初级中学数学共圆问题考点常考难题和培优提高学习总结分析高压轴题解析.doc

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1、 1初中数学共圆问题提高练习与常考难题和培优题压轴题初中数学共圆问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析含解析)问题探究：问题探究：一个班级的学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人公平吗？你认为他们应 当排成什么样的队形？怎样排？四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式：（1） 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆；（2） 通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题下面给出与四点共圆有关的一些基本知识（1） 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上；（2） 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直

2、角，则这些点共圆；（3） 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆；（4） 若点在线段的同侧，且，则四点共圆；C 、DABACBADB ABCD、（5） 若线段交于点，且，则四点共圆；ABCD、EAE EBCE EDAAABCD、（6） 若相交线段上各有一点，且，则四点共圆。PAPB、CD、PA PCPB PDAAABCD、四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转 化的媒介。1如图，把直角三角板的直角顶点 O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点 M、N，量得 OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（

3、）AcmB5cmC6cmD10cm2正方形的四个顶点和它的中心共 5 个点能确定 个不同的圆3如图，若 AD、BE 为ABC 的两条角平分线，I 为内心，若 C，D，I，E 四点共圆，且DE=1，则 ID= 24如图，在ABC 中，AD，BE 分别是A，B 的角平分线，O 是 AD 与 BE 的交点，若C，D，O，E 四点共圆，DE=3，则ODE 的内切圆半径为 5如图，已知 A，B，C，D 四点共圆，且 AC=BC求证：DC 平分BDE6如图，BD，AH 分别是ABC 的高，求证：A、B、H、D 四点共圆7等腰梯形 ABCD 中，ADBC，求证：A，B，C，D 四个顶点共圆8如图，四边形 A

4、BCD 中，B=D=90，点 E 为 AC 的中点，则 A，B，C，D 四点共圆吗？39如图所示，I 为ABC 的内心，求证：BIC 的外心 O 与 A、B、C 四点共圆10如图，在ABC 中，ADBC，DEAB，DFAC求证：B、E、F、C 四点共圆11O 和 H 分别是ABC 的外心和垂心，若BAC=60，求证：B、0、H、C 的共圆12如图，AB 为O 直径，BFAB，E 为 BF 上一点，AE 和 AF 交O 于 C 和 D，求证：C、D、F、E 四点共圆13如图，在ABC 中，AB=AC，延长 CA 到 P，延长 AB 到 Q，使 AP=BQ，求证：ABC 的4外心 O 与 A，P，

5、Q 四点共圆14如图，点 F 是ABC 外接圆的中点，点 D、E 在边 AC 上，使得 AD=AB，BE=EC证明：B、E、D、F 四点共圆15如图，点 E，F 分别在线段 AC，BC 上运动（不与端点重合） ，而且 CE=BF，O 是ABC的外心，证明 C，E，O，F 四点共圆16设ADE 内接于圆 O，弦 BC 分别交 AD、AE 边于点 F、G，且 AB=AC，求证：F、D、E、G 四点共圆参考答案1 （2016常州）如图，把直角三角板的直角顶点 O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于 点 M、N，量得 OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（ ）5AcmB5cmC

6、6cmD10cm 【解答】解：如图，连接 MN，O=90，MN 是直径，又 OM=8cm，ON=6cm，MN=10（cm） 该圆玻璃镜的半径是：MN=5cm故选：B2 （2006黄石）正方形的四个顶点和它的中心共 5 个点能确定 5 个不同的圆 【解答】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆， 正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定 5 个不同 的圆 3如图，若 AD、BE 为ABC 的两条角平分线，I 为内心，若 C，D，I，E 四点共圆，且 DE=1，则 ID= 【解答】解：连接 CI，AD、BE 为AB

7、C 的两条角平分线，BAI=BAC，IBA=ABC，AIB=180BAIIBA，AIB=180（CAB+CBA） ，又ABC+CBA+ACB=180，AIB=90+C，C，D，I，E 四点共圆，EID+ACB=180，又AIB=EID，90+C+C=180，ACB=60，I 为内心，ICD=30，DE=1，=2R，R=，ID=，故答案为：4 （2005温州校级自主招生）如图，在ABC 中，AD，BE 分别是A，B 的角平分线，O 是 AD 与 BE的交点，若 C，D，O，E 四点共圆，DE=3，则ODE 的内切圆半径为 3 6【解答】解：作 OFED 于点 F，AD，BE 分别是A，B 的角平

8、分线，AOB=90+C，CO 平分ACB，又DOE=AOB，DOE+C=180，C=60，DOE=AOB=120，又OD=OE，OED=ODE=30，FD=，tan30=，FO=，OD=OE=，ODE 的周长为：2+3，ODE 的面积为：3=，ODE 的内切圆半径为=3故答案为：35如图，已知 A，B，C，D 四点共圆，且 AC=BC求证：DC 平分BDE【解答】证明：A，B，C，D 四点共圆，2=1，3=ABC，AC=BC， 1=ABC，2=3，DC 平分BDE 6如图，BD，AH 分别是ABC 的高，求证：A、B、H、D 四点共圆【解答】证明：取 AB 的中点 O，连接 DO、HO，BD，

