高中数学多函数与方程思想涉及的20种考法.pdf

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1、 函数与方程思想 1函数与方程思想的含义 函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的练习。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，是历来高考的重点和热点（1）函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题，即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题（2）方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方

2、程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题（3）方程的思想与函数的思想密切相关：方程0)(xf的解就是函数)(xfy 的图像与x轴的交点的横坐标（零点）；函数)(xfy 也可以看作二元方程0)(yxf；通过方程进行研究，方程axf)(有解，当且仅当a属于函数)(xf的值域；)(xfy 与)(xgy 的图像的交点问题，就是研究方程)()(xgxf的实数解的问题，函数与方程的这种相互转化关系十分重要 2函数与方程的思想在解题中的应用（1）函数与不等式的相互转化，对函数)(xfy，当0y时，就化为不等式0)(xf，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而

3、研究函数的性质也离不开不等式；（2）数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要；（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论；（4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切 方法一 点坐标代入函数(方程)法 点坐标代入函数(方程)法是指把点“放到”函数图象中去“入套”，通过构造方程求解参数的方法此方法适用于已知函数或函数图象，给出满足条件的点坐标，求其中的参数问题破解此类题的关键点：点代入函数，把所给点坐标

4、代入已知函数的解析式中，得到关于参数的方程或不等式 解含参方程，求解关于参数的方程或不等式 检验得结论，得出参数的值或取值范围，最后代入方程或不等式进行检验 例题1 函数 yax(a0，且 a1)的反函数图象过点(a，a)，则 a 值为()A2 B3 C2 或12 D.12【解析】因为 yax(a0，a1)反函数为 ylogax(a0，a1)，且 ylogax 图象过点(a，a)，所以 alogaa，所以 aa a，所以 a12，检验易知当 a12时，函数有意义故选 D.【小结】应用此方法的易错点是忘记检验，在解出方程后，一定要回头望，把所求的解代入原函数中检验是否有意义 变式1 函数 ylo

5、gax(a0，且 a1)的反函数的图象过点(a，3a)，则 a 的值为_【解析】因为函数 ylogax(a0，a1)反函数 yax(a0，a1)图象过点(a，3a)，所以3aaa，即 a13aa，所以 a13，经检验知 a13符合要求 变式2 已知函数34()log2f xx，则方程1()4fx的解x _ _ _；（2）已知函数21,01()2,10 xxxf xx，则15()4f_ _ _【解析】（1）1()4fx(4)1xf；（2）设155()()44xff x，由()f x的具体定义可看出01x时函数值大于1，故251142xx。【小结】将求函数值问题转化成为相关的解方程问题。方法二 运

6、用函数与方程思想解决字母或式子求值或取值范围问题 例题2 若,a b是正数，且满足3abab，求ab的取值范围。【分析】用 a 表示 b根据 b0，求 a 的范围把 ab 看作 a 的函数求此函数的值域。【解法一】3,1ababa 33,0,011aabbaa 而，即1a 或3a .又0a,1a,故10a.23(1)5(1)44=(1)59111aaaabaaaaa 当且仅当4(1)1aa，即3a 时取等号.又3a 时,4(1)51aa是关于 a 的单调增函数,ab的取值范围是9,+).【解法二】,a b为正数,2abab,又3abab,23abab.即230abab,解得 3ab 或1ab

7、（舍去），所以9ab.【解法三】若设abt,则3abt ,a b可看成方程2(3)0 xtxt 的两个正根 从而有2(3)40300ttabtabt ,解得9t，即9ab.【小结】(1)求字母(或式子)的值问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组),然后由方程(组)求得.(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等知识中的重要问题。解决这类问题一般有两条途径，其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设是的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域.(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是

8、构建一元二次方程的明显信号，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决.(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数,如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决.方法三 运用函数相关概念解题 例题3 若函数 f(x)x3a，x0 且 a1)是 R 上的减函数，求实数 a 范围。【分析】先求出 fxax是减函数时 a 的范围满足03aa0时 a 的范围取交集【解析】函数 f(x)是 R 上的减函数，0a1，3aa0，解得13a0 恒成立 当 x2 时，不等式不成立x2，令 g(m)m(x2)(x2)2为 m 的一次函数 问题转化为 g

