奥数知识之表面积与体积.doc

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1、奥数之表面积与体积（一）奥数之表面积与体积（一）专题简析：专题简析：小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。（

2、3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。例题例题 1 1：从一个棱长 10 厘米的正方体木块上挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，方法有多种：按图 27-1 所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为 592 平方厘米。上 27-1按图 27-2 所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为 632 平方厘米。上 27-2按图 27-3 所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为 672 平方厘米。上 27-3练习练习 1 1：1、从一个长 1

3、0 厘米、宽 6 厘米、高 5 厘米的长方体木块上挖去一个棱长 2 厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2、把一个长为 12 分米，宽为 6 分米，高为 9 分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？3、在一个棱长是 4 厘米的立方体上挖一个棱长是 1 厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？例题例题 2：把 19 个棱长为 3 厘米的正方体重叠起来，如图 27-4 所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。上 274要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组

4、合成了如下图形（如图 27-5 所示） 。上 275上 上 上 上 上上 上 上 上 上上 上 上 上 上而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用（S 上+S 左+S 前）2 来计算。（339+338+3310）2=（81+72+90）2=2432=486（平方厘米）答：这个立体图形的表面积是 486 平方厘米。练习练习 2：1、用棱长是 1 厘米的立方体拼成图 27-6 所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。上 2762、一堆积木（如图 27-7 所示） ，是由 16 块棱长是 2 厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米？3、一个正方体

5、的表面积是 384 平方厘米，把这个正方体平均分割成 64 个相等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？例题例题 3：把两个长、宽、高分别是 9 厘米、7 厘米、4 厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个 97 的面。（99+94+74）22972=（63+36+28）4126=508126=382（平方厘米）答：这个大厂房体的表面积最少是 382 平方厘米。练习练习 3：1

6、、把底面积为 20 平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？2、将一个表面积为 30 平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。3、用 6 块（如图 27-8 所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？3上 上1上 上2上 上例题例题 4：一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米；如果宽增加 3 厘米，则体积增加 90 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方里，求原长方体的表面积。我们知道：体积=长宽高；由长增加 2 厘米，体积增加 40 立方厘

7、米，可知宽高=402=20（平方厘米） ；由宽增加 3 厘米，体积增加 90 立方厘米，可知长高=903=30（平方厘米） ；由高增加 4 厘米，体积增加 96 立方厘米，可知长宽=964=24（平方厘米） 。而长方体的表面积=（长宽+长高+宽高）2=（20+30+24）2=148（平方厘米） 。即402=20（平方厘米）903=30（平方厘米）964=24（平方厘米）（30+20+24）2=742=148（平方厘米）答：原 长方体的表面积是 148 平方厘米。练习练习 4：1、一个长方体，如果长减少 2 厘米，则体积减少 48 立方厘米；如果宽增加 5 厘米，则体积增加 65 立方厘米；如果

8、高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方厘米。原来厂房体的表面积是多少平方厘米？2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了 120 平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是 209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？上上上例题例题 5：如图 27-10 所示，将高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面

9、的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51=3.14（4.5+3+2+1）=3.1410.5=32.97（平方米）答：这个物体的表面积是 32.97 平方米。练习练习 5 5：1、一个棱长为 40 厘米的正方体零件（如图 27-11 所示）的上、下两个面上，各有一个直径为 4 厘米的圆孔，孔深为 10 厘米。求这个零件的表面积。2、用铁皮做一个如图 27-12 所示的工件（单位：厘米） ，需用铁皮多少平方厘米？3、如图 27-13 所示，在一个立方体的两对

10、侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为 10 厘米，侧面上的洞口是边长为 4 厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（取 3.14） 。答案：答案：练 11、 切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面 3 个 11 的正方形，新增加了左右下面三个 11 的正方形，所以表面积大小不变。2、 44622292 平方厘米3、 中心挖去的洞的体积是：12331327 立方厘米，挖洞后木块的体积：33720 立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是 124123 平方厘米，挖洞后木块的表面积：（32+3）672 平方厘

11、米。练 21、 从三个不同的方向看，得到图答 271：从上往下看 从前往后看 从左往右看（1112+118+117）254 平方厘米2、 （229+229+227）2200 平方厘米3、 因为 64444，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的 4 被，那么大正方体的表面积是小正方体的 4416 倍，小正方体的表面积是：3841624 平方厘米练 3 1、将正方体分为两个长方体，表面积就增加了 2 个 30615 平方厘米，拼成大正方 体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是 1 个 30615 平方厘米，所以大长 方体的表面积是 30+30+635 平方厘米。 2、要是表面积最小，就要尽可能地

12、把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有如图答 272 两种：表面积都是（33+342）266 平方厘米。 3、设大长方体的宽和高为 x 分米，长为 2x 分米，左面和右面的面积就是 x2平方分米。 其余的面积为 2x2平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：8x2+82x2600 x5 大长方体的体积是：5525250 立方分米 练 4 1、 （482+655+964）2122 平方厘米 2、 减少的表面积实质是高度分别为 2 厘米和 3 厘米的前、后、左、右四个面的面积 之和。把两个合并起来，用 120（2+3）24 厘米，求到正方体底面的周长，正 方体的棱长就是 2446 厘米。圆长方体的

13、体积是：66（6+3+2）396 立 方厘米 3、 长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长（宽+高） ， 2091119，所以长11，宽+高19，或长19，宽+高11，根据题意，宽 和高只能是 17 和 2，长方体的体积就是 11172374 练 51、 4026+3.1441029651.2 平方厘米2、 用两个同样的工件可拼成图答 273 的圆柱体。3.1415（46+54）22355 平方厘米3、 立方体的表面积和是：610242423.14（ ）2510.88 平方厘米4 2打洞后增加的面积是：3.144（104）+4（104）42+4223.14（ ）22274.24 平方4 2厘米 表面积是：510.88+274.24785.12 平方厘米体积是：10342102+433.14（ ）2（104）668.64 平方厘米4 2