2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版.pdf

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1、 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第1页 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 II)第卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2013 课标全国，理 1）已知集合Mx|(x1)24,xR，N1,0,1,2，3，则MN（）A 0,1，2 B1,0，1，2 C1,0，2,3 D 0,1,2，3 2(2013 课标全国，理 2)设复数z满足（1i)z2i,则z(）A1i B1I C1i D1i 3（2013 课标全国，理 3）等比数列an的前n项和为Sn.已知S3a210a1，a59，则

2、a1（）A13 B13 C19 D19 4（2013 课标全国，理 4)已知m，n为异面直线,m平面,n平面。直线l满足lm,ln，l,l，则（)A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于 l D 与 相交，且交线平行于 l 5（2013 课标全国,理 5)已知(1ax)（1x)5的展开式中x2的系数为 5，则a（）A4 B3 C2 D1 6（2013 课标全国,理 6）执行下面的程序框图，如果输入的N10，那么输出的S()A1111+2310 B1111+2!3!10!C1111+2311 D1111+2!3!11!7（2013 课标全国，理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Ox

3、yz中的坐标分别是(1,0,1)，(1，1，0），（0，1,1)，（0，0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为（）8(2013 课标全国，理 8）设alog36，blog510，clog714,则()Acba Bbca Cacb Dabc 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第2页 9（2013 课标全国，理 9)已知a0,x，y满足约束条件1,3,3.xxyya x 若z2xy的最小值为 1，则a(）A14 B 12 C 1 D 2 10（2013 课标全国，理 10）已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是（)Ax0R，f(x0)0

4、 B函数 yf（x）的图像是中心对称图形 C若 x0 是 f（x）的极小值点，则 f(x）在区间(，x0）单调递减 D若 x0 是 f(x）的极值点，则 f(x0）0 11（2013 课标全国,理 11）设抛物线C：y22px（p0)的焦点为F，点M在C上,MF|5，若以MF为直径的圆过点（0,2)，则C的方程为()Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x 12（2013 课标全国，理 12)已知点A（1,0），B(1，0)，C（0,1），直线yaxb（a0）将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(）A(0，1）B2

5、11,22 C2 11,23 D1 1,3 2 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22 题第 24 题为选考题,考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13（2013 课标全国，理 13）已知正方形ABCD的边长为 2,E为CD的中点，则AE BD_.14（2013 课标全国，理 14)从n个正整数 1，2，,n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为114，则n_.15（2013 课标全国，理 15)设为第二象限角,若1tan42，则 sin cos _.16（2013 课标全国,理 1

6、6）等差数列an的前n项和为Sn，已知S100,S1525，则nSn的最小值为_ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17(2013 课标全国，理 17)(本小题满分 12 分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；（2)若b2，求ABC面积的最大值 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第3页 18（2013 课标全国,理 18）(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCB22AB。（1）证明：BC1平面A1CD；(2）求二面角DA1CE的正弦值 19(2013

7、课标全国，理 19)（本小题满分 12 分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以X（单位:t，100X150）表示下一个销售季度内的市场需求量,T（单位:元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（1）将T表示为X的函数；(2）根据直方图估计利润T不少于 57 000 元的概率；（3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点

8、值的概率（例如：若需求量X100，110）,则取X105，且X105 的概率等于需求量落入100,110)的频率),求T的数学期望 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第4页 20(2013 课标全国，理 20)（本小题满分 12 分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2222=1xyab(ab0)右焦点的直线30 xy交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.（1)求M的方程;（2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值 21（2013 课标全国,理 21)(本小题满分 12 分）已知函数f(x）exln（xm)(1)设x0 是f（x）

9、的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性;（2）当m2 时，证明f（x)0。2013 全国新课标卷 2 理科数学 第5页 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 22(2013 课标全国，理 22)（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D,E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF,B,E，F，C四点共圆（1）证明：CA是ABC外接圆的直径；（2)若DBBEEA，求过B，E，F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值 23(2013 课标全国，理 23）