9、(m)在 m12，3 上恒大于 0 g120，g(3)0.解得 x2 或 x0 在(2，)上恰成立，则 a 的取值_ 变式6 对任意2,)x，都有不等式2(1)40 xt x恒成立，求t的取值范围；对任意(2,)x，都有不等式2(1)40 xt x恒成立，求t的取值范围；【分析】当变量是整个实数集R时，恒成立问题适用判别式法，当变量的范围是区间，也可以选用一元二次方程根的判别式，但计算相对繁琐。常用分离参数法。要特别注意关键点上的取值情况，看能否取到。【解析】分离不等式2(1)40 xt x中参数t，得41txx，对任意2,)x，41yxx在2,)x上单调递增，故415yxx。所以5t 故x的

10、取值范围为),3()1,(分离不等式2(1)40 xt x中的参数t，得41txx，对任意(2,)x，41yxx在(2,)x上单调递增，故415yxx 所以，5t。视角 3、反比例函数角度 例题7 11()|f xxxxx，关于x的不等式2()2()6(7)0kfxkf xk恒成立，求实数k的取值范围；【解析】,00,D ，2,121,0()20,121,xxxxf xxxxx ，()f x是偶函数 在区间,1 和0,1上单调递增，在区间1,0和1,上单调递减，所以()f x的最大值是2，无最小值，值域为(0,2（说明：在端点1和1处可开可闭，在0处必须是开的，两个区间可以用“和”连接，但不能

11、用“”连接；写对值域给分），作图如下：（2）因为关于x的不等式2()2()6(7)0kfxkf xk恒成立，令()f xt，则0,2t 即不等式2(26)420,2k ttt在上恒成立 当0,2t时，2265,6tt，24226ktt 又224242427,26(1)55ttt 425k 视角 4、二次函数角度 例题8 当时，不等式恒成立，则的取值范围是_ _【解析】构造函数：由于当时，不等式恒成立，等价于在区间上函数的图象位于轴下方，由于函数的图象是开口向上的抛物线，故只需即，解得【小结】此题也可以用分离参数法来做 变式7 已知函数()11f xxx。（1）求函数()f x的定义域和值域；（

12、2）设2()()2()2aF xfxf x（a为实数），求()F x在0a时的最大值()g a；（3）对（2）中)(ag，若222()mtmg a对0a所有的实数a及 1,1t 恒成立，求实数m的取值范围。【解析】(1)由 1+x0 且 1-x0，得-1x1,所以定义域为 1,1 又22()22 12,4,f xx由()f x0 得值域为 2,2（2）因为22()()2()1112aF xfxf xaxxx 令()11tf xxx，则221112xt，()()F xm ta(2112t)+t=21,2,22atta t 由题意知 g(a)即为函数21(),2,22m tatta t 的最大值。

13、注意到直线1ta 是抛物线21()2m tatta 的对称轴 因为 a0 时,函数 y=m(t),2,2t的图象是开口向下的抛物线的一段，若1(0,2ta，即22a 则()(2)2g am(12)x ，2260 xmxm2()26,f xxmx(12)x ，(12)x ，2260 xmx1,2 f xx f x 1020ff7201040mm5722m 若1(2,2ta，即2122a 则11()()2g amaaa 若1(2,)ta，即102a则()(2)2g ama 综上有2,1(),22,ag aaa 1221,2222aaa （3）易得min()2ga 由222()mtmg a对0a恒成

14、立，即2min22()2mtmga恒成立 220mtm，令 22h tmtm，对所有的 1,1,0th t 成立，只需,02)1(02)1(22mmhmmh 求出 m 的取值范围是2,mmm 或=0,或2 视角 5、基本初等函数综合 例题9 定义在区间2,0上)(xf和)(xg，42)(2axxxf（1a），1)(2xxxg（1）求函数)(xfy 的最小值)(am；（2）若对任意2,0,21xx，)()(12xgxf恒成立，求a的取值范围【解析】（1）由222()24()4f xxaxxaa，得2412,()842.aam aaa （2）1()(1)21g xxx，当0,2x时，1 1,3x，

