重庆市第八中学2020届高三下学期第3次(4月)月考数学(文)试题Word版含解析.pdf

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1、努力的你，未来可期!精品 2020 届重庆八中高三下学期第 3 次（4 月）月考(文科)数学试卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|1,3,2,1,0,1Ax xB ，则AB()A.1,0,1 B.0,1 C.(1,1 D.【答案】B【解析】【分析】利用交集定义直接求解【详解】集合1Ax x，3,2,1,B 0，1，0,1AB 故选：B【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2.设2izi，则|z()A.2 B.5 C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】根据复

2、数的基本运算法则进行化简即可【详解】22212i iiziii，则221(2)5z ，故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数模的计算，比较基础 3.已知向量|1,|2,3aba b，则向量a与向量b的夹角为()A.6 B.4 C.3 D.23【答案】A 努力的你，未来可期!精品【解析】【分析】根据条件及向量夹角的余弦公式即可得出3cos,2a b，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角的大小【详解】1,2,3aba b，3cos,2a b，且0,a b，向量,a b的夹角为6 故选：A【点睛】本题考查了向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题 4.函数()(0)af

3、 xxx，()logag xx，则()f x与()g x的图象可能为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取特殊值，利用排除法即得解【详解】当12a 时，12,f xx g xlog x，选项B符合 故选：B【点睛】本题考查常见函数的图象，属于基础题 努力的你，未来可期!精品 5.已知双曲线22145xy的右焦点为F，过点F作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为,A O为坐标原点，则OAFS()A.3 B.3 5 C.2 5 D.5【答案】D【解析】【分析】求得F到渐近线520 xy的距离3 55.54FA 即可得222|352.AOOFFA从而求得面积【详解】双曲线22145xy的右

4、焦点为3,0F，F到渐近线520 xy的距离3 5554FA 则222|352AOOFFA 则1152522OAFSFA OA，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题 6.为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7 班男生比较壮，7 班肯定得第一名”老师乙：“我觉得 14 班比 15 班强，14 班名次会比 15 班靠前”老师丙：“我觉得 7 班能赢 15 班”最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”那么，获得一、二、三名的班级依

5、次为()A.7 班、14 班、15 班 B.14 班、7 班、15 班 C.14 班、15 班、7 班 D.15 班、14 班、7 班【答案】C【解析】【分析】努力的你，未来可期!精品 分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14班名次比 15 班靠后，7 班没能赢 15 班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7班不是第一名，14 班名次比 15 班靠前，7 班没能赢 15 班，则获得一、二、三名的班级依次为 14 班，15 班，7 班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7班不是第一名，14 班

6、名次比 15 班靠后，7 班能赢 15 班，不合题意 综上，得一、二、三名的班级依次为 14 班，15 班，7 班 故选：C【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 7.如图是一个算法流程图，输出的S为()A.50 B.50 C.51 D.51【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得 努力的你，未来可期!精品 0N，0T，1i 满足条件100i，执行循环体，1N，2T，3i 满足条件100i，执行

7、循环体，1 3N ，24T，5i 满足条件100i，执行循环体，1 3 5N ，246T ，7i 观察规律可知，当99i 时，满足条件100i，执行循环体，1 3 599N ，246100T ，101i 此时，不满足条件100i，退出循环，可得 1 23 45 699 10050SNT 故选：B【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题 8.已知函数()sin()(0,0)f xx 为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(,0)3，则()f x在0,2)内的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由函数

8、为偶函数求得，再由已知求出周期，进一步求得，可得函数解析式，根据三角函数的图象判断零点个数即可【详解】由函数 sin(0,0)f xx 为偶函数，所以2，f xcos x；又因为该函数离原点最近的一个对称中心为,03，所以43T，423T，32；所以3()cos2f xx，由函数图像可知 f x在0,2内的零点个数为 3 个 故选：C 努力的你，未来可期!精品【点睛】本题考查了yAsinx型函数的图象及性质，属于基础题 9.已知函数2,01()log,1aa xxf xx x在(0,)为单调递增函数，则a的取值范围为()A.(1,)B.(1,2)C.(1.2 D.(0,2【答案】C【解析】【分

9、析】要使分段函数在0,上是增函数，必须每一段都是增函数，且整体也是增函数，故1a 且2log 10aa，解得a的取值范围即可【详解】要使得函数 2,01,1aa xxfxlog xx在0,上为增函数，则满足120aa，故12a；则a的取值范围为1,2 故选：C【点睛】本题考查了分段函数为增函数的条件，正确理解增函数的定义是关键，属于基础题 10.已知三棱锥SABC的外接球为球O，SA为球O的直径，且2SA，若面SAC 面SAB，则三棱锥SABC的体积最大值为()A.13 B.23 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，可得连接OC，OB，则SABCS OBCA OBCVVV，