9、AH 分别是ABC 的高， DAB 和HAB 都是直角三角形，且它们的斜边都是 AB，点 O 为斜边中点，DO=HO=AB=AO=BO，也就是说，点 D、H、B 在以 O 为圆心、OA 为半径的圆上，即点 D、H、B、A 都在以 O 为圆心、以 OA 为半径的圆上，故可得：A、B、H、D 四点共圆 7等腰梯形 ABCD 中，ADBC，求证：A，B，C，D 四个顶点共圆 【解答】证明：如图：ABCD 是等腰梯形，且 ADBC， A=D，B=C，A+B=180A+C=B+D=180根据对角互补的四边形是圆的内接四边形，所以 A，B，C，D 四点共圆8如图，四边形 ABCD 中，B=D=90，点 E

10、 为 AC 的中点，则 A，B，C，D 四点共圆吗？7【解答】解：A，B，C，D 四点共圆，理由如下：连结 DE在 RtABC 中，ABC=90，点 E 为 AC 的中点，EB=EA=EC=AC，在 RtADC 中，ADC=90，点 E 为 AC 的中点，ED=EA=EC=AC，EA=EB=EC=ED，A、B、C、D 四个点在以 E 为圆心，AC 为直径的圆上， 即 A，B，C，D 四点共圆9如图所示，I 为ABC 的内心，求证：BIC 的外心 O 与 A、B、C 四点共圆【解答】证明：连接 OB、BI、OC，由 O 是外心知IOC=2IBC 由 I 是内心知ABC=2IBC从而IOC=ABC

11、同理IOB=ACB 而BAC+ABC+ACB=180，故BOC+BAC=180，于是 O、B、A、C 四点共圆 10如图，在ABC 中，ADBC，DEAB，DFAC求证：B、E、F、C 四点共圆【解答】解：ADBC，DEAB，AED=ADB=90又DAE=BAD，AEDADB，=，即 AD2=AEAB同理可得 AD2=AFAC，AEAB=AFAC，即=又EAF=CAB，AEFACB，AEF=ACB，B、E、F、C 四点共圆 11O 和 H 分别是ABC 的外心和垂心，若BAC=60，求证：B、0、H、C 的共圆 【解答】证明：连接 BH 并延长交 AC 于 E，连接 CH 并延长交 AB 于

12、F，连接 OB、OC，如图所示： O 是三角形的外心，BAC=60，BOC=2BAC=120（同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） 又垂心为点 H，BEAC，ABE=90，ABE=90BAC=9060=30， 同理：ACF=30，HBC+HCB=180（BAC+ABE+ACF）=60， BHC=180（HBC+HCB）=18060=120，BOC=BHC，又O，H 在 BC 边同侧，B，C，O，HI 四点共圆 12如图，AB 为O 直径，BFAB，E 为 BF 上一点，AE 和 AF 交O 于 C 和 D，求证：C、D、F、E 四点 共圆8【解答】证明：连接 BC、CD，如图所示：AB 为O 直

13、径，ACB=90，BCE=90， BEC+EBC=90，BFAB，ABF=90，即ABC+EBC=90，ABC=BEC， ABC+ADC=180，BEC+ADC=180，CDF+ADC=180， BEC=CDF，C、D、F、E 四点共圆 13如图，在ABC 中，AB=AC，延长 CA 到 P，延长 AB 到 Q，使 AP=BQ，求证：ABC 的外心 O 与 A，P，Q 四点共圆【解答】证明：如图，作ABC 的外接圆O，作 OEAB 于 E，OFAC 于 F，连接 OP、OQ、OB、OA， O 是ABC 的外心，OE=OF，OB=OA，由勾股定理得：BE2=OB2OE2，AF2=OA2OF2，

14、BE=AF，AP=BQ，PF=QE，OEAB，OFAC OFP=OEQ=90，在 RtOPF 和 RtOQE 中，RtOPFRtOQE，P=Q，O、A、P、Q 四点共圆，即：ABC 的外心 O 与点 A、P、Q 四点共圆14 （2009黄冈校级自主招生）如图，点 F 是ABC 外接圆的中点，点 D、E 在边 AC 上，使得 AD=AB，BE=EC证明：B、E、D、F 四点共圆【解答】证明：连接 FC，FB，则 FC=FB（2 分）连接 EF，则CEFBEF，BFE=CFE（5 分） A，B，F，C 共圆，CAB+CFB=180（7 分）CAB+2BFE=180AB=AD， ABD=ADB（8

15、分）CAB+2ADB=180ADB=BFE（10 分） B、E、D、F 四点共圆（12 分） 15如图，点 E，F 分别在线段 AC，BC 上运动（不与端点重合） ，而且 CE=BF，O 是ABC 的外心，证明 C，E，O，F 四点共圆【解答】证明：如图，连接 OB、OC、OE、OFOB=OC，OCB=OBC，9又AC=BC，OCB=OCA，OBC=OCA，在ECO 与FBO 中，ECOFBO（SAS） ，EOC=FOB，又AOC=BOC，EOF=COB，又EO=OF， OEF=OCF，C，E，O，F 四点共圆 16设ADE 内接于圆 O，弦 BC 分别交 AD、AE 边于点 F、G，且 AB=AC，求证：F、D、E、G 四点共 圆【解答】解：连接 EF，CD，ADE=ADC+CDE，ADC=ABC，CDE=CAE， ADE=ABC+CAE，AB=AC，ABC=ACB，ADE=ACB+CAE， AGF=ACB+CAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和） ， ADE=AGF，ADE+EDF=180，AGF+FGE=180，EDF=EGF， F、D、E、G 四点共圆（共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则可推出四个顶点共圆）