15、又()g x在区间0,2上单调递增（证明略），故4()0,3g x 由题设，得2min1 max()()f xg x，故212,443aa或2,484,3aa解得2 613a 变式8 cbxxxf2)(（2b）且)()(sinRxxfy最大值为5，最小值为1（1）求函数)(xfy 的解析式；（2）是否存在最小的负数k，使得在整个区间0,k上不等式5|)(|xf恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；（3）若12)(2kmmxf，对所有,0cx，1,1k恒成立，求实数m取值范围【解析】（1）由122bxb，所以)(xf在 1,1上单调递增 则13)(135)1(1)1(2xxxfcbf

16、f（2）由45)23()(min fxf且1)0(f0,23 x时，5|)(|xf 由5)(kf4 k或1（舍）综上，存在符合题意的4k（3）由题意得1c且 1,0 x时，1,1,12)(2minkkmmxf恒成立 1,0 x时1)0()(fxf 所以，1,1k时，1212kmm即022 kmm恒成立 设22)(mkmkF，则0)1(0)1(FF2m或0m或2m 综上，2m或0m或2m 变式9()f x是定义在 1,1上奇函数，且(1)1f，若,1,1a b，0a b，有()()0f af ba b恒成立（1）判断()f x在 1,1上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式1121

17、f xfx；（3）若2()21f xmam 对所有 1,1x，1,1a 恒成立，求实数m的取值范围 【解析】（1）设12,1,1x x ，且12xx 由于2121()()0()f xfxxx，2121()0 xxxx，有21()()0f xfx 又()f x是奇函数，故11()()fxf x，推得21()()0f xf x，即12()()f xf x所以()f x在 1,1上是增函数（2）利用()f x在 1,1上是增函数，要研究的不等式转化为1121xx，另外须满足限制条件1112x 以及1111x 不等式1121xx可表示为(21)(1)201xxx，即(23)(1)01xxx 上式左端三

18、个因子的零点按从小到大顺序为31,1,2，由这三个点划分出四个区间：33(,1),(1,1),(1,),(,)22，三因子1,1,23xxx在四个区间中的正负号为“-”，“+-”，“+-”和“+”，故满足不等式1121xx的x3(,1)(1,)2 又第一个限制条件相当于3122x，此时10 x，第二个限制条件只要考虑左半部分111x，即01xx，所以0 x，合并两限制条件相当于302x，综合x3(,1)(1,)2 和302x 得到3,12x （3）利用()f x在 1,1上是增函数，2()21f xmam对所有 1,1x 恒成立等价于2(1)21fmam，注意到(1)1f问题转化为(2)0m

19、ma 对所有 1,1a 恒成立 0m；或02mma所有 1,1a 恒成立，0,22mmm；或02mma所有 1,1a 恒成立，0,22mmm 综上，(,202,)m 视角 6、导数角度 例题10 已知定义在 R 上的函数 g(x)的导函数为 g(x)，满足 g(x)g(x)1 的解集为_.故答案为0，-变式10 若 x2，1时，不等式 ax3x24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.变式11 关于 x 的不等式 exx221a94x0 在12，上恰成立，则 a 的取值集合为_【解析】关于 x 的不等式 exx221a94x0 在12，上恰成立 函数 g(x)ex12x21x在12，上的

20、值域为a94，.因为 g(x)exx112x21x2，令(x)ex(x1)12x21，x12，则(x)x(ex1)因为 x12，所以(x)0，故(x)在12，上单调递增，所以(x)1278e20 因此 g(x)0，故 g(x)在12，上单调递增，则 g(x)g122 e94，所以 a942 e94，解得 a2 e，所以 a 的取值集合为2 e【小结】求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方程；而含参不等式恒成立问题一般转化为最值问题 121e1812 方法五 函数与方程思想处理有解问题 例题11 方程sin2xcos

21、 xk0 有解，则 k 的取值范围为（）A1k54；B54k0；C0k54；D54k1【解析】由方程 sin2xcos xk0，得 ksin2xcos xcos x12254，令 tcos x，则 t1,1，kt12254，求得54k1 选D 变式12 关于的方程恒有解，求的取值范围【解法一】设原方程有解即方程有正根，即解得【解法二】设 当；.综上可得，【小结】对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决 x043)4(9xxa

