2017年北京市高考理科数学试卷及答案.pdf

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1、键入文档标题 绝密启封并使用完毕前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）(北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题,每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 A=x|2x1,B=xx1 或 x3,则 AB=（A）x2x1 (B）x|2x3（C）x1x1 (D）x1x3（2）若复数（1i）(a+i）在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是（A）(，1）（B）

2、（，1）（C）（1，+)（D）（1,+)（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 （A)2(B）32 键入文档标题 （C）53(D）85（4）若 x,y 满足 ，则 x+2y 的最大值为（A）1 （B）3 （C)5 （D）9（5）已知函数1(x)33xxf，则(x)f （A）是奇函数，且在 R 上是增函数 （B)是偶函数,且在 R 上是增函数 （C)是奇函数，且在 R 上是减函数 (D)是偶函数，且在 R 上是减函数（6）设 m，n 为非零向量，则“存在负数,使得mn”是“m n0”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 (D）既不充分也不必要条件（7）某

3、四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 键入文档标题 （A）32(B）23(C）22（D）2（8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg30。48）（A）1033 （B）1053（C）1073 （D)1093 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）若双曲线221yxm的离心率为3,则实数 m=_。（10)若等差数列 na和等比数列 nb满足 a1=b1=1，a4=b4=8，则22ab=_。（11）在极坐标系中，点 A 在圆22

4、cos4sin40，点 P 的坐标为（1，0)，则|AP|的最小值为 。（12）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称。若1sin3，键入文档标题 cos()=.(13）能够说明“设 a，b,c 是任意实数。若 abc，则 a+bc”是假命题的一组整数 a,b，c 的值依次为_.（14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi的横、纵坐标学科网分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。记 Q1为第 i 名工人在这一天中加工的零

5、件总数，则 Q1，Q2，Q3中最大的是_。记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1,p2,p3中最大的是_。三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。（15)（本小题 13 分）在ABC 中,A=60,c=37 a.（）求 sinC 的值；（）若 a=7，求ABC 的面积。（16）（本小题 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD/平面 MAC，PA=PD=6,AB=4.键入文档标题 （I）求证：M 为 PB 的中点；（II)求二面角 B-PD-

6、A 的大小；(III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正炫值。(17）（本小题 13 分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组个 50 名，一组服药,另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标 xy 和的学科.网数据，并制成下图,其中“”表示服药者，“+表示为服药者.()从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率；(）从图中 A，B，C，D,四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标 x 的值大于 1。7 的人数,求的分布列和数学期望 E（）;（）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的

7、方差的大小.（只需写出结论）（18）(本小题 14 分）已知抛物线 C：y2=2px 过点 P(1，1)。过点(0，12)作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A，B，其中 O 为原点。（）求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;（)求证：A 为线段 BM 的中点。（19）（本小题 13 分）已知函数 f(x)=excosxx。()求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；（）求函数 f(x）在区间0,2上的最大值和最小值。键入文档标题 (20）（本小题 13 分)设an和bn是两个等差数列,记 cn=max

8、b1a1n,b2a2n,，bnann（n=1，2，3,)，其中 maxx1,x2，xs表示 x1，x2,，xs这 s 个数中最大的数（）若 an=n，bn=2n1，求 c1，c2，c3的值,并证明cn是等差数列；（）证明：或者对任意正数 M,存在正整数 m，当 nm 时，ncMn;或者存在正整数 m，使得 cm，cm+1，cm+2，是等差数列 2017 年北京高考数学（理科)参考答案与解析 1A【解析】集合|21 Axx与集合|13 或Bx xx的公共部分为|21 xx，故选 A 2B【解析】(1 i)(i)(1)(1)iaaa，对应的点在第二象限，1010 aa解得：1a 故选 B 3C【解

9、析】当0k时，3k成立，进入循环，此时1k，2s;当1k时，3k成立，继续循环，此时2k,32s；当2k时,3k成立，继续循环,此时3k，53s；当3k时，3k不成立,循环结束，输出s 故选 C 4D【解析】设2zxy，则122zyx，由下图可行域分析可知，在33，处取得最大值，代入可得max9z，故选 D 键入文档标题 5A【解析】奇偶性:f x的定义域是R,关于原点对称，由 113333 xxxxfxf x可得 f x为奇函数 单调性：函数3xy是R上的增函数，函数13xy是R上的减函数，根据单调性的运算，增函数减去减函数所得新函数是增函数，即 1=33xxf x是R上的增函数综上选 A

