鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解(新版).pdf

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1、鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】1已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：总脚数-每只鸡的脚数总头数 每只兔的脚数-每只鸡的脚数=兔数；总头数-兔数=鸡数。或者是 每只兔脚数总头数-总脚数 每只兔脚数-每只鸡脚数=鸡数；总头数-鸡数=兔数。例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”解一 100-2364-2=14只兔；36-14=22只鸡。解二 436-1004-2=22只鸡；36-22=14只兔。答 略 2已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式 每只鸡脚数总头数-脚数之差每只鸡的脚数+每只兔的脚数=兔数；总头数-兔数=鸡数 或

2、每只兔脚数总头数+鸡兔脚数之差每只鸡的脚数+每只免的脚数=鸡数；总头数-鸡数=兔数。例略 3已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差每只鸡的脚数+每只兔的脚数=兔数；总头数-兔数=鸡数。或每只兔的脚数总头数-鸡兔脚数之差每只鸡的脚数+每只兔的脚数=鸡数；总头数-鸡数=兔数。例略 4得失问题鸡兔问题的推广题的解法，可以用下面的公式：1只合格品得分数产品总数-实得总分数每只合格品得分数+每只不合格品扣分数=不合格品数。或者是总产品数-每只不合格品扣分数总产品数+实得总分数每只合格品得分数+每只不合格品扣分数=不合格品数。例如，“灯泡厂生产灯

3、泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”解一 41000-35254+15 =47519=25个 解二 1000-151000+35254+15 1000-1852519 =1000-975=25个 答略 “得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本元。它的解法显然可套用上述公式。5鸡兔互换问题已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题，可用下面的公式：两次总脚数之和每只鸡兔脚数和+两次总脚数之差每只鸡兔脚

4、数之差 2=鸡数；两次总脚数之和每只鸡兔脚数之和-两次总脚数之差每只鸡兔脚数之差 2=兔数。例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，假设将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”解 52+444+2+52-444-2 2 =202=10只鸡 52+444+2-52-444-2 2 =122=6只兔答略 鸡兔同笼 目录 1 总述 2 假设法 3 方程法 一元一次方程 二元一次方程 4 抬腿法 5 列表法 6 详解 7 详细解法 基本问题 特殊算法 习题 8 鸡兔同笼公式 1 总述 鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在 1500 年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样表达的：

5、“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有假设干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35 个头,从下面数，有 94 只脚。问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法。总脚数-总头数鸡的脚数兔的脚数-鸡的脚数=兔的只数 943522=12(兔子数)总头数35兔子数12=鸡数23 解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数2 只，由于鸡只有 2 只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2 就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。2 假设法 假设全是鸡：235=70只 鸡脚比总脚数少：9470=24 只 兔：24(4-2)=12 只 鸡：3512

6、=23只 假设法通俗 假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59只 然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24 只 兔：242=12 只 鸡：35-12=23只 3 方程法 一元一次方程 解：设兔有 x 只，则鸡有(35-x只。4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=94-70 2x=24 x=242 x=12 35-12=23(只 或 解：设鸡有 x 只，则兔有35-x只。2x+4(35-x)=94 2x+140-4x=94 2x=46 x=23 35-23=12(只 答：兔子有 12 只，鸡有 23

7、只。注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。二元一次方程 解：设鸡有 x 只，兔有 y 只。x+y=35 2x+4y=94 x+y=35)2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12 把 y=12 代入x+y=35)x+12=35 x=35-12只 x=23只。答：兔子有 12 只，鸡有 23 只 4 抬腿法 法一 假设让鸡抬起一只脚，兔子抬起 2 只脚，还有 94 除以 2=47 只脚。笼子里的兔就比鸡的头数多 1，这时，脚与头的总数之差 47-35=12，就是兔子的只数。法二 假设鸡与兔子都抬起两只脚，

8、还剩下 94352=24 只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有 242=12 只兔子，就有 3512=23 只鸡 5 列表法 腿数 鸡只数 兔只数 6 详解 中国古代孙子算经共三卷，成书大约在公元 5 世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比方“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？题目中给出雉兔共有 35 只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了 2 只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是352=70只，比题中所说的 94 只要少 9