22、a.0,3ttx则04)4(2tat,040)4(02121xxaxx,4,016)4(2aa4,80aaa或.8a,4)4()(2tattf.80,016)4(02aaa或时，即不符合题意得时,02,0)2()(,02tttfa符合题意。得时,02,0)2()(,82tttfa8a8.4,024,4)0(0,8,0aaafaa即故只需对称轴时或即8a 变式13 已知，若关于方程有实根，则 取值范围是_ 【分析】求参数的范围，可以先将分离出来，表示为的函数，求出函数的值域，进而得到参数的范围。【解析】方程即,利用绝对值的几何意义,得，可得实数的取值范围为【小结】本题将方程转化为函数，利用函数的

23、值域得到的不等式，求得参数的范围 变式14 已知函数16)(,2)(2xxxgaxxf，对于任意的 1,11x都能找到)()(,1,1122xfxgx使得，则实数a的取值范围是 ；【解析】根据题意得到，1,11x时，()f x的值域就是2,2aa，要使上述范围内总能找到2x满足21()()g xf x，即知道()g x的值域要包含2,2aa，容易算出()g x的值域为 4,8，因此2428aa，故解得 2,6a.aRx2104xxaaa2211110,4244aaxxx 111444aaaaa10,4 方法六 函数思想处理零点问题或交点个数问题 例题12 设 a 为非零实数，偶函数1|)(2m

24、xaxxf(xR)在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数 a 的取值范围是 .【解法一】1|)(2mxaxxf与21yx为偶函数，故|ya xm为偶函数，0a，故0m.2()|1f xxa x在(2,3)上存在唯一零点可转化为1,()ya yxx 在(2,3)上 有唯一交点.通过图形易知10532a.【解法二】1|)(2mxaxxf，故|ya xm为偶函数，0a，故0m.2()|1f xxa x在(2,3)上存在唯一零点可转化为2()1f xxax在(2,3)上有唯一零点.（1）考虑21=0 xax中=0的情况，此时方程的根为1x 不符合条件；（2）考虑两个端点异号(2)(3)0ff【利用根的

25、存在性定理】(5+2)(103)0aa得10532a；（3）考虑两个端点其中一个函数值为 0 的情况，(2)=0f得52a ，25()12f xxx零点为2x 与12x，不符合条件；(3)=0f得103a ，210()13f xxx零点为3x 与13x，不符合条件；综上：10532a 【小结】本题考查了特殊函数（二次函数）的零点问题，该类问题一方面可以利用参变分离转化为两个函数的交点问题，特别是有解与一解问题利用此方法就很简洁明了，并且很直观.对于方法二中利用根的分布思考时容易遗漏情况（3），所以老师在讲这类方法时需要举出另一个容易漏解的例子.例题13 已知函数 f x是定义在R上的偶函数，若

26、方程2123fxxx的零点分别为12,.,nx xx，则12nxxx（）An Bn C.2n D3n 【解析】函数 f x是定义在R上的偶函数,所以函数 f x的图象关于y轴对称，函数1f x的图象是由函数 f x的图象向左平移1个单位得到的，所以函数1f x对称轴为直线1x ，函数2()23g xxx对称轴也是直线1x 所以方程2123fxxx零点关于直线1x 对称，所以有12nxxxn，选 B.【小结】研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程

27、解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决 变式15 已知函数0),1(0,2)(xxfxaxfx，若方程0)(xxf有且仅有两个解，则实数a的取值范围是 .【解析】本题考查了函数的有关性质.若方程 f(x)+x=0 有且仅有两个解，令 h(x)=-x，则(x)h图像与()f x图像有且仅有两个交点，即 f(x)+a 与-x+a 图像有两个交点.如图所示：易知 a2.【小结】本题是一个典型的数形结合的问题，将方程的根的问题转化为两个函数图像的交点问题，注意如何构造两个函数尤为重要。变式16 设0,1aa，已知函数()2 sin22,(0)xf xaxx至少有 5 个零点，则a的取值范围为 【解析

28、】即函数2 sin2yx与2xya在(0,)x上的交点个数，分两种情况01a和1a；当01a时，在(0,)x两个函数图像有无数个交点，如下图所示 当1a 时，如下图，在(0,)x要至少有 5 个零点，函数2xya在1x 处要大于 0 即20,2aa，综上所述，(0,1)(1,2)a【小结】将零点问题转化成函数的交点个数问题，注意理解题意，审清题意。变式17 22log(04)()2708(4)33xxf xxxx，若,a b c d互不相同，且()()()()f af bf cf d，则abcd的取值范围是 【解析】根据题意，如图，1ab，2(12)12abcdcdcccc，45c，答案(32