10、(本小题满分 10 分）选修 44:坐标系与参数方程 已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinxtyt(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02),M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第6页 24(2013 课标全国，理 24）（本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 设a，b，c均为正数，且abc1，证明:（1)abbcac13;(2)2221abcbca。2013 全国新课标卷 2 理科数学 第7页 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国

11、新课标卷 II）第卷 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 答案：A 解析：解不等式（x1)24，得1x3,即Mx1x3 而N1,0，1,2，3，所以MN0，1,2，故选 A。2 答案：A 解析：2i2i 1 i=1 i1 i 1 iz 22i2 1i.3 答案：C 解析：设数列an的公比为q，若q1,则由a59，得a19，此时S327，而a210a199，不满足题意，因此q1。q1 时，S331(1)1aqqa1q10a1，311qqq10，整理得q29.a5a1q49，即 81a19，a119.4 答案：D 解析：因为m,

12、lm，l,所以l.同理可得l。又因为m，n为异面直线，所以与相交,且l平行于它们的交线故选 D。5 答案:D 解析：因为(1x）5的二项展开式的通项为5Crrx（0r5，rZ），则含x2的项为225C xax15C x(105a）x2，所以 105a5，a1.6 答案:B 解析：由程序框图知,当k1，S0,T1 时，T1，S1；当k2 时,12T，1=1+2S；当k3 时,12 3T，111+22 3S;当k4 时,12 3 4T ，1111+22 32 3 4S ；当k10 时，12 3 410T ，1111+2!3!10!S,k增加 1 变为 11，满足kN，输出S，所以 B 正确 7 2

13、013 全国新课标卷 2 理科数学 第8页 答案：A 解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图像为下图:则它在平面zOx上的投影即正视图为,故选 A.8 答案:D 解析：根据公式变形，lg6lg21lg3lg3a ,lg10lg21lg5lg5b ，lg14lg21lg7lg7c ，因为 lg 7lg 5lg 3,所以lg2lg2lg2lg7lg5lg3，即cba。故选 D.9 答案：B 解析：由题意作出1,3xxy所表示的区域如图阴影部分所示，作直线 2xy1，因为直线2xy1 与直线x1 的交点坐标为（1，1），结合题意知直线ya(x3)过点(1，1），代入得12a，所以12a

14、。10 答案:C 解析：x0是f（x）的极小值点,则yf（x)的图像大致如下图所示，则在（，x0）上不单调，故 C 不正确 11 答案：C 解析：设点M的坐标为（x0，y0），由抛物线的定义,得|MFx02p5，则x052p.又点F的坐标为,02p,所以以MF为直径的圆的方程为（xx0)2px（yy0)y0。将x0,y2 代入得px084y00，即202y4y080,所以y04。2013 全国新课标卷 2 理科数学 第9页 由20y2px0，得16252pp，解之得p2，或p8。所以C的方程为y24x或y216x.故选 C。12 答案:B 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 2

15、1 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分 13答案:2 解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示,则点A的坐标为(0，0），点B的坐标为（2，0)，点D的坐标为（0,2)，点E的坐标为(1,2)，则AE(1,2），BD（2，2），所以2AE BD。14答案:8 解析:从 1,2，,n中任取两个不同的数共有2Cn种取法，两数之和为 5 的有（1,4)，（2,3)2 种，所以221C14n，即24111142n nn n ,解得n8。15答案：105 解析：由1tan1

16、tan41tan2，得 tan 13，即 sin 13cos。将其代入 sin2cos21，得210cos19。因为为第二象限角，所以 cos 3 1010，sin 1010,sin cos 105。16答案:49 解析:设数列an的首项为a1，公差为d，则S10110 9102ad10a145d0，S15115 14152ad15a1105d25。联立，得a13，23d，所以Sn2(1)211032333n nnnn。令f（n)nSn,则32110()33f nnn,220()3fnnn.令f（n)0，得n0 或203n。当203n 时，f(n）0，200 3n时，f(n)0，所以当203n

17、 时，f（n)取最小值，而nN，则f（6）48,f（7）49，所以当n7 时，f（n)取最小值49.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第10页 17 解：（1）由已知及正弦定理得 sin Asin Bcos Csin Csin B 又A（BC），故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 由，和C（0,）得 sin Bcos B，又B(0，),所以4B.（2）ABC的面积12sin 24SacBac.由已知及余弦定理得 4a2c22cos4ac.又a2c22ac，故422ac,当且仅当ac时,等号成立 因此ABC