9、4-70=24只。现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加 2 只，即70+2=72只，再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加 2，2，2，2，一直继续下去，直至增加 24，因此兔子数：242=12 只，从而鸡有 35-12=23只。我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差 2 只脚就说明有 1 只兔，将所差的脚数除以 2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数每只兔子脚数-每只鸡脚数。类似地，也可以假设全是

10、兔子。我们也可以采用列方程的方法：设兔子的数量为 x，鸡的数量为 y 那么：x+y=35 那么 4x+2y=94 这个算方程解出后得出：兔子有 12 只，鸡有 23 只。7 详细解法 基本问题 鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.例 1 有假设干只鸡和兔子，它们共有 88 个头，244 只脚，鸡和兔各有多少只 解：我们设想，每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是 2442=122只.在 122

11、 这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从 122 减去总头数 88，剩下的就是兔子头数 122-88=34只，有 34 只兔子.当然鸡就有 54 只。答：有兔子 34 只,鸡 54 只。上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数2-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数 特殊算法 上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4 和 2,4 又是 2 的 2 倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，脚数就不一定是 4 和 2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法.还说例 1.如果设想

12、 88 只都是兔子，那么就有 488 只脚，比 244 只脚多了 884-244=108只.每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡 (884-244)(4-2)=54只.说明我们设想的 88 只兔子中，有 54 只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式 鸡数=兔脚数总头数-总脚数兔脚数-鸡脚数.当然，我们也可以设想 88 只都是鸡,那么共有脚 288=176只，比 244 只脚少了 244-176=68只.每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，682=34只.说明设想中的鸡,有 34 只是兔子，也可以列出公式 兔数=总脚数-鸡脚数总头数兔脚数-鸡脚数.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，

13、再用总头数去减，就知道另一个数。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为假设法.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。例 2 红铅笔每支 0.19 元，蓝铅笔每支 0.11 元，两种铅笔共买了 16支，花了 2.80 元。问红，蓝铅笔各买几支？解：以分作为钱的单位.我们设想，一种鸡有 11 只脚，一种兔子有 19 只脚，它们共有 16 个头，280 只脚。现在已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公式，就有 蓝笔数=(1916-280)(19-11)=248 =3支.红笔数=16-3=13支.答：买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔。对于这类问题的计算，常常可以利

14、用已知脚数的特殊性.例 2 中的脚数19 与 11 之和是 30.我们也可以设想 16 只中，8 只是兔子,8 只是鸡,根据这一设想，脚数是 8(11+19)=240支。比 280 少 40.40(19-11)=5支。就知道设想中的 8 只鸡应少 5 只，也就是鸡(蓝铅笔数是 3.308 比 1916 或 1116 要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想 16 只中，兔数为 10,鸡数为 6，就有脚数 1910+116=256.比 280 少 24.24(19-11)=3,就知道设想 6 只鸡,要少 3 只。要使设想的数，能给计

15、算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子。例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打假设干小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7 小时。甲打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成 30 份(30 是 6 和 10 的最小公倍数，甲每小时打 306=5份，乙每小时打 3010=3份.现在把甲打字的时间看成兔头数，乙打字的时间看成鸡头数，总头数是 7.兔的脚数是 5,鸡的脚数是 3，总脚数是 30，就把问题转化成鸡兔同笼问题了。根据前面的公式 兔数=(30-37)(5-3)=4.5,鸡数=7-4.5 =2.5,也就是甲打字用了 4.5

16、小时，乙打字用了 2.5 小时。答：甲打字用了 4 小时 30 分.例 4 今年是 1998 年，父母年龄整数和是 78 岁，兄弟的年龄和是 17 岁。四年后(2002 年父的年龄是弟的年龄的 4 倍，母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，是公元哪一年？解：4 年后，两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25，父母年龄之和是 78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数，弟的年龄看作兔头数。25 是总头数.86 是总脚数.根据公式，兄的年龄是 (254-86)(4-3)=14岁.1998 年，兄年龄是 14-4=10岁.父年龄是 (25-14)4-4

17、=40岁.因此，当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，兄的年龄是 (40-10)(3-1)=15岁.这是 2003 年。答：公元 2003 年时，父年龄是兄年龄的 3 倍.例 5 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀.每种小虫各几只？解：因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成8 条腿与6 条腿两种。利用公式就可以算出 8 条腿的 蜘蛛数=(118-618)(8-6)=5只.因此就知道 6 条腿的小虫共 18-5=13只.也就是蜻蜓和蝉共有 13 只，它们共有 20 对翅