29、,35)【小结】这类题出现较多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图象，以及相应的性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图的时候，虽然是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间的时候，务必考虑区间的开闭情况。方法七 运用函数与方程思想解决方程的根问题 例题14 关于 x 的方程(x21)2|x21|k0，给出下列四个命题：存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同实根；存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同实根；存在实数 k，使得方程恰有 5 个不同实根；存在实数 k，使得方程恰有 8 个不同实根.其中假命题的个数是().A.0 B.C.D.【分析】本题是关于函数、方程解的选择题，考查

30、换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.【解析】根据题意可令x21t(t0)，则方程化为 t2tk0，(*)作出函数 tx21的图象，结合函数的图象可知当 t0 或 t1 时，原方程有两上不等的根，当 0t1 时，原方程有 4 个根，当 t1 时，原方程有 3 个根.(1)当 k2 时，方程(*)有一个正根 t2，相应的原方程的解有 2 个；(2)当 k14时，方程(*)有两个相等正根 t12，相应的原方程的解有 4 个；(3)当 k0 时，此时方程(*)有两个不等根 t0 或 t1，故此时原方程有 5 个根；(4)当 0k14时，方程(*)有两个不

31、等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于 1，故相应的满足方程|x21|t 的解有 8 个，故选 A.方法八 构造函数解决方程问题 例题15 设 x，y 为实数，满足(x1)32 020(x1)1，(y1)32 020(y1)1，则 xy_.【分析】观察两方程特征借助 ftt32 020t 单调性、奇偶性fx1f1y求 xy【解析】令 f(t)t32 020t，则 f(t)为奇函数且在 R 上是增函数 由 f(x1)1f(y1)f(1y)，可得 x11y，xy2.【小结】通过方程的特征构造函数，利用函数性质寻求变量间的关系 变式18 求方程242000200021716)5()4(xxxx的实

32、数解。【解析】原方程变为220002220002)5()5()4()4(xxxx 令22000)(tttf易知)(tf在R上为偶函数,且在0,(上递减，在),0(内递增，由上方程知)5()4(2xfxf 当0 x 时，xx542，解之，得1x或4 当0 x，xx542，解之1x或4 综上，原方程的实数解为1x或4 方法九 运用函数与方程思想解决不等式问题 例题16 问题“求方程345xxx的解”有如下的思路：方程345xxx可变为34()()155xx，考察函数34()()()55xxf x 可知，(2)1f，且函数()f x在R上单调递减，原方程有唯一解2x.仿照此解法可得到不等式：632(

33、23)(23)xxxx的解是 【解析】观察不等式的形式，可以变形为623(23)(23)xxxx 构造函数3()f xxx，知道函数()f x在R上单调递增，所以不等式可以转化为2()(23)f xfx，根据函数单调性可得223xx 故原不等式的解是1x 或3x.变式19 已知,x yR，且2323xyyx，那么()(A)0 xy (B)0 xy (C)0 xy (D)0 xy 【分析】先把它变成等价形式2323xxyy再构造辅助函数()23xxf x利用函数单调性比较【解析】设()23xxf x，2,3xx均为 R 上增函数，所以()23xxf x是 R 上增函数 又()232323xxyy

34、yy，即()()f xfy，所以xy，即0 xy 选 B【小结】1在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法；2在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题 同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，一般地，已知存在范围的量为变量而待求范围的量为参数 例题17 设函数在 R 上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围 .【解析】因为，所以，令，所以，所以函数为奇函数.因为时，所以函数在上是减函数，故函数在上也是减函数，由，可得在 R 上也是减函数，则不等式：

35、等价于：，即，所以，解得.【小结】题后反思根据题目的条件构造函数关系,把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路.变式20 已知函数 f(x)是定义在(，4上的减函数，若存在实数 m，使得 f(msinx)f(12m74cos2x)对定义域内的一切实数 x 均成立，则实数 m 的取值范围为_【解析】易帜知msinx4，12m74cos2x4，msinx 12m74cos2x，即m4sinx，12m234cos2x，m 12m12（sinx12）2.因为 sinx 的最小值为1，234cos2x 的最小值为194，(sinx12)2的最大值为 0，故要满足题意，应有m41，12m1

