2010年全国硕士分析研究生入学统一考试.数学三试题'及其答案解析.doc

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1、2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的， 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)若，则等于 011lim()1xxa exxa（） （） （） （）(2) 设,是一阶线性非齐次微分方程的两个特解. 若常数, 使是该1y2y yp x yq x12yy方程的解,是对应的齐次方程的解, 则12yy（A） (B) (C)

2、 (D) 11,2211,22 21,3322,33（3）设函数具有二阶导数，且。若是的极值，则在取极大( ), ( )f x g x( )0gx0()g xa( )g x f g x0x值的一个充分条件是(A) (B) (C) (D) 0fa 0fa 0fa 0fa（4）设，则当充分大时有 1010ln,x f xxg xxh xex(A) . (B) . g xh xf x h xg xf x(C). (D). f xg xh x g xf xh x(5) 设向量组可由向量组线性表示, 则列命题正确的是 12:, , rI12II: , , s(A) 若向量组 线性无关, 则 (B) 若向

3、量组 线性相关, 则 IrsIrs (C) 若向量组线性无关, 则 (D) 若向量组线性相关, 则IIrsIIrs(6)设为 4 阶对称矩阵,且若的秩为 3,则相似于A20AAAA(A)(B) 1 1 1 0 1 1 1 0 (C) (D) 1 1 1 0 1 1 1 0 (7) 设随机变量的分布函数，则X0,0 1( ),012 1,1xxF xxex 1P X (A) 0 (B) 1 (C)(D) 11 2e11 e(8) 设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度,1( )f x2( )fx 1,3为概率密度,则, a b应满足12( ),0( )(0,0)( ),0af x xf

4、 xabbfx x(A) (B) (C) (D) 234ab324ab1ab2ab 二、填空题二、填空题(9-14(9-14 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分, ,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.).)（9）设可导函数由方程确定，则 yy x2200sinx yxtedtxt dt0_xdy dx（10）设位于曲线下方, 轴上方的无界区域为, 则绕轴旋转一周所得 21() (1 ln)yex xx xGGx空间区域的体积为。_（11）设某商品的收益函数为，收益弹性为, 其中为价格, 且, 则 R p31pp 11R _R p （12）

5、若曲线有拐点, 则。321yxa xbx1, 0 _ b (13) 设为 3 阶矩阵, 且则,A B, , |,ABAB1322| _ .AB1（14）设是来自总体的简单随机样本。记统计量，则12,nXXX2( ,)(0)N 211ni iTXn。( )_E T 三、解答题三、解答题(1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤骤.) （15）(本题满分 10 分)求极限11 lnlim(1)xxxx （16）(本题满分 10 分)计算二重积分,其中由曲线与直线及

6、围成.3()Dxy dxdyD21xy20xy20xy（17）(本题满分 10 分)求函数在约束条件下的最大值和最小值 . 2uxyyz22210xyz(18) (本题满分 10 分)(1)比较与的大小,说明理由。10ln ln(1)nttdt10ln(1,2,)ntt dt n (2)记求极限。10ln ln(1),(1,2,)n nuttdt nlimnnu （19）(本题满分 10 分)设函数在闭区间上连续, 在开区间内存在二阶导数, 且 f x0, 30, 3202 (0)( )(2)(3)ff x dxff(I) 证明存在, 使得； 0, 2 ( )0ff(II) 证明存在, 使得。

7、 0, 3( )0f(20) (本题满分 11 分)设，已知线性方程组存在两个不同的解.11 010 11A 1 1a b AXb(1) 求；,a(2) 求方程组的通解.AXb(21) (本题满分 11 分)设,正交矩阵使得为对角矩阵.若的第一列为,求.014 13 40Aa a QTQ AQQ1(1,2,1)6T, a Q(22)(本题满分 11 分)设二维随机变量的概率密度为，求常数以(, )X Y2222( , )xxy yf x yAex y A及条件概率密度。|Y Xfy x(23) (本题满分 11 分)箱中装有6个球, 其中红、白、黑球个数分别为1, 2, 3个, 现从箱中随机地

8、取出2个球, 记为取出红球的个X数, 为取出白球的个数 . Y(I) 求随机变量的概率分布； ,X Y(II) 求. ,Cov X Y2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的， 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)【分析分析】通分直接计算等式左边的极限，进而解出a.【详解详解】由于 0001111lim()lim