18、膀。再利用一次公式 蝉数=(132-20)(2-1)=6只.因此蜻蜓数是 13-6=7只.答：有 5 只蜘蛛，7 只蜻蜓，6 只蝉。例 6 某次数学考试考五道题，全班 52 人参加，共做对 181 道题，已知每人至少做对 1 道题，做对 1 道的有 7 人，5 道全对的有 6 人，做对 2 道和 3 道的人数一样多，那么做对 4 道的人数有多少人？解：对 2 道，3 道，4 道题的人共有 52-7-6=39人.他们共做对 181-17-56=144道.由于对 2 道和 3 道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对 2.5道题的人(2+3)2=2.5).这样 兔脚数=4，鸡脚数=2.5,总脚数

19、=144，总头数=39.对 4 道题的有 39)(4-2.5)=31人.答：做对 4 道题的有 31 人。以例 1 为例 有假设干只鸡和兔子，它们共有 88 个头，244 只脚，鸡和兔各有多少只？以简单的 X 方程计算的话，我们一般用设大数为 X，那么也就是设兔为 X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即88-X只。解：设兔为 X 只。则鸡为88-X只。4X+288-X=244 上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。4X就是兔子的脚数，288-X就是鸡的脚数。4X+288-2X=244 2X+176=244 2X+176-176=244-176 2X=68 2X2=682

20、X=34 即兔子为 34 只，总数是 88 只，则鸡：88-34=54 只。答：兔子有 34 只，鸡有 54 只。习题一 1龟鹤共有 100 个头，350 只脚.龟，鹤各多少只？2学校有象棋，跳棋共 26 副，恰好可供 120 个学生同时进行活动。象棋 2 人下一副棋，跳棋 6 人下一副.象棋和跳棋各有几副？3一些 2 分和 5 分的硬币，共值 2.99 元，其中 2 分硬币个数是 5 分硬币个数的 4 倍，问 5 分硬币有多少个？4某人领得工资 240 元，有 2 元，5 元，10 元三种人民币，共 50 张，其中 2 元与 5 元的张数一样多。那么 2 元，5 元，10 元各有多少张？5一

21、件工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成，现在甲做了假设干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16 天.甲先做了多少天？6摩托车赛全程长 281 千米，全程被划分成假设干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路(3 千米，一段平路(4 千米，一段下坡路(2 千米和一段平路(4 千米组成的；有的是由一段上坡路(3 千米，一段下坡路(2 千米和一段平路(4 千米组成的。已知摩托车跑完全程后，共跑了 25 段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？7用 1 元钱买 4 分，8 分，1 角的邮票共 15 张，问最多可以买 1 角的邮票多少张？二、两数之差的问题 鸡兔同笼中的总头数

22、是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢 例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票，共花 6 元 8 角。已知 8 分的邮票比 4分的邮票多 40 张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出 40 张 8 分的邮票，余下的邮票中 8 分与 4 分的张数就一样多.(680-840)(8+4)=30张，这就知道，余下的邮票中，8 分和 4 分的各有 30 张。因此 8 分邮票有 40+30=70张.答：买了 8 分的邮票 70 张，4 分的邮票 30 张。也可以用任意假设一个数的方法.解二：譬如，假设有 20 张 4 分，根据条件8 分比 4 分多 40 张,那么应有 60 张 8 分

23、。以分作为计算单位，此时邮票总值是 420+860=560.比 680 少，因此还要增加邮票。为了保持差是 40，每增加 1 张 4分，就要增加 1 张 8 分，每种要增加的张数是 (680-420-860)(4+8)=10张.因此 4 分有 20+10=30张，8 分有 60+10=70张.例 8 一项工程，如果全是晴天，15 天可以完成。倘假设下雨，雨天比晴天多 3 天，工程要多少天才能完成 解：类似于例 3，我们设工程的全部工作量是 150 份，晴天每天完成10 份，雨天每天完成 8 份.用上一例题解一的方法，晴天有 (150-83)(10+8)=7天.雨天是 7+3=10 天，总共 7

