 39 3 628a ，当时，PCD 的面积最大，此时点 P(，). 03 3a3 3 2a 3 3 215 4如图 1，将点 P 向左平移个单位至点 P，连接 AP交 y 轴于点 N，过点 N 作 NM抛物3 线对称轴于点 M，连接 PM. 点 Q 沿 PMNA 运动，所走的路程最短，即最短路径 的长为 PM+MN+NA 的长. 点 P(，)，点 P(，).3 3 215 43 215 4又点 A(，0)，直线 AP的解析式为.35 35 62yx当 x=0 时，y=，点 N(0，

12、). 5 25 2过点 P作 PHx 轴于点 H，则有 HA=，PH=，AP=.3 3 215 43 37 4点 Q 运动的最短路径的长为 PM+MN+AN=+=. 3 37 433 374 3 4(3)如图 2，在 RtAOC 中，tanOAC=，OAC=60.333OC OAOA=，为等边三角形，=60，=30.1OA1OAA1AOA1BOC又由，得点.13OCOC13 3 3,22C 点 A(，0)，E(，4)，AE=.332 7.2 7A EAE直线 AE 的解析式为，2 323yx设点 E(a，)，则点 A(，).2 323a2 3a2 323a.2222 13 32 33735 3

13、24923233C Eaaaa若，则有，即.11C AC E22 11C AC E2277 3735 37493333aaaa解这个方程，得，点 E(，5). 3 3 2a 3 3 2若，则有，即，1C AA E22 1C AA E2735 3492833aa解这个方程，得，.15 339 2a25 339 2a点 E(，)或(，). 5 339 27135 339 2713若，则有，即，1E AE C22 1E AE C277 372833aa解这个方程，得，.1339 2a2339 2a点 E(，). 339 2313综上所述，符合条件的点 E的坐标为(，5)或(，)或3 3 25 339 2713(，)或(，).5 339 2713339 2313