36、94，m 12m120，解得 m12或32m3，所以实数 m 的取值范围为m|m12或32m3 ()f x(),fxxR 2()()fxf xx(0,)()fxx(2)()22fmf mmm2()()fxf xx2()()0f xxfx21()()2g xf xx2211()()()()022gxg xfxxf xx()g x0,x()()0g xfxx()g x0,()g x,0(0)0f()g x(2)()22fmf mm22(2)(2)()22mmfmf m(2)()gmg m2mm1m 方法十 函数与方程在三角函数中的应用 例题18 已知函数 f(x)=x2(m+1)x+m(mR)(1

37、)若 tanA,tanB 是方程 f(x)+4=0 的两个实根，A、B 是锐角三角形 ABC 两内角.求证 m5;(2)对任意实数,恒有 f(2+cos)0，证明 m3;(3)在(2)的条件下，若函数 f(sin)的最大值是 8，求 m.【分析】第(1)问中易漏掉0 和 tan(A+B)0，第(2)问中如何保证 f(x)在1,3恒小于等于零为关键.（1）证明：f(x)+4=0 即 x2(m+1)x+m+4=0.依题意：04tantan01tantan0)4(4)1(2mBAmBAmm 又 A、B 锐角为三角形内两内角，2A+B tan(A+B)0，即031tantan1tantan)tan(m

38、mBABABA 031040101522mmmmmmm5(2)证明：f(x)=(x1)(xm)又1cos1，12+cos3，恒有 f(2+cos)0 即 1x3 时，恒有 f(x)0 即(x1)(xm)0 mx 但 xmax=3，mxmax=3(3)f(sin)=sin2(m+1)sin+m=4)1()21(sin22mmm 且21m2,当 sin=1 时，f(sin)有最大值 8，即 1+(m+1)+m=8，m=3【小结】深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏.方法十一 函数与方程在数列中的应用 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数

39、列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.例题19 已知an是等差数列，a1010，其前 10 项和 S1070，则其公差 d 等于()A.23 B.13 C.13 D.23【解析】设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则 a10a19d10，S1010a11092d70，即 a19d10，2a19d14，解得 d23.变式21 已知在数列an中，前 n 项和为 Sn，且 Snn23an，则anan1的最大值为()A.3 B.1 C.3 D.1 变式22 在等差数列an中，若 a10，设 Snf(n)，则 f(n)为二次

40、函数，又由 f(7)f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线 n12 对称，故 Sn取最小值时 n 的值为 12.变式23 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S42，S63，则 nSn的最小值为_.【解析】由 4a16d2，6a115d3解得 a12，d1，所以 Snn25n2，故 nSnn35n22.令 f(x)x35x22，则 f(x)32x25x，令 f(x)0，得 x0 或 x103，f(x)在0，103上单调递减，在103，上单调递增.又n 是正整数，故当 n3 时，nSn取得最小值9.变式24 已知数列满足，（）（）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（）设数列的前

41、项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值【解析】（n+1）an+1（n+2）an=2，=2（），又=1，当 n2 时，=+（）+（）+（）=1+2（+）=，又=1 满足上式，=，即 an=2n，数列an是首项、公差均为 2 的等差数列；变式25 知数列 na中，11a，且点*1nnP aanN，在直线10 xy 上 求数列 na的通项公式；若函数 123123nnf nnananana（nN，且2n），求函数 f n的最小值；设1nnba，nS表示数列 nb的前n项和，试问：是否存在关于n的整式 g n，使得 12311nnSSSSSg n对于一切不小于 2 的自然数n恒成立？若存在，

42、写出 g n的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由【解析】点）（1,nnaaP在直线01 yx上，即11nnaa，且11a，数列na是以1为首项，1为公差的等差数列，)2(1)1(1nnnan，11a也满足，nan，nnnnnf22211)(，22112213221)1(nnnnnnnnnf，0)()1(nfnf，)(nf是单调递增的，故)(nf的最小值是65)2(f nSnbnn1312111，)2(11nnSSnn，即，1,1)2()1(112221SSSSSnSnnnn，,1-n1211nnSSSSnS)2()1(121nnSnnSSSSnnn，nng)(故存在关于n的整式nng)(