10、6A【解析】由于m,n是非零向量，“存在负数，使得mn”根据向量共线基本定理可知m与n共线，由于0，所以m与n方向相反，从而有0m n，所以是充分条件。反之，若0m n，m与n方向相反或夹角为钝角时，m与n可能不共线,所以不是必要条件。综上所述，可知mn”是“0m n”的充分不必要条件，所以选 A 7B【解析】如下图所示，在四棱锥PABCD中，最长的棱为PA，所以2222=2(2 2)2 3PAPCAC,故选 B 键入文档标题 8D【解析】由于36180lglglglg3lg10361 0.48 8093.28MMNN=，所以93.2810MN，故选 D 92【解析】双曲线的离心率为3 3ca

11、 223ca 1a，bm，222abc 2222233 12 bmcaaa 101【解析】na是等差数列,11 a，48a,公差3d 212aad nb为等比数列,11 b,48b 公比2 q 212bbq 故221ab 111【解 析】把 圆22 cos4 sin40改 写 为 直 角 坐 标 方 程222440 xyxy，化 简 为22(1)(2)1xy，它是以1,2为圆心,1 为半径的圆.画出图形，连结圆心O与点P，交圆于点A，此时AP取最小值，A点坐标为 1,1，1AP 键入文档标题 O(1,2)P(1,0)A(1,1)21yx 1279【解析】因为角和角的终边关于y轴对称 1sins

12、in3，coscos coscoscossinsin 2227cossin2sin19 131，2，3【解析】由题意知a，b,c均小于0，所以找到任意一组负整数，满足题意即可 14 1Q 2p【解析】设线段iiAB的中点为，iiiCxy，则2iiQy,其中1 23，i 因此只需比较1C，2C，3C三个点纵坐标的大小即可 由题意，iiiypx，1 23，i，故只需比较三条直线1OC,2OC,3OC的斜率即可 15【解析】（1)37ca 由正弦定理得:3333 3sinsin77214CA（2)37caa 60 CA C为锐角 由3 3sin14C得：13cos14C 键入文档标题 sinsin(

13、)sin()BACAC sincoscossinACAC 31313 3214214 4 37 又337377 ca 1sin2ABCSacB 14 37327 6 3 16【解析】(1）取AC、BD交点为N，连结MN PD面MAC PD 面PBD 面PBD面MACMN PDMN 在PBD中,N为BD中点 M为PB中点(2）方法一：取AD中点为O，BC中点为E，连结OP,OE PAPD，POAD 又面PAD 面ABCD 面PAD面ABCDAD PO 面ABCD 以OD为x轴,OE为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标 可知200D，200A ，,240B ，002P，易知面PD的法向量为010m，

14、且202PD，,242PB ，设面PBD的法向量为nxyz，2202420 xzxyz 可知1 12n，键入文档标题 222211cos21112mn，由图可知二面角的平面角为锐角 二面角BPDA大小为60 方法二：过点A作AHPD，交PD于点E，连结BE BA 平面PAD，PDBA，PD 平面BAH，PDBH,AEB即为二面角BPDA的平面角 AD POAE PD，可求得4 33AE 4tan34 3AEB 60AEB（3）方法一：点2122M，,240C，2322MC，由(2）题面BDP的一个法向量1 12n，设MC与平面BDP所成角为 2223212 6sincos91941122MCn

15、，（）方法二：记ACBDF,取AB中点N，连结MN，FN,MF 取FN中点G，连MG，易证点G是FN中点，MGPO 平面PAD 平面ABCD，POAD,PO 平面ABCD MG 平面ABCD 连结GC，13GC，1222MGPO 3 62MC 6PD，4 2BD，22PB，由余弦定理知3cos3PDB 6sin3PDB，1sin4 22PDBSPD DBPDB GNFPHMBCDA键入文档标题 设点C到平面PDB的距离为h,13P DBCPDBVSh 又13P DBCC PDBBCDVVSPO，求得2h 记直线MC与平面BDP所成角为 22 6sin93 62hMC 17【解析】(1）50 名

16、服药者中指标y的值小于 60 的人有 15 人,故随机抽取 1 人，此人指标y 的值小于 60 的概率为1535010（2）的可能取值为：0,1，2 2224106CPC,11222442163CCPC，2224126CPC 0 1 2 P 16 23 16 121()0121636 E（3)从图中服药者和未服药者指标y数据的离散程度观察可知，服药者的方差大.18【解析】（1）由抛物线22ypx过点(1,1),代入原方程得21=21p,所以12p，原方程为2yx 由此得抛物线焦点为1,04，准线方程为14x（2）法一：BMx轴 设112211,，ABM x yN xyA x yB x y，根据

