高中数学专题2.14,等或不等解存在转化值域可实现（解析版）.docx

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1、高中数学专题2.14,等或不等解存在，转化值域可实现（解析版） 导数探讨方程的根或不等式的解集 利用导数探讨方程解的存在性，通常可将方程转化为，通过确认函数或的值域，从而确定参数或变量的范围； 类似的，对于不等式，也可仿效此法 来源:Zxxk.Com 例1已知函数 （1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值； （2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由； （1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；（2）假设存在，可推导出冲突，即可证明不存在来源:学。科。网Z。X。X。K 例2已知函数的最大值为， 的图象关于轴对称 ()求实数的值；来源:Z*xx*k.Com ()设，是

2、否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由 () 由题意得，可得在上单调递增，在上单调递减，可得的最大值为，可得。由的图象关于轴对称，可得。 ()由题知，则，从而可得在上递增。假设存在区间，使得函数在上的值域是，则，将问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根的问题，即在区间上是否存在两个不相等实根，令，可得在区间上单调递增，不存在两个不等实根。 问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根， 即方程在区间上是否存在两个不相等实根， 令， ， 则, 设, 则， ， 故在上递增，学科网 故，所以，故在区间上单调递增， 故方程在区间上不存在两

3、个不相等实根， 综上，不存在区间使得函数在区间上的值域是 点睛：（1）解决导数综合题时，函数的单调性、极值是解题的基础，在得到单调性的基础上经过分析可使得问题得以解决。 （2）对于探究性问题，在求解的过程中可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到冲突，若得到冲突，则说明假设不成立；若无冲突出现，则说明假设成立，从而说明所证明题成立。例3已知函数为常数 （1）当在处取得极值时，若关于x的方程 在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围； （2）若对随意的，总存在，使不等式 成立，求实数 的取值范围 （1）对函数，令，可得的值，利用导数探讨的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范

4、围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对随意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后探讨，得出的单调性，即可求出的取值范围 当时，所以在区间上单调递减，此时 所以不行能使恒成立，故必有，因为 若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满意要求 若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相冲突，所以实数的取值范围是学科网 点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题在处理导数大题时，留意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较简单入手，求导后含参数的问题留意分类探讨，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及

5、最值，涉及到的技巧较多，需多加体会 1设函数， ，已知曲线在点处的切线与直线平行 （1）求的值； （2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？假如存在，求出；假如不存在，请说明理由 （1）求出的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得； （2）求出、的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可推断存在k=1 又， 所以存在，使 因为，所以当时， ，当时， ，学科网 所以当时， 单调递增， 所以时，方程在内存在唯一的根 点睛：本题考查函数的单调性、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算实力，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题处理导数大题时，留

6、意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较简单入手，求导后留意分类探讨，对于恒成立问题一般要分别参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，须要多加体会 2已知函数 （1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围； （3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围 （1）由题意得导函数在其定义域内恒非负，再依据二次方程恒成立条件得实数的取值范围；（2）将不等式有解问题，利用参变分别法转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范

7、围 则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即 时， ， ， ， ，则，不符合条件； 时， ， 由，可知，学科网 则在单调递增， ，整理得 综上所述， 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的状况下把参数分别出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上详细的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决但要留意分别参数法不是万能的，假如分别参数后，得出的函数解析式较为困难，性质很难探讨，就不要运用分别参数法 3已知函数，其中 （）求的单调区间； （）若在上存在，使得成立，求的取值范围 （1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为，故可以依据的

8、符号探讨导数的符号，从而得到函数的单调区间（2）若不等式 在 上有解，那么在上， 但在上的单调性不确定，故需分 三种状况探讨 （2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于 当，即时，由（1）可知在上单调递增， 在上的最小值为，由，可得， 当，即时，由（1）可知在上单调递减， 在上的最小值为，由，可得 ；学科网 当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为，因为，所以，即，即，不满意题意，舍去 综上所述，实数的取值范围为 点睛：函数的单调性往往须要考虑导数的符号，通常状况下，我们须要把导函数变形，找出能确定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类探讨又不等式的恒成立