9、lim()xxx xxxxxeaxeea eaexxxx001limlim1x xxxeaeax从而由题设可得，即，故应选（C）11a 2a (2) 【分析分析】此题主要考查线性微分方程解的性质和结构【详解详解】因为,是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，所以1y2y yp x yq x-（1） 1122yp x yyp x yq x由于是该方程的解,则12yy即 1212()()yyp xyyq x 1122()()yp x yyp x yq x将（1）代入上式可得：（2）1由于 是对应的齐次方程的解12yy则，即 1212()()0yyp xyy 1122()()0yp x yyp x y将

10、（1）代入上式可得：（3）0由（2） 、 （3）可得。故应选（A）1 2评注：设是一阶线性非齐次微分方程的解，则对于常数，有下列12,sy yy yp x yq x12,sk kk结论： 若，则是方程的解；121skkk1122ssk yk yk y yp x yq x 若，则是方程的解。120skkk1122ssk yk yk y 0yp x y（3）【分析分析】本题主要考查导数的应用.求的一、二阶导数，利用取得极值的必要条件及充分条件。 f g x【详解详解】令，则 ( )F xf g x, ( ) F xf g xfg xgx 由 2( ) Fxf g xfg xgxfg xgxfg x

11、gx 是的极值知。于是有 0g xa( )g x 00 gx， 0()0F x00()( )()Fxfa gx由于, 要使, 只要. ( )0gx 00()0Fxf g x 0fa因此应选(B) （4）.【分析分析】计算两两比的极限便可得到答案【详解详解】因为 1098( )lnlnlnlimlim10 lim10 9 lim( )xxxxf xxxx g xxxx,ln10!lim xx x110!lim0 xx,1010( )1limlimlim0( )1 10xxxxxg xx h xee由此可知当充分大时,，故应选（C）。x( )( )( )f xg xh x(5) 【分析分析】本题考

12、查向量组的线性相关性。【详解详解】因向量组 能由向量组线性表示，所以，即IIIIIIrr（）（）1212(,(,),rsrrs ）若向量组 线性无关，则，所以. 故应选(A). I12(,)rrr rs评注：“若线性无关且可由线性表示，则”这是线性代数中12, , r12, , r12, , srs的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案.(6) 【分析分析】考查矩阵特征值、特征值的性质及实对称矩阵的性质。【详解详解】由于，所以，由于的秩为 3，所以不可逆，从而20AA()0A AEAAE，所以是矩阵的特征值。0,0AAE120,1 A假设是矩阵的特征值，则，则只能是或。A2001由于

13、是实对称矩阵，且的秩为 3，所以其全部特征值为，因此应选（D）AA1, 1, 1,0 (7) 【分析分析】考查如何利用分布函数计算随机变量取值的概率。 【详解详解】由分布函数的性质可知：111111(1)lim( )2xP XP XP XFF xe 故应选（C）(8) 【分析分析】考查概率密度的性质，( )0f x ( )1f x dx【详解详解】由已知可得：，21 2 11( )2xf xe21, 13( )4 0,xfx 其他由概率密度的性质可知：( )1f x dx所以031210011131( )( )( )2424af x dxbfx dxaf x dxbdxab因此应选（） 二、填

14、空题二、填空题(9-14(9-14 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分, ,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.).)（9） 【分析分析】先由方程求出时，再两边对求导或两边微分。0x 0y x【详解详解】法一：由，令得2200sinx yxtedtxt dt0x 0y 等式两端对求导得 x2()220(1)(sin)sinxx ydyet dtxxdx将，代入上式得：0x 0y 01xdy dx 法二：由，令得2200sinx yxtedtxt dt0x 0y 等式两端对微分得 x2()220()(sin)sinxx yedxdyt dt

15、dxxx dx将，代入上式得：，从而0x 0y 0()0xdxdy01xdy dx （10） 【分析分析】利用旋转体的体积公式即得。计算时须注意这是一个反常积分。【详解详解】2 2 21( )limtan(ln )(1 ln)44eexVyx dxdxarcxxx（11） 【分析分析】此题考查弹性的定义及可分离变量微分方程的解法，利用弹性的定义列方程，然后解此微分方 程【详解详解】由弹性的定义知，收益弹性为，由题设可得p dR R dp，且31p dRpR dp 11R分离变量可得，两端积分得 21()dRpdpRp31lnlnln3RppC从而方程通解为：33p RCpe由可得。从而方程的特