10、两三棱锥高的和的最大值为2SA，再求出三角形OBC面积的最大值得答案【详解】如图，努力的你，未来可期!精品 连接OC，OB，则SABCS OBCA OBCVVV，两三棱锥高的和的最大值为2SA 要使三棱锥SABC的体积最大，则OBC面积1sin2OBOCBOC，取最大值111 1 122 时，三棱锥SABC的体积最大值为1112323 故选：A【点睛】本题考查球内接多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题 11.已知()f x为定义在R上的奇函数，且满足(1)(1)fxfx，已知0,1x时，2()ln1f xx，若13(log 54)af，2019()2

11、bf，(3)cf，则,a b c的大小关系为()A.abc B.bac C.cba D.cab【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，结合函数的周期性进行转化判断即可【详解】f x为定义在R上的奇函数，且满足11fxfx，111fxfxf x，则 2f xf x，即 4f xf x，则函数周期是 4，努力的你，未来可期!精品 0,1x时，2ln1f xx，为增函数，则 f x在1,1上为增函数，1333333log 54log 543log 23log 24log 2 11 log 2ffffff ，20191111100811122222fffff 33 41fff，311 1

12、log 22 ，3111 log 22fff，即cab，故选：D【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数的奇偶性和对称性求出函数的周期是解决本题的关键有一定的难度 12.已知抛物线2:4C yx的焦点为F，过点F作直线与抛物线交于,A B两点，B点在第一象限，过点B作抛物线准线的垂线，垂足为C，点E为BF上一点，且12BEEF，连接CE并延长交x轴于点D，已知BED的面积为22，则D点的横坐标为()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，及准线方程，设B的坐标，可得C的坐标，由12BEEF，可得E的坐标，再由C，E，D三点共线可得D的坐标用

13、B的坐标表示的值，再由BED的面积可得D的坐标【详解】设2,4bBb，,0DD x，由题意可得焦点1,0F，准线方程为1x，所以可得1,Cb，努力的你，未来可期!精品 由12BEEF，可得21,1,42EEEEbxybxy，可得226Ebx，23Eby，即222,63bEb，因为C，E，D三点共线，可得CDCEkk，即2232116Dbbbbx ，可得232Dbx，因为BED的面积为22，所以3 213122BFDBEDDSSxb，即346 20bb，可得2b，所以2(2)342Dx，故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线的性质及三点共线的性质，即直线与抛物线的综合，属于中档题 二、填空题：本大

14、题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13.已知tan3，则cos2_.【答案】45【解析】【分析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数基本关系求得2cos的值【详解】3tan，222222cossin1tan1 942cossin1tan1 95cos 故答案：45【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题 努力的你，未来可期!精品 14.若变量,x y满足约束条件23603020 xyxyy，则3zxy的最大值为_.【答案】9【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标

15、函数得答案【详解】由约束条件23603020 xyxyy 作出可行域如图：化目标函数3zxy为：3yxz，由图可知，当直线3yxz过3,0A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为 9 故答案为：9【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 15.在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知2bca，4 sin5 sincBbA，则cos B _.【答案】45【解析】【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理即可求解.努力的你，未来可期!精品【详解】因为45csinBbsinA，由正弦定理可得，45bcba即45ca，因为2bca，所以34ba，54ca，由

16、余弦定理可得，2222222594161652524aaaacbcosBaca 故答案为：45【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题 16.若函数()2xf xxeax（e为自然对数的底数）在(,0)的区间内有两个极值点，则实数a的取值范围为_.【答案】21,0e【解析】【分析】由已知可得 10 xfxxea在,0的区间内有两个解，分离参数后转化为求解函数的交点问题，构造函数结合导数可求【详解】2xf xxeax在,0的区间内有两个极值点，则 10 xfxxea在,0的区间内有两个解，即1xaxe在,0的区间内有两个解，令 1xg xxe，则 2xgxxe，

17、易得，当,2x ，0gx，函数单调递减，当2,0 x，0gx，函数单调递增，又x 时，0g x，且212ge，01g 故210ae，故答案为：21,0e 努力的你，未来可期!精品【点睛】本题主要考查了函数极值存在条件的应用，解题中体现了转化思想的应用 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60 分.17.已知函数na满足13a，1132 3(N*)nnnaan，数列 nb满足3nnnab.（1）求证：数列 nb是等差数列，并求数列 nb的通项公式；（2）