9、问题和有解问题也经常转化为函数的最值探讨，比如：“在 上有解”可以转化为“在 上，有”，而“在恒成立”可以转化为“在 上，有” 4已知函数 （1）若在上递增，求的取值范围； （2）若，与至少一个成立，求的取值范围（参考数据： ） （1）由题意可得在， 上递增，又在上递增，故或，解得或，即为所求。（2）结合（1）中结论及条件可得， 。分，和两种状况可求得或 （2）由（1）知， 在上单调递减，在上单调递增 ， 又， ， ， 当，即时，明显成立；学科网 当，即时，可得或， 或 ， ， 或 综上或学科网 所以的取值范围为。 点睛：已知函数单调性求参数取值范围的方法 （1）若函数的单调区间简单求出，可转

10、化为集合间的包含关系，在此基础上得到关于参数的不等式（组）求解。 （2）若函数的单调区间不易求出，可利用在所给区间上恒成立解决，解题时可依据分别参数的方法求解出参数的范围。5已知函数 若，求函数的极值； 设函数，求函数的单调区间； 若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围 （1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，求导函数零点，探讨与零大小，最终依据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点,使得成立时实数的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数的取值范围，最终取补集得结果 ，； 当时， 在上递减，在上递增 令，则 在

11、递减， ， 无解， 即无解；学科网 综上：存在一点,使得成立，实数的取值范围为： 或 所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分别转化为对应函数最值问题 6已知函数(为实常数) (1)若,求曲线在处的切线方程; (2)探讨函数在上的单调性; (3)若存在,使得成立,求实数的取值范围 (1)求出切线的斜率， ，即可得出切线方程；(2) 1,e，分、三种状况探讨导数的符号，即可得出结论；(3)分、三种状况探讨函数的单调性并求出最值,

12、则易得结论 当时, 在上单调增, 的最小值为 当时, 在上单调减,在上单调增, 的最小值为来源:学,科,网Z,X,X,K 因为学科网 当时, 在上单调减, 的最小值为,学科网来源:Z_xx_k.Com ，综上, 7已知，其中 （1）求函数的极大值点； （2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围 （1）求导，对进行四类探讨，得到极大值的状况；（2）在上至少存在一点，使成立，等价于当时， ，结合（1）的单调性状况，求，得到的取值范围 8已知函数（） （1）若，求的极值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数

13、的极值即可；（2）问题转化为， 成立，设，依据函数的单调性求出a的范围即可 试题解析： （2）存在，使得成立， 等价于，（ ）成立 设 则 令，解得： （舍），； 当， 在递减 令，解得： 学科网 当时， 在递减，在递增 与冲突 综上， 9已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围 （1）函数求导，从而得单调区间； （2）方程有实数根，即函数存在零点，分类探讨函数的单调性，从而得有零点时参数的范围 （2）由题得， 依题意，方程有实数根， 即函数存在零点 又 令，得 当时， 即函数在区间上单调递减， 而， 所以函数存在零点； 点睛：已知函数有零点求参数常用

14、的方法和思路： （1）干脆法：干脆依据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分别参数法：先将参数分别，转化成函数的值域问题解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解 10已知函数，且直线是函数的一条切线 （1）求的值； （2）对随意的，都存在，使得，求的取值范围； （3）已知方程有两个根，若，求证: （1）对函数求导， ，设直线与函数相切与点，依据导数的几何意义可得， ，解得，求出；（2）对随意的 ，都存在，使得，只须要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；（3）依据题意得,两式相减得， ，所以，令，则，则，令，对求导，推断的单调，证明 (2) 由（1）得，所以，当， 时， ，所以在上单调递减，所以当， 时， ， ，当时， ，所以在上单调递增，所以当时， ，依题意得 ，所以，解得 (3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为