17、题意显然有10 x 若要证A为BM中点 只需证2ABMyyy即可，左右同除1x有1112ABMyyyxxx 即只需证明2OAOBOMkkk成立 其中1,OAOPOBONkkkk 当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零 键入文档标题 设直线102：MNykxk 联立212ykxyx有221104k xkx，考虑221141 24 kkk，由题可知有两交点，所以判别式大于零,所以12k 由韦达定理可知:1221kxxk，1 2214x xk 212121122112112222OBOMONOMyykkkkxxkxkxxxkxxx x 将代

18、入上式，有21212212222 121224kxxkkkkkx xk 即22ONOMOBOMOAkkkkk,所以2ABMyyy恒成立 A为BM中点,得证 法二：当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零 设10,2为点,过Q的直线MN方程为102ykxk，设1122(,),(,)M x yN xy，显然,12,x x均不为零 联立方程212yxykx得221(1)04k xkx,考虑,由题可知有两交点,所以判别式大于零，所以12k 由韦达定理可知：1221kxxk，由题可得,A B横坐标相等且同为1x，且22:ONylyxx，B在直线O

19、N上，又A在直线OP：yx上，所以121112(,),x yA x xB xx，若要证明A为BM中点，键入文档标题 只需证2ABMyyy，即证121122x yyxx，即证1221122x yx yx x，将11221212ykxykx代入上式，即证21121 211()()222kxxkxxx x,即1 2121(22)()02kx xxx，将代入得2211(22)042kkkk,化简有 恒成立,所以2ABMyyy恒成立,所以A为BM中点 19【解析】（1)()e cosxf xxx(0)1,()e cose sin1e(cossin)1 xxxffxxxxx 0(0)e(cos0sin0)

20、10 f()f x在(0,(0)f处的切线方程为(0)(0)(0)yffx，即10y (2）令()()e(cossin)1xg xfxxx()e(cossin)+e(sincos)2e sin xxxg xxxxxx 02x，时,()2e sin0 xg xx()g x在02，上单调递减 02x，时，()(0)(0)0g xgf，即()0fx()f x在02，上单调递减 0 x时，()f x有最大值(0)1f;2x时，()f x有最小值2e cos2222 f 20【解析】（1)易知11a，22a，33a且11b，23b，35b 1110cba，键入文档标题 21122max22max111，

21、cbaba，3112233max333max2342，cbababa 下面我们证明，对*Nn且2n，都有11ncban 当*Nk且2kn 时，11kkbanban 211 knkn 221kn k 12kn 10 k且20n，11110kkkkbanbanbanban 因此，对*Nn且2n,111 ncbann,则11 nncc 又211 cc,故11 nncc对*Nn均成立，从而 nc为等差数列(2)设数列 na与 nb的公差分别为ad，bd，下面我们考虑nc的取值 对11ban，22ban，,nnban，考虑其中任意项iiba n（*Ni且1in），iiba n 1111babidaidn

22、 11()(1)()babaniddn 下面我们分0ad,0ad，0ad三种情况进行讨论（1）若0ad，则 111iibbanbanid 若0bd，则 1110iibbanbanid 则对于给定的正整数n而言，11ncban 键入文档标题 此时11 nncca，故 nc为等差数列 若0bd，则 0iinnbba nbanind 则对于给定的正整数n而言，1nnnncbanban 此时11nnbccda，故 nc为等差数列 此时取1m,则123，ccc是等差数列，命题成立（2）若0ad，则此时abdnd为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数 故必存在*Nm,使得当nm时，0abdnd 则当nm

23、时，1110iiabbanbanidnd（*Ni，1in）因此，当nm时,11ncban 此时11nncca，故 nc从第m项开始为等差数列，命题成立（3)若0ad，则此时abdnd为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数 故必存在*Ns，使得当ns时，0abdnd 则当ns时，0iinnabbanbanindnd（*Ni,1in）因此，当ns时，nnncban 此时ncn nnbann nnban 11 baabbddndadn 令0adA，1abdadB，1bbdC 下面证明ncCAnBnn对任意正数M，存在正整数m,使得当nm时，ncMn 若0C，则取1MBmA（x表示不大于x的最大整数)当nm时，键入文档标题 1nMBcAnBAmBABnAMBABMA,此时命题成立 若0C，则取1MCBmA 当nm时，nMCBcAnBCAmBCABCMCBBCMnA 此时命题也成立 因此，对任意正数M，存在正整数m，使得当nm时，ncMn 综合以上三种情况，命题得证