24、+10=17天.答：这项工程 17 天完成。请注意，如果把雨天比晴天多 3 天去掉，而换成已知工程是 17 天完成，由此又回到上一节的问题.差是 3，与和是 17，知道其一，就能推算出另一个。这说明了例 7，例 8 与上一节基本问题之间的关系.总脚数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢 例 9 鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔的脚数少 28.问鸡与兔各几只？解一：假设再补上 28 只鸡脚，也就是再有鸡 282=14只，鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚 42=2倍，于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍。兔的只数是 (100+282)(2+1)=38只.鸡是 100-38=62只.答

25、：鸡 62 只，兔 38 只。当然也可以去掉兔 284=7只.兔的只数是 (100-284)(2+1)+7=38只.也可以用任意假设一个数的方法。解二：假设有 50 只鸡，就有兔 100-50=50只.此时脚数之差是 450-250=100,比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了鸡数少了.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了 4 只兔脚，多了 2 只鸡脚，相差为 6只 千万注意，不是 2).因此要减少的兔数是(100-28)(4+2)=12 只.兔只数是 50-12=38只.另外，还存在下面这样的问题：总头数换成两数之差,总脚数也换成两数之差.例 10 古诗中，五言绝句是四句诗，每

26、句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13 首，总字数却反而少了 20 个字.问两种诗各多少首？解一：如果去掉 13 首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差 1354+20=280字.每首字数相差 74-54=8字.因此，七言绝句有 280(28-20)=35首.五言绝句有 35+13=48首.答：五言绝句 48 首，七言绝句 35 首。23=460字，2810=280字，五言绝句的字数，反而多了 460-280=180字.与题目中少 20 字相差 180+20=200字.说明假设诗的首数少了。为了保持相差 13 首，增加一首五言绝句，也要增一

27、首七言绝句，而字数相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假设增加 2008=25首.五言绝句有 23+25=48首.七言绝句有 10+25=35首.在写出鸡兔同笼公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例 7，例 9 和例 10 三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做一下，把列出的计算式子与鸡兔同笼公式对照一下，就会发现非常有趣的事.例 7，假设都是 8 分邮票，4 分邮票张数是 (680-840)(8+4)=30张.例 9，假设都是兔，鸡的只数是 (1004-28)(4+2)=62只.10，假设都是五言绝句,七言绝句的首数是 (2013+20)(28-20)=35首.首先，请读者先弄明

28、白上面三个算式的由来，然后与鸡兔同笼公式比较，这三个算式只是有一处-成了+.其奥妙何在呢 当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。例 11 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只 2 角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿 1元.结果得到运费 379.6 元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是 400 元。但破损一只要减少 1+0.2=1.2元.因此破损只数是(400-379.6)(1+0.2)=17只.答：这次搬运中破损了 17 只玻璃瓶。请你想一想，这是鸡

29、兔同笼同一类型的问题吗 例 12 有两次自然测验，第一次 24 道题，答对 1 题得 5 分，答错包含不答1 题倒扣 1 分；第二次 15 道题，答对 1 题 8 分，答错或不答 1 题倒扣 2 分，小明两次测验共答对 30 道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多 10 分，问小明两次测验各得多少分？解一：如果小明第一次测验 24 题全对，得 524=120分.那么第二次只做对 30-24=6题得分是 86-2(15-6)=30分.两次相差 120-30=90分.比题目中条件相差 10 分，多了 80 分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得 5+1=6分，而第二次

30、答对增加一题不但不倒扣 2 分，还可得 8 分，因此增加 8+2=10 分。两者两差数就可减少 6+10=16分.(90-10)(6+10)=5题.因此第一次答对题数要比假设全对减少 5 题，也就是第一次答对19 题，第二次答对 30-19=11题.第一次得分 519-1(24-19)=90.第二次得分 811-2(15-11)=80.答：第一次得 90 分，第二次得 80 分。解二：答对 30 题，也就是两次共答错 24+15-30=9题.第一次答错一题，要从总分值中扣去 5+1=6分，第二次答错一题，要从总分值中扣去 8+2=10分.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16分.如果答错