18、数列 nb的前n项和为nS，设(1)nnncS，求数列 nc的前 80 项和80T.【答案】（1）证明见解析，21nbn（2）3240【解析】【分析】1将已知等式两边同除以13n，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；2由等差数列的求和公式，以及平方差公式，结合数列的并项求和，等差数列的求和公式，计算可得所求和【详解】1证明：11323nnnaa，可得11233nnnnaa，则12nnbb，即12nnbb，可得数列 nb是首项为 1，公差为 2 的等差数列；则1 2121nbnn，即213nnan，可得21 3nnan，*nN；2121 35211212nSnnnn ，2(1)(1)nn

19、nncSn ，222222228012345679802 1 2 14343656580798079T 11234567980801 8032402 【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的并项求和，化简运算能力，属于中档题 努力的你，未来可期!精品 18.为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为 120 的样本，测量树苗高度(单位：cm)，经统计，其高度均在区间19，31内，将其按19，21)，21，23)，23，25)，25，27)，27，29)，29，31分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图.其中高度为 27cm及以上的树苗为优质树苗.

20、（1）求图中a的值，并估计这批树苗高度的中位数和平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；（2）已知所抽取的这 120 棵树苗来自于AB两个试验区，部分数据如下列联表：将列联表补充完整，并判断是否有 99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由.参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，其中nabcd 【答案】（1）0.025a；中位数为25.75cm，平均数为25.5cm（2）填表见解析；没有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，详见解析【解析】【分析】（1）先分析频率分布直方图，再由中位数，平均数的求

21、法求解即可；（2）先结合直方图完成列联表，再结合公式求出2K，然后结合临界值表即可得解.努力的你，未来可期!精品【详解】解：（1）由频率分布直方图得：220.20.21aaa，解得0.025a.设中位数为x，则0.050.10.2250.20.5x，解得25.75x，平均数200.05220.1240.2260.4280.2300.0525.5x，所以估计这批树苗高度的中位数为25.75cm，平均数为25.5cm.（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有1200.1020.025230，列联表如下：A试验区 B试验区 合计 优质树苗 10 20 30 非优质树苗 60 30 90 合计 70 5

22、0 120 2212010 3020 6010.28610.82870 50 30 90K.所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系.【点睛】本题考查了频率分布直方图,重点考查了独立性检验,属基础题.19.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，ABP是等边三角形且边长是 4，2 2DADP.（1）证明：APBD；（2）若4BD，求四棱锥PABCD的体积.【答案】（1）证明见解析（2）16 33【解析】努力的你，未来可期!精品【分析】1取AP中点M，连接DM，BM，由等腰三角形的性质可得PADM，PABM，再由线面垂直的判定可得PA 平面.DMB进一步得到PAB

23、D；2由 1知，PA 平面BDM，求出三角形BDM的面积，得到三棱锥PABD的体积，进一步求得四棱锥PABCD的体积【详解】1证明：取AP中点M，连接DM，BM，DADP，BABP，PADM，PABM，DMBMM，PA平面DMB 又BD 平面DMB，PABD 2由 1知，PA 平面BDM，在等边三角形PAB中，由边长为 4，得1642 3BM，在等腰三角形ADP中，由2 2ADDP，2AM，得2DM，又4BD，222DMBMDB，得DMBM 12 2 32 32DBMS 则118 32 34333P ABDBDMVSPA 16 323P ABCDP ABDVV【点睛】本题考查直线与平面垂直的判

24、定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 努力的你，未来可期!精品 20.已知A，B是椭圆C：22221(0 xyabab)的左右顶点，P点为椭圆C上一点，点P关于x轴的对称点为H，且1.2PABHkk（1）若椭圆C经过了圆22(1)4xy的圆心，求椭圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线D：22(0)ypx p的焦点F与点1(,2)8关于y轴上某点对称，且抛物线D与椭圆C在第四象限交于点Q，过点Q作直线与抛物线D有唯一公共点，求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.【答案】（1）2212xy（2）28【解析】【分析】（1）结合斜率公式及椭圆C经过了圆

25、22(1)4xy的圆心，求出22a，21b 即可得解；（2）联立抛物线方程及椭圆方程求出交点坐标21,2Q，然后设直线方程为212yk x，联立直线方程与抛物线方程，结合0，解得k，再分别求出横、纵截距，再求三角形面积即可.【详解】解：（1）设,P x y，因为,0Aa，,0B a，则点P关于x轴的对称点,H xy，则PAykxa，BHykax，因为22221xyab，所以222222221xbybaxaa，所以22222PABHybkkaxa，又椭圆C过圆2214xy的圆心0,1，努力的你，未来可期!精品 所以22a，21b，所以椭圆C的标准方程为2212xy；（2）由题意，抛物线D焦点为1