18、面积的最大值为2+1.18 解:(1）连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点 又D是AB中点，连结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD。（2)由ACCB22AB得，ACBC.以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz。设CA2，则D(1,1，0），E（0，2,1)，A1(2,0，2)，CD(1,1，0)，CE(0,2，1），1CA(2,0，2）设n（x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量,则10,0,CDCAnn即11110,220.xyxz 可取n（1，1，1）同理，设m是平面A1CE的法向量，则10,0

19、,CECAmm可取m(2,1，2)从而 cosn，m3|3n mn m，故 sinn，m63。即二面角DA1CE的正弦值为63。19 解:(1）当X100，130）时，T500X300(130X）800X39 000，当X130，150时,T50013065 000.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第11页 所以80039000,100130,65000,130150.XXTX（2)由（1)知利润T不少于 57 000 元当且仅当 120X150.由直方图知需求量X120，150的频率为 0。7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000 元的概率的估计值为 0。7。（3)依题意可得

20、T的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0。1 0.2 0.3 0。4 所以ET45 0000。153 0000.261 0000。365 0000。459 400。20 解：（1)设A（x1，y1），B（x2，y2），P(x0，y0）,则221122=1xyab，222222=1xyab,2121=1yyxx，由此可得2212122121=1bxxyyayyxx.因为x1x22x0，y1y22y0,0012yx，所以a22b2。又由题意知，M的右焦点为（3，0），故a2b23.因此a26，b23。所以M的方程为22=163xy.(2)由2230,1,63

21、xyxy 解得4 3,33,3xy 或0,3.xy 因此|AB|4 63。由题意可设直线CD的方程为 y5 333xnn,设C（x3，y3），D（x4，y4）由22,163yxnxy得 3x24nx2n260。于是x3,4222 93nn.因为直线CD的斜率为 1，2013 全国新课标卷 2 理科数学 第12页 所以|CD24342|93xxn。由已知,四边形ACBD的面积218 6|929SCDABn.当n0 时，S取得最大值，最大值为8 63.所以四边形ACBD面积的最大值为8 63。21 解：(1）f（x）1exxm.由x0 是f（x)的极值点得f（0)0，所以m1。于是f（x)exln

22、（x1），定义域为(1,），f（x)1e1xx。函数f（x)1e1xx在(1，)单调递增,且f(0)0.因此当x（1,0）时，f（x)0；当x(0，)时，f(x）0。所以f(x）在（1,0）单调递减，在(0,）单调递增(2）当m2，x（m，)时，ln(xm)ln（x2），故只需证明当m2 时，f（x）0.当m2 时，函数f(x）1e2xx在(2，）单调递增 又f（1）0，f(0)0，故f(x）0 在（2,)有唯一实根x0,且x0（1，0)当x(2，x0)时，f(x）0；当x（x0，)时，f（x）0,从而当xx0时，f(x)取得最小值 由f(x0）0 得0ex012x，ln（x02）x0，故f（

23、x）f（x0)012x x020012xx 0。综上,当m2 时,f（x)0.请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 22 解：（1）因为CD为ABC外接圆的切线,所以DCBA，由题设知BCDCFAEA，故CDBAEF，所以DBCEFA。因为B，E,F,C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圆的直径（2)连结CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.2013 全国新课标卷 2 理科数

24、学 第13页 而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为12。23 解：（1）依题意有P（2cos,2sin），Q（2cos 2，2sin 2）,因此M（cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为coscos2,sinsin2xy（为参数，02)（2)M点到坐标原点的距离 2222cosdxy(02)当 时，d0，故M的轨迹过坐标原点 24 解：（1)由a2b22ab，b2c22bc,c2a22ca,得a2b2c2abbcca.由题设得（abc）21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即abbcca13.（2）因为22abab，22bcbc，22caca，故222()abcabcbca2（abc），即222abcbcaabc.所以222abcbca1.