31、 9 题都是第一次，要从总分值中扣去 69.但两次总分值都是 120 分。比题目中条件第一次得分多 10 分,要少了 69+10.因此，第二次答错题数是 (69+10)(6+10)=4题 第一次答错 9-4=5题.第一次得分 5(24-5)-15=90分.第二次得分 8(15-4)-24=80分.习题二 1买语文书 30 本，数学书 24 本共花 83.4 元。每本语文书比每本数学书贵 0.44 元。每本语文书和数学书的价格各是多少？2甲茶叶每千克 132 元，乙茶叶每千克 96 元，共买这两种茶叶 12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少 354 元。问每种茶叶各买多少千克？3一辆卡车运矿石

32、，晴天每天可运 16 次，雨天每天只能运 11 次.一连运了假设干天，有晴天，也有雨天。其中雨天比晴天多 3 天，但运的次数却比晴天运的次数少 27 次.问一连运了多少天？4某次数学测验共 20 道题，做对一题得 5 分，做错一题倒扣 1 分，不做得 0 分。小华得了 76 分.问小华做对了几道题？5甲，乙二人射击，假设命中，甲得 4 分，乙得 5 分；假设不中，甲失 2 分，乙失 3 分。每人各射 10 发，共命中 14 发.结算分数时，甲比乙多 10 分。问甲，乙各中几发？6甲，乙两地相距 12 千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留 40

33、分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲，乙两地出发，经过 4 小时后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走 1.5千米，求两人的速度。？三、从三到二 鸡和兔是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例 5 和例 6 就都有三种东西。从这两个例子的解法，也可以看出，要把三种转化成二种来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法。例 13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔，圆珠笔和钢笔共 232支，共花了 300 元.其中铅笔数量是圆珠笔的 4 倍。已知铅笔每支 0.60元，圆珠笔每支 2.7 元，钢笔每支 6.3 元。问三种笔各有多少支 解

34、：从条件铅笔数量是圆珠笔的 4 倍,这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作 4+2.7)5=1.02元.现在转化成价格为 1.02 和 6.3 两种笔。用鸡兔同笼公式可算出，钢笔支数是 232)(6.3-1.02)=12支.铅笔和圆珠笔共 232-12=220支.其中圆珠笔 220(4+1)=44支.铅笔 220-44=176支.答：其中钢笔 12 支，圆珠笔 44 支，铅笔 176 支。例 14 商店出售大，中，小气球，大球每个 3 元，中球每个 1.5 元，小球每个 1 元。张 解：因为总钱数是整数，大，小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且

35、还是 3 的整数倍。我们设想买中球，小球钱中各出3 元.就可买 2 个中球，3 个小球。因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是 2+13)(2+3)=1.2元.从公式可算出，大球个数是 55)(3-1.2)=30个.买中，小球钱数各是 (120-303)2=15元.可买 10 个中球，15 个小球。答：买大球 30 个，中球 10 个，小球 15 个.例 13 是从两种东西的个数之间倍数关系，例 14 是从两种东西的总钱数之间相等关系倍数关系也可用类似方法，把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把三转化成二了。例 15 是为例 16 作准备.例 15 某人去时上坡速度为每

36、小时走 3 千米，回来时下坡速度为每小时走 6 千米，求他的平均速度是多少 解：去和回来走的距离一样多。这是我们考虑问题的前提.平均速度=所行距离所用时间 去时走 1 千米，要用 20 分钟；回来时走 1 千米，要用 10 分钟。来回共走 2 千米，用了 30 分钟，即半小时，平均速度是每小时走 4 千米.千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走(6+3)2=。例 16 从甲地至乙地全长 45 千米，有上坡路，平路，下坡路.李强上坡速度是每小时 3 千米，平路上速度是每小时 5 千米，下坡速度是每小时 6 千米。从甲地到乙地，李强行走了 10 小时；从乙地到甲地，李强行走了 11 小时

37、.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米 解：把来回路程 452=90千米算作全程。去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成一种路程，根据例15，平均速度是每小时 4 千米。现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题.头数 10+11=21，总脚数 90，鸡，兔脚数分别是 4 和 5.因此平路所用时间是(90-421)(5-4)=6小时.单程平路行走时间是 62=3小时.从甲地至乙地，上坡和下坡用了 10-3=7小时行走路程是：45-53=30千米.又是一个鸡兔同笼问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是：(67-30)(6-3)=4小时.行走路程是 34=12千米.下坡行走的时间是