16、解为 11R1 3Ce31 3p Rpe 由此可得收益函数为 。31 3( )p R ppe （12） 【分析分析】利用是曲线拐点的条件列方程解出.1, 0b【详解详解】在整个实数区间上可导, 且321yxa xbx， 232 yxa xb 62yxa 因是曲线的拐点，有即. 又点 在曲线上, 于是1, 0620a 3a 1, 0，得.320 ( 1) 3 ( 1)( 1) 1b 3b (13) 【分析分析】本题考查矩阵的运算、行列式的性质. 【详解详解】由于 |()()|ABABE BABAABA BAB111111。因此应填 3。1| | 3 2 23AABB 11评注： 也可以由|得|

17、| |AABEABABB11|.AB13（14） 【分析分析】本题考查重要统计量的数字特征，是一道非常基本的题.【详解详解】根据简单随机变量样本的性质，相互独立且与总体同分布，即 12,nXXX，于是， 2( ,)iXN :2(),()iiE XD X2222()()( ()iiiE XD XE X因此。22221111( )()()nnii iiE TEXE Xnn三、解答题三、解答题(1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤骤.) （15） 【分析分析】化

18、为指数形式，用洛必达法则及等价无穷小替换求极限。【详解详解】1ln 11ln(1)ln(1)limlnlnlnlim(1)limx xxxxe xxxxxxxeelnln ln2ln21()1 ln11 lnlimlimlim1ln 1x x x xx x xxxx xexxexxexxxxexeee1 lnlim1lnxx xee （16） 【分析分析】被积函数展开，利用二重积分的对称性。【详解详解】显然 D 关于轴对称 , 且其中x12DDD，2 1( , ) 01,21Dx yyyxy 2 2( , )10,21Dx yyyxy 33223()(33)DDxy dxdyxx yxyy d

19、xdy2332(3)(3)DDx yy dxdyxxydxdy由于被积函数是关于的奇函数，是关于的偶函数，所以233x yyy323xxyy21113323202()2(3)2(3)yy DDxy dxdyxxydxdydyxxydx211422 20132()42y yxx ydy22412220(1)( 2 )32 (12)42yyyyydy1242201 (123)3(1)2yyyydy123118614(1)3()23535151515评注：二重积分的对称性的考查一直是研究生考试的重要测试内容.（17） 【分析分析】本题为条件极值问题, 用拉格朗日乘数法。【详解详解】令，222, ,

20、, 2 10F x y zxyyzxyz解方程组 -（1）22220220220100xyzFyxFxzyFyzFxyz 当时，从方程组（1）可得此时解得0y 2222225100zxyxxyz 和 ；152xyz 152xyz 当时，从方程组（1）可得此时解得0y 22202100yxzxyz 和 ；2 2 02x yz 2 202xyz 综上，可得的如下六个驻点( , , , )F x y z、 、 、 、1(1,5,2)P2(1, 5,2)P3( 1,5, 2)P 4( 1, 5, 2)P 、 5(2 2,0,2)P6( 2 2,0,2)P 代入可得：2uxyyz、 、 、 1()5 5

21、u P 2()5 5u P3()5 5u P 4()5 5u P 、 5()0u P 6()0u P 从而所求最大值为, 最小值为。5 55 5(18) 【分析分析】考查定积分性质、分部积分法和夹逼定理。对(I)比较被积函数的大小；对(II)用分部积分法计算积分再用夹逼定理求极限。10lnntt dt【详解详解】(1)，由于时，所以，从而0t 0ln(1) tt0ln(1)nntt0ln ln(1)lnnntttt从而由积分的保号性定理可得1100ln ln(1)lnnnttdttt dt(1,2,)n (2) 由(1)可知：，而100lnn nutt dt11110001lnlnln1nnn

22、tt dtttdttdtn 111 02011(ln )1(1)nnttt dtnn又因为，从而由夹逼定理可得：。21lim0(1)nnlim0nnu 评注：若一题有多问，应特别注意利用前面提供的信息.（19） 【分析分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理【详解详解】(I) 令，因在闭区间上连续, 所以在闭区间上连续， 0( )( )xF xf t dt f x0, 2( )F x0, 2在开区间内可导，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点, 使得 (0,2) 0, 2，即 (2)(0)( ) (20)FFF20( )2 ( ) f x dxf又，所以。命题（I）得证。 202

