《试卷》【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学（理）试题（解析版）.doc

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1、 学子之家圆梦高考 客服QQ：2496342225河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,选D.2. ，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ,则 ,选A.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3

2、. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于 （ ）A. B. 41 C. D. 【答案】A【解析】因为，所以 ，选A.4. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为 ，即 ，选D.5. 在中，“ ”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，所以必要性成立； 时，所以充分性不成立，选B.6. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是 （ ）A. B. C.

3、 D. 【答案】A学|科|网.【解析】由题意得 ，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为 ）：，而 ，所以直线过C取最大值 ，过B点取最小值， 的取值范围是，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，几何体为

4、锥体，高为正三角形的高 ，因此底面积为 ，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为 ，选C.8. 20世纪30年代，德国数学家洛萨-科拉茨提出猜想：任给一个正整数 ，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得 ；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.9. 的展开式中各项系数的和为16，则展开式中 项的系数为（ ）A. B. C. 57 D. 33

5、【答案】A【解析】由题意得 ,所以展开式中 项的系数为 ,选A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10. 数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为（ ）A. 1475 B. 1425 C. 1325 D. 1275【答案】B【解析】因为，所以，即，所以,叠加得,，,即从第三项起成等差数列，设公差为 ，因为，所以解得，即 ，所以 ，满足， ，选B.11. 已知向量 满足，若，的最大值和最

6、小值分别为，则等于（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】因为所以 ；因为，所以学|科|网.的最大值与最小值之和为，选C.12. 已知偶函数满足，且当时，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为偶函数满足，所以 ，因为关于的不等式在上有且只有200个整数解，所以关于的不等式在上有且只有2个整数解，因为 ，所以 在 上单调递增，且，在 上单调递减，且，因此，只需在上有且只有2个整数解，因为 ，所以 ，选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从

7、图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则_【答案】39.4【解析】 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非

8、随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14. 将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是_【答案】【解析】 向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以 学|科|网.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15. 已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60，则四面体的体积为_【答案】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE

9、，取 ,则 16. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为_【答案】【解析】因为，所以 因此，所以 因为 ，所以 ，因此 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，已知关于边的对称图形为，延长边交于点，且，.（1）求边的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出再由余弦定理求出，最后根据角平分线性质定理得边的长；（2）先由余弦定理求出，再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求的值.试题解析：解：（1）因为，所以，所以因为，所以，所以，又，所以（2）由（1）知，所以，所以，因为，所以，

10、所以学|科|网.18. 如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，.（1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有，最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：解：（1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为，所以，因为，所以，连接，易知三

11、点共线，所以，所以，解得，又因为，圆的直径为10，圆心在内，所以易知，所以因为平面，所以，因为，所以平面又因为平面，所以平面平面（2）如图，以为原点，、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系则所以，设平面的法向理为，所以，令，则可取平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为19. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记

12、此时两个小伙伴划拳的次数为（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（2）求的分布列和数学期望【答案】（1）（2）学|科|网.【解析】试题分析：（1）根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为再分两种情况分别计数：一种是小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率，（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件

13、上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第 次划拳小华平”为；事件“第 次划拳小华输”为，所以因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，所以的分布列为：2345所以的数学期望为：20. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点（1）求椭圆的离心率；（2）若，求【答案】（1）

14、（2）【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求试题解析：解：（1）依题知，解得，所以椭圆的离心率；（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为所以直线的方程为，即，所以，解得或当时，此时直线的方程为，所以的值为点纵坐标的两倍，即；当时，直线的方程为，将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，设点坐标为，所以，解得，所以点睛：有关圆锥曲线

15、弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数，其中为自然对数的底数（参考数据： ）（1）讨论函数的单调性；（2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数,根据参数a讨论：当时，是常数函数，没有单调性当时，先减后增；当时，先增后减；（2）先化简方程，整体设元转化为一元二次方程：其中，再利用导数研究函数的图像，根据图像确定根的取值范围，进而可证

16、不等式.试题解析：解：（1）因为的定义域为实数，所以当时，是常数函数，没有单调性当时，由，得；由，得所以函数在上单调递减，在上单调递增当时，由得，； 由，得，学|科|网.所以函数在上单调递减，在上单调递增（2）因为，所以，即令，则有，即设方程的根为，则，所以是方程的根由（1）知在单调递增，在上单调递减且当时，当时，如图，依据题意，不妨取，所以，因为，易知，要证，即证所以，又函数在上单调递增，所以，所以选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极

17、轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；（2）求证：为定值【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，当时，直线的斜率为，所以其方程为，即一般方程为因为的极坐标方程为，所以，因为，所以所以曲线的标准方程为（2）设直线的参数方程为（为参数），学|科|网.代入曲线的标准方程为，可得，即，则，所以，同理，所以23. 选修4-5：不等式选讲已知实数满足（1）求的取值范围；（2）若，求证：【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，即得的取值范围；（2）因为，而，即证.试题解析：解：（1）因为，所以当时，解得，即；当时，解得 ，即，所以，则，而，所以，即；（2）由（1）知，因为当且仅当时取等号，所以 售后更新QQ：2496342225 欢迎举报倒卖者，核实有奖！