38、7-4=3小时.行走路程是 63=18千米.答：从甲地至乙地，上坡 12 千米，平路 15 千米，下坡 18 千米。做两次鸡兔同笼的解法，也可以叫两重鸡兔同笼问题.例 16 是非常典型的例题。例 17 某种考试已举行了 24 次，共出了 426 题.每次出的题数，有 25题，或者 16 题，或者 20 题。那么，其中考 25 题的有多少次 解：如果每次都考 16 题，1624=384，比 426 少 42 道题.每次考 25 道题，就要多 25-16=9道.每次考 20 道题，就要多 20-16=4道.就有 9考 25 题的次数+4考 20 题的次数=42.请注意，4 和 42 都是偶数，9考

39、 25 题次数也必须是偶数，因此，考 25 题的次数是偶数，由 96=54 比 42 大，考 25 题的次数，只能是 0,2,4 这三个数。由于 42 不能被 4 整除，0 和 4 都不合适.只能是考25 题有 2 次考 20 题有 6 次.答：其中考 25 题有 2 次。例 18 有 50 位同学前往参观，乘电车前往每人 1.2 元，乘小巴前往每人 4 元，乘地下铁路前往每人 6 元。这些同学共用了车费 110 元，问其中乘小巴的同学有多少位 解：由于总钱数 110 元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是 5 的整数倍.如果有 30 人乘电车，30=74元.还余下 50

40、-30=20人都乘小巴钱也不够。说明假设的乘电车人数少了.如果有 40 人乘电车 40=62元.还余下 50-40=10人都乘地下铁路前往，钱还有多(62610).说明假设的乘电车人数又多了。30 至 40 之间，只有 35 是 5 的整数倍.现在又可以转化成鸡兔同笼了：总头数 50-35=15,35=68.因此，乘小巴前往的人数是 (615-68)(6-4)=11.答：乘小巴前往的同学有 11 位。在“三转化为二时，例 13，例 14，例 16 是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两种东西合并组成一种。例 17，例 18 是另一种类型.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只

41、能是几个数值。对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也就变成二的问题了。在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了.更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解。习题三 1有 100 枚硬币，把其中 2 分硬币全换成等值的 5 分硬币，硬币总数变成 79 个，然后又把其中的 1 分硬币换成等值的 5 分硬币，硬币总数变成 63 个.求原有 2 分及 5 分硬币共值多少钱？2京剧公演共出售 750 张票得 22200 元。甲票每张 60 元，乙票每张 30 元，丙票每张 18 元.其中丙票张数是乙票张数的 2 倍。问其中甲票有多少张？3小明参加数学竞赛，共做 20

42、题得 67 分.已知做一题得 5 分，不答得 2 分，做错一题倒扣 3 分。又知道他做错的题和没答的题一样多.问小明共做对几题？41 分，2 分和 5 分硬币共 100 枚，价值 2 元，如果其中 2 分硬币的价值比 1 分硬币的价值多 13 分。问三种硬币各多少枚？注：此题没有学过分数运算的同学可以不做.4 千米，走平路速度每小时 5 千米，下坡速度每小时 6 千米。去时行走了 4 小时 50 分，回来时用了 5 小时.问从甲地到乙地，上坡，平路，下坡各多少千米？6某学校有 12 间宿舍，住着 80 个学生。宿舍的大小有三种：大的住 8 个学生，不大不小的住 7 个学生，小的住 5 人.其中

43、不大不小的宿舍最多，问这样的宿舍有几间？测验题 1松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采 20 个，雨天每天只能采 12 个。它一连几天采了 112 个松籽，平均每天采 14 个.问这几天当中有几天有雨？2有一水池，只打开甲水龙头要 24 分钟注满水池，只打开乙水龙头要 36 分钟才注满水池。现在先打开甲水龙头几分钟，然后关掉甲，打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开 26 分钟。问注满水池总共用了多少分钟？3某工程甲队独做 50 天可以完成，乙队独做 75 天可以完成.现在两队合做，但是中途乙队因另有任务调离了假设干天。从开工后 40 天才把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天？4 小华

