贝努利不等式的几个推论及应用.pdf

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1、 1 贝努利不等式的几个推论及应用 普通高中数学课程标准（实验）（以下简称标准）将“不等式选讲”作为选修系列 4 的第 5 专题，而贝努利不等式就是其中的一个重要不等式 标准所指的贝努利不等式是：1nx1nx（x1，n为正整数）（1）当n为大于 1 的实数时贝努利不等式也成立 为拓宽贝努利不等式的应用，本文给出了贝努利不等式的几个推论，并通过一些典型例题探讨了贝努利不等式及其推论的应用 推论 1 设nN，n1，t0，则有 nt1ntn，（2）或 nt11n t，（2）当且仅当1t 时，（2）和（2）取等号（2）的证明可由恒等式 1ntntn223412321nnnttttntn 直接推出易见，

2、当且仅当1t 时，（2）和（2）取等号，因此，当且仅当0 x 时，（1）取等号 在（1）中令1xt，则（1）可变为（2）或（2）因此，不等式（1）与（2）或（2）是等价的因此，不等式（1）与（2）或（2）都可以称为贝努利不等式 推论 2 设a，0，nN，n1，则 na11nnnan，（3）当且仅当a时，（3）取等号 证明 由（2）得，nnnaa1nann11nnnan，由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当a时（3）取等号 推论 3 设a，b0，nN，n1，则 1nnab1nanb，（4）1nnba1nnab，（5）2 当且仅当ab时（4）和（5）取等号 证明 由（2）得，1nnnaabbb1

3、ab nnb1nanb，11nnnbbab a11bnnba1nnab，由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当ab时（4）和（5）取等号 推论 4 设a，b0，nN，n1，则 na11nann，（6）当且仅当1a 时（6）取等号 证明 由（2），得 nnaa1nn an，所以na11nann 由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当1a 时（6）取等号 不等式（1）（6）有广泛的应用，利用贝努利不等式和上面几个推论可以简捷明快地解决一些数学问题，请看下面几例 例 1 已知m，n为正整数（）用数学归纳法证明：当1x 时，1mx1mx；（）对于n6，已知11132nn，求证：1132nmmn，1,2

4、,mn；（）求出满足等式3423nnnnnn的所有正整数n 解：（）证明从略 （）证明：当n6，mn时，由（1）得113mn103mn，于是 13nmn113mnn11132mnmn，1,2,mn（）解：由（）知，当n6时，12111333nnnnnnn 21111112222nn，3 所以2131333nnnnnnnn，即342nnnn3nn，即当n6时，不存在满足该等式的正整数n 故只需要讨论1,2,3,4,5n 的情形逐一检验1,2,3,4,5n 可得，所求的n只有2,3n 例 2 （算术几何平均值不等式）设1a，2a，na均为正数，nN，n1，则 12naaan12nna aa （7）

5、证明 下面用数学归纳法证明（7）：当2n 时，（2）变为2x21x，从而 2212111aaaaaa211121212aaaa aa，所以（7）成立 假设12kaaa12kkk a aa，则当1nk时，由（3）知 111kkka111121kk kkkkkaa aa1112kk kkka aa，即 1ka11211kkkka aa a12kkk a aa，从而 121kkaaaa 12kkk a aa1ka 12kkk a aa11211kkkka aa a12kkk a aa 11211kkka aa，这表明，当1nk时（7）也成立 故对一切nN，n1，（7）都成立 由例 2 的证明可以看出

6、，贝努利不等式是算术几何平均值不等式的一个充分条件，也就是说，凡是能用算术几何平均值不等式解决的问题都可以利用贝努利不等式予以解决，因此，贝努利不等式的应用是极为广泛的 例 3 设x，y0，1xy，求证：3311xyxy1254 4 证明 由11xy2xy44xy，并在（3）中取52得 3311xyxy 25112525112532324848xyxy 7575 11125442xyxy 757512512544424 例 4 （权方和不等式）设,0,1,2,iia bin kN，则 1111212kkknkkknaaabbb11212()()knknaaabbb 证明 令112nsaaa，1

7、12ntbbb，则原不等式等价于 11knikiisatb1 由（2），有 11kkiiikiisasatbtbtb1(1)1iiisatbktb(1)iiisatbkktb=(1)iiksaktb 则 11knikiisatb1(1)(1)1niiiksaktbkk，此即1111212kkknkkknaaabbb11212()()knknaaabbb 注：权方和不等式的应用极广，已有多篇文章探讨 例 5 （第 36 届 IMO 试题）设,a b c为正数，且满足1abc 试证 333111abcbcacab32 （8）5 证明 由1abc 知，（8）等价于 222222bccaababcab

8、cabcabc6 （9）由（4）及1abc，得 222222bccaababcabcabcabc 2 22 22 2bcabcacabcababcabc 2 abbcca36 ab bc ca6，所以（9）成立，故（8）成立 例 6 设1a，2a，na，a，b，s均为正数，1a2akas，,n kN，,n k1，求证：1kniiaab1nnkasbk 证明 由（6），及1a2akas，得 1kniiaabnasbkk1kinik aabasbk nasbkk111kiik aabnnasbkn 1nnkasbk 由于贝努利不等式的形式简单、内涵丰富、应用广泛，加之高中课改实验区的大多数老师对选修系列 4 第 5 专题比较熟悉，愿意讲授“不等式选讲”因此，应重视对贝努利不等式的探究