26、,08F，故其方程为22yx，联立方程组222212xyxy，解得1x 或2x （舍去），所以21,2Q，据题意，过21,2Q点的直线，斜率存在且不为0，设直线方程为212yk x，联立方程组22212xyyk x，整理得22202kyyk，由0，解之得24k ，所以直线方程为22142yx.即是2 210 xy.令0 x，得24y ；令0y，得1x .努力的你，未来可期!精品 故所求三角形的面积为1221248S .【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，重点考查了运算能力，属中档题.21.已知函数()2(0)xf xeax a，2()24g xx.（1）讨论函数()f x的零点个数；（2

27、）设4a，证明：当0 x 时，()()f xg x.【答案】（1）02ae时，无零点；2ae时，2 个零点（2）证明见解析【解析】【分析】1分类讨论，可得2xeax，分别 2xeyg xx，ya，利用导数求出函数 g x的最值，即可判断函数的零点的个数，2当0 x 时，不等式成立，当0 x 时，转化为2220 xexx，设 222xh xexx，0 x，利用导数求出函数的最值即可证明【详解】1当0 x 时，02f，当0 x 时，20 xf xeax，即2xeax，设 2xeg xx，221xexgxx，当1x且0 x 时，0gx，即 g x在,0，0,1上单调递减，当1x 时，0gx，即 g

28、x在1,上单调递递增，当1x 时，()12g xge极小值，当x 时，0g x，当x时，g x，分别画出 yf x与ya的图象，如图所示，努力的你，未来可期!精品 结合图象可得，当2ae时，yf x与ya的图象只有一个交点，即函数 f x只有一个零点，当02ae时，yf x与ya的图象没有只有交点，即函数 f x没有零点，当2ae时，f x与ya的图象有两个交点，即函数 f x有两个零点 2证明：当0 x 时，0204fg，此时a取任何数都成立，当0 x 时，要证当0 x 时，f xg x，只要证2224xeaxx，即证242xeaxxx，4a，只要证2424xexxx，0 x，只要证2224

29、40 xexx，即证2220 xexx 设 222xh xexx，0 x，22xh xex，令 22xxex，0 x，2xxe，当2xln时，0 x，函数 x在2,ln上单调递增，当02xln时，0 x，函数 x在0,2ln上单调递减，()22 20minxlnln，努力的你，未来可期!精品 010 xg ，140e，2260e，存在01,2x，使得 0000220 xh xxex，当00,xx时，0h x，函数 h x单调递减，当0,xx时，0h x，函数 h x单调递增，0220000()2240 xminh xh xexxx，2220 xexx成立，即当0 x 时，f xg x，综上所述

30、：4a 时，当0 x 时，f xg x【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数求函数的导数，利用导数是解决本题的关键综合考查学生的运算和推理能力，属于难题(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.22.已知直线l的参数方程为xmtyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 222cos 212.若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点.(1)求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；(2)求FAFBFBFA的值.【答案】(1)221124xy；(2)4.【解析】试题分析：

31、（1）根据直角坐标和极坐标系之间的转化关系可知，曲线C的标准方程为221124xy，则其左焦点为2 2,0，将其代入直线的参数方程，即可求得2 2m .（2）将直线l的参努力的你，未来可期!精品 数方程与曲线C的方程联立，得2220tt，则1 22FA FBt t ，12 2 3FAFBtt，故224FAFBFAFBFBFAFB FA.试题解析：（1）已知曲线C的标准方程为221124xy，则其左焦点为2 2,0，故2 2m ，曲线C的方程221124xy.（2）直线l的参数方程为22 2222xtyt，与曲线C的方程221124xy联立，得2220tt，则1 22FA FBt t ，2121

32、21 242 3FAFBttttt t，故224FAFBFAFBFBFAFB FA.23.已知函数1()|2f xx，且对任意的x，1()()2f xfxm.（1）求m的取值范围；（2）若Nm，证明：22(sin)(cos1)ffm.【答案】（1）12m（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求得函数1()2f xfx 式，结合绝对值三角不等式即可求得最小值，进而得m的取值范围；（2）由（1）中m的取值范围，结合Nm可得0m.代入不等式及函数解析式，分类讨论得分段函数解析式，并求得各自的最大值，即可证明不等式成立.【详解】（1）函数1()|2f xx，由绝对值三角不等式可得11()22f x

33、fxxx 努力的你，未来可期!精品 1122xx 当且仅当102xx 时取等号，因而12m （2）证明：由（1）可知12m，且Nm，则0m，要证明22(sin)(cos1)ffm，只需证明22(sin)(cos1)0ff，而222211(sin)(cos1)sincos22ff 2211sincos22 22212sin2,sin1211,0sin2，当21sin12时，222(sin)(cos1)2sin20ff.当210sin2时，22(sin)(cos1)1ff，综上可知22(sin)(cos1)0ff，原命题得证.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的综合应用，去绝对值化简函数表达式，由分段函数最值证明不等式成立，属于中档题.努力的你，未来可期!精品