44、从家到学校，步行一段路后就跑步。他步行速度是每分钟 600，跑步速度是每分钟 140 米.虽然步行时间比跑步时间多 4 分钟，但步行的距离却比跑步的距离少 400 米。问从家到学校多远？5有 16 位教授，有人带 1 个研究生，有人带 2 个研究生，也有人带3 个研究生.他们共带了 27 位研究生。其中带 1 个研究生的教授人数与带 2,3 个研究生的教授人数一样多.问带 2 个研究生的教授有几人？6某商场为招揽顾客举办购物抽奖。奖金有三种：一等奖 1000 元，二等奖 250 元，三等奖 50 元.共有 100 人中奖，奖金总额为 9500 元。问二等奖有多少名？7有一堆硬币，面值为 1 分

45、，2 分，5 分三种，其中 1 分硬币个数是2 分硬币个数的 11 倍.已知这堆硬币面值总和是 1 元，问 5 分的硬币有多少个？四、答案 习题一 1龟 75 只，鹤 25 只。2象棋 9 副，跳棋 17 副.32 分硬币 92 个，5 分硬币 23 个。4+5=13份，其中 2 分钱数占 24=8份，5 分钱数占 5 份。42 元与 5 元各 20 张，10 元有 10 张.2 元与 5 元的张数之和是 (1050-240)10-(2+5)2=40张.5甲先做了 4 天。提示：把这件工程设为 36 份，甲每天做 3 份，乙每天做 2 份.6第一种路段有 14 段，第二种路段有 11 段。第一

46、种路段全长 13 千米，第二种路段全长 9 千米，全赛程 281 千米，共 25 段，是标准的鸡兔同笼.7最多可买 1 角邮票 6 张。假设都买 4 分邮票，共用 415=60分，就多余 100-60=40分.买一张 1 角邮票，可以认为 4 分换 1 角，要多 6 分。406=64，最多买 6 张.最后多余 4 分，加在一张 4 分邮票上，恰好买一张 8 分邮票。习题二 1语文书 1.74 元，数学书 1.30 元。设想语文书每本廉价 0.44 元，因此数学书的单价是 30)(30+24).2买甲茶 3.5 千克，乙茶 8.5 千克。甲茶数=(9612-354)(132+96)=3.5千克

47、3一连运了 27 天。晴天数=(113+27)(16-11)=12天 4小华做对了 16 题.4.5甲中 8 发，乙中 6 发。假设甲中 10 发，乙就中 14-10=4发.甲得 410=40分，乙得 54-36=2 分.比题目条件甲比乙多 10 分相差(40-2)-10=28 分，甲少中 1 发，少 4+2=6分，乙可增 5+3=8分.28(6+8)=2.甲中 10-2=8发.习题三 1295 分 解：每 2.5 个 2 分可换 1 个 5 分，即每换 1 个 5 分，个数就减少 1.5个。已知减少了 100-79=21 个，所以换成的 5 分的个数=211.5=14个。也就是说，是用 51

48、4=70 分钱换成了 5 分，所以 2 分币是 702=35 个。同理，每 5 个 1 分可换 1 个 5 分，即每换 1 个 5 分，个数就减少 4 个。已知减少了 79-63=16 个，所以换成的 5 分的个数=164=4 个。也就是说，用 54=20 分换成了 5 分，所以 1 分币是 201=20 个。原有 2 分及 5 分硬币共价值：352+455=295 分。8 鸡兔同笼公式 公式 1：兔的脚数总只数总脚数兔的脚数鸡的脚数=鸡的只数 总只数鸡的只数=兔的只数 公式 2：总脚数鸡的脚数总只数兔的脚数鸡的脚数=兔的只数 总只数兔的只数=鸡的只数 公式 3：总脚数2总头数=兔的只数 总只数兔的只数=鸡的只数 公式 4：鸡的只数=(4鸡兔总只数-鸡兔总脚数2 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数 公式 5：兔总只数=鸡兔总脚数-2鸡兔总只数2 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数 公式 6：头数 x4-实际脚数2=鸡 公式 7：4+2总数x=总脚数 x=兔，总数x=鸡数，用于方程 公式 8：鸡的只数：兔子的只数=兔子的脚数-总脚数总只数：总脚数总只数-鸡的脚数