23、 (0)( )ff x dx ( )0ff() 因， 即 20 23fff(2)3)(0)2fff又函数在闭区间上连续, 从而介于在上的最大值与最小值之 f x0, 3(2)3)(0)2fff f x2, 3间, 由介值定理知，至少存在一点, 使得 2, 3 ( ) 0ff因此在区间,上都满足罗尔中值定理条件，于是至少存在点 f x0, , , ,使得 。10, （）2, （）12( )()0ff由在闭区间上连续, 在开区间内存在二阶导数, 知在上连续, 在 f x0, 30, 3( )fx12, 可导，用罗尔中值定理, 至少存在一点, 使得.12, 12, 0, 3( )0f评注：一般地有如

24、下结论：设在内连续，则存在，使得( )f x( , )a b12naxxxb1 ,nx x12()()()( )nf xf xf xfn(20)【分析分析】本题考查方程组解的判定与通解的求法. 由非齐次线性方程组存在 2 个不同解知对应齐次线性方 程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解.【详解详解】(1) 由于线性方程组存在两个不同的解，所以该方程组有无穷多解，从而AXb。( )( )3r Ar A又211111111 010101010101 11111011a A aa 2111 0101 0011a 从而，解得：。2101010a 1,2a (2)当时1,2a 3101211111

25、0201010200000000A所以方程组的同解方程组为，从而原方程通解为：1323 2 1 2xxx 为任意常数） 。31(1,0,1)( ,0) ,(22TTXkk(21) 【分析分析】本题考查实对称矩阵正交化问题.由的列向量都是特征向量可得的值以及对应的特征值,然后Qa由可求出另外两个特征向量,于是最终求出.AQ【详解详解】由题设,于是111(1,2,1)(1,2,1)66TTA,即从而1014 13(1,2,1)(1,2,1) 40TTa a 1(2,5,42 )(1,2,1)TTaa11,2a 由于的特征多项式A132()14555111 131131(5) 131 414141r

26、rr EA (2)(5)(4)所以的特征值为A2,5, 4由于方程组的基础解系为，所以属于特征值的一个单位特征向量为(5)0EA X(1, 1,1)T5；1(1, 1,1)3T又方程组的基础解系为，所以属于特征值的一个单位特征向量为( 4)0EA X(1,0, 1)T4.11(,0,)22T令,则有,故为所求矩阵.111 632 21063 111 632Q 200 050 004TQ AQ Q评注:因为正交矩阵使得为对角矩阵,则的列向量都是特征向量.本题正是以此为切入点解出.QTQ AQQAa(22)【分析分析】本题考查二维联合密度的性质与条件密度的计算，而求条件密度的本质还是求边缘密度。

27、【详解详解】由概率密度的性质得22222222()1xxy yxy xxtdxAedyAedxedyAedxedtAA所以，即。1A22221( , )xxy yf x ye因为的边缘概率密度为 X222222()11( )( , )xxy yxy x Xfxf x y dyedyeedy22211xtxeedte因此条件概率密度，222 |( , )1|( )xxy y Y X Xf x yfy xefxx y 评注：本题要充分的利用积分简化计算。2tedt(23) 【分析分析】本题是计算二维离散型随机变量的联合分布律与数字特征,第一问实际上为古典概率问题. 【详解详解】(I) 易知的所有可

28、能取值为0,1，的所有可能取值为0，1,2各值，由于X Y表示取到 个红球，个白球. 由古典概型得,Xi Yjij2 3 2 630,015CP XYPC取到两个黑球11 23 2 660,115C CP XYPC取到一个白球与一个黑球2 2 2 610,215CP XYPC取到两个白球11 13 2 631,015C CP XYPC取到一个红球与一个黑球11 21 2 621,115C CP XYPC取到一个白球与一个红球 1,20P XYP 于是故二维随机变量的概率分布为(表中最后一列与最后一行分别是关于和关于的边缘概率分布),X YXYYX012P Xi03/156/151/1510/1513/152/1505/15P Yj6/158/151/15(II) 由()知：， ，1()3E X 2( )3E Y 2()15E XY 于是。21 24(, ) ()() ( )153 345Cov X YE XYE X E Y