43、，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立【小结】(1)等差(比)数列中各有 5 个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解 1)1(11nnnSSnnS 方法十二 函数与方程在平面向量中的应用 平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题破解此类题的关键点：向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程

44、)代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题 得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论 例题20 已知 a，b，c 为平面上的三个向量，又 a，b 是两个相互垂直的单位向量，向量 c满足|c|3，c a2，c b1，则对于任意实数 x，y，|cxayb|的最小值为_ 【小结】平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式 变式26 已知 e1，e2是平面上两相互垂直的单位向量，若平面向量 b 满足|b|2，be11，be21，则对于

45、任意 x，yR，|b(xe1ye2)|的最小值为_ 变式27 在中，若，（），则当最小时，（）A B C D【解析】变式28 已知中，点是线段上一动点，点 是以点为圆心、为半径的圆上一动点，若，则的最大值为_.【解析】因为中，以 点为坐标原点，方向为 轴，方向为 轴，建立平面直角坐标系，则，所以所在直线方程为，设，则,又点 是以点为圆心、为半径的圆上一动点，所以可设，因为，所以，所以，所以.故答案为 方法十三 函数与方程在平面几何中的应用 例题21 某同学为了研究函数)10()1(11)(22xxxxf的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设

46、xCP，则PFAPxf)(那么，可推知方程222)(xf解的个数是 （）（A）0.（B）1.（C）2.（D）4.【解析】因为PFAPxf)(，222)(xf，也即222 PFAP，因为点P是边BC上的一个动点，PFAPxf)(的最小值为5AF，最大值为12 CFAC，因为122225，所以结合图像，可以得知符合条件的点有两个，即两个解，选 C【小结】本题的关键在于理解题目的意思，如何将函数的意义与所给图的几何意义联系起来，在图中找出符合几何意义的点，也即函数中符合条件的解的个数，要求学生要有数形转化的领悟能力 FEPDCBA 方法十四 函数与方程在解析几何中的应用 解析几何中求斜率、截距、半径

47、、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.例题22 已知点),(yxP是圆1)2(22yx上任意一点则P点到直线01243 yx的距离的最大值和最小值分别为_；yx2的最大值和最小值分别为_；12x

48、y的最大值和最小值分别为_；22(1)xy的最大值和最小值分别为_【解析】11 1,55；52,52；33 33,44；62 5,62 5 变式29 直线34yk x与曲线214yx 有一个交点，则实数k的范围为_ 【解析】92 145k或335k 例题23 如果函数2yx的图像与曲线22:4C xy恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A 1,1)；B1,0；C(,10,1)；D 1,0(1,)【解析】当1时，曲线 C 为如下双曲线，与2yx有四个交点；当01时，双曲线与函数有两个交点；当0时，曲线 C 为两条直线，与函数有两个交点；当10时，曲线 C 为椭圆，与函数有两个交点；当1

49、时，曲线 C 为圆，与函数有三个交点；当1时，曲线 C 为椭圆，与函数有四个交点 变式30 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于 A，B 两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|4 2，|DE|2 5，则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程设为 x2y2r2(r0)，如图，又可设 A(x0，2 2)，Dp2，5，点 A(x0，2 2)在抛物线y22px 上，82px0，点 A(x0，2 2)在圆 x2y2r2上，x208r2，点Dp2，5 在圆 x2y2r2上，5p22r2，联立，解得p4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离

50、为p4，故选B.变式31 已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x 交于不同的两点 A，B，且以 AB 为直径的圆过抛物线C的焦点 F，则 k_.【解析】点 F 的坐标为(1，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，当 k0 时，l与C只有一个交点，不合题意，因此 k0.将yk(x1)代入y24x，消去y，得 k2x22(k22)xk20，依题意知，x1，x2是的不相等的两个实根，则 4k2224k40，x1x222k2k2，x1x21.由以 AB 为直径的圆过 F，得 AFBF，即 kAFkBF1，所以y1x11y2x211，即 x1x2y1y