概率与数理统计 课件 第6章 数理统计.ppt

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1、 第六章 数理统计 第一节 引言本章转入课程的第二部分本章转入课程的第二部分数理统计数理统计数理统计的特点是应用面广，分支数理统计的特点是应用面广，分支较多较多.社会的发展不断向统计提出新的社会的发展不断向统计提出新的问题问题.计算机的诞生与发展，为数据处理计算机的诞生与发展，为数据处理提供了强有力的技术支持，数理统计与提供了强有力的技术支持，数理统计与计算机的结合是必然的发展趋势计算机的结合是必然的发展趋势.学习统计无须把过多时间化在计算上，学习统计无须把过多时间化在计算上，可以更有效地把时间用在基本概念、方法可以更有效地把时间用在基本概念、方法原理的正确理解上原理的正确理解上.国内外著名的

2、统计软国内外著名的统计软件包：件包：SAS，SPSS，MATLAB,STAT等，等，都可以让你快速、简便地进行数据处理和都可以让你快速、简便地进行数据处理和分析分析.从历史的典籍中，人们不难发现许从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工记载，说明人们很早就开始了统计的工作作.但是当时的统计，只是对有关事实但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断的推断.到了十九世纪末二十世纪

3、初，随到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科诞生了数理统计学这门学科.数理统计学是一门应用性很强的学数理统计学是一门应用性很强的学科科.它是研究怎样以它是研究怎样以有效的方式有效的方式收集、收集、整理和分析整理和分析带有随机性的数据带有随机性的数据，以便对，以便对所考察的问题作出推断和预测，直至为所考察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议采取一定的决策和行动提供依据和建议.数理统计不同于一般的资料统计，它数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行更侧重于应用随机现象

4、本身的规律性进行资料的收集、整理和分析资料的收集、整理和分析.由于大量随机现象必然呈现出它的规由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来规律性一定能清楚地呈现出来.只允许我们对随机现象进行次数不多的观只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说察试验，也就是说,我们获得的只是局部我们获得的只是局部观察资料观察资料.但客观上但客观上数理统计的任务就是研究怎样有效数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的地收集、整理、

5、分析所获得的有限有限的资的资料，对所研究的问题料，对所研究的问题,尽可能地作出精尽可能地作出精确而可靠的结论确而可靠的结论.现实世界中存在着形形色色的数据现实世界中存在着形形色色的数据,分分析这些数据需要多种多样的方法析这些数据需要多种多样的方法.因此因此,数理统计中的方法和支持这些方数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的法的相应理论是相当丰富的.概括起来可以概括起来可以归纳成两大类归纳成两大类:参数估计参数估计根据数据根据数据,用一些方法用一些方法对分布的未知参数进行估计对分布的未知参数进行估计.假设检验假设检验根据数据根据数据,用一些方法对用一些方法对分布的未知参数进行检验分

6、布的未知参数进行检验.它们构成了统计推断的两种基本形式它们构成了统计推断的两种基本形式.这两种推断渗透到了数理统计的每个分支这两种推断渗透到了数理统计的每个分支.第六章第二节 总体与样本 在统计学中在统计学中,将我们研究的问题所涉及的将我们研究的问题所涉及的对象的全体称为总体对象的全体称为总体,而把总体中的每个成员而把总体中的每个成员称为个体称为个体.例如例如:我们想要研究一家工厂的某种产品我们想要研究一家工厂的某种产品的废品率的废品率.这种产品的全体就是我们的总体这种产品的全体就是我们的总体,而而每件产品则是个体每件产品则是个体.一、一、总体总体 实际上实际上,我们真正关心的并不是总我们真正

7、关心的并不是总体或个体的体或个体的本身本身,而是其某项而是其某项数量指标数量指标.比如某家工厂的一种产品的使用寿命这样比如某家工厂的一种产品的使用寿命这样一项数量指标一项数量指标.因此因此,我们应该把总体理解我们应该把总体理解为那些研究对象上的某项数量指标的全体为那些研究对象上的某项数量指标的全体.为了评价一家工厂的某种产品的质量的好为了评价一家工厂的某种产品的质量的好坏坏,通常的做法是从它的全部产品中随机地抽通常的做法是从它的全部产品中随机地抽取一些样品取一些样品,在统计学上称为在统计学上称为样本.同上道理同上道理,我们实际是把样本理解为样品上我们实际是把样本理解为样品上的数量指标的数量指标

8、.因此因此,今后当我们说到总体和样本时今后当我们说到总体和样本时,既指既指研究对象又指它们的某项数量指标研究对象又指它们的某项数量指标.说明说明 研究某地区研究某地区N N个农户的年收人个农户的年收人.在这里在这里,总体既指这总体既指这N N个农户个农户,又指我们关又指我们关心的数量指标心的数量指标他们的年收入的他们的年收入的N N个数字个数字.如果我们从这如果我们从这N N个农户中随机地抽出个农户中随机地抽出n n个农个农户作为调查对象户作为调查对象,那么那么,这这n n个农户以及我们关个农户以及我们关心的数量指标心的数量指标他们的年收入这他们的年收入这n n个数字就个数字就是样本是样本.在

9、上面的例子中在上面的例子中,总体是很直观的总体是很直观的,是是看得见摸得着的看得见摸得着的.但是但是客观情况并不总是这样客观情况并不总是这样.例例1 1注意注意 用一把尺子去量一个物体的长度用一把尺子去量一个物体的长度.假定假定n n次测量值为次测量值为X X1 1,X,X2 2,X Xn n 显然显然,在这个问题中在这个问题中,我们把测量值我们把测量值 X X1 1,X,X2 2,X Xn n看成了样本看成了样本,但是但是,总体是什么呢总体是什么呢?例例2 2 事实上事实上,这里没有一个现实存在的个这里没有一个现实存在的个体的集合可以作为我们的总体体的集合可以作为我们的总体.可是可是,我们我

10、们可以这样考虑可以这样考虑,既然既然n n个测量值个测量值 X X1 1,X,X2 2,X Xn n是样本是样本,那么总体就应该理解为那么总体就应该理解为一切所一切所有可能的测量值的全体有可能的测量值的全体.分析分析:这种类型的总体的例子这种类型的总体的例子不胜枚举不胜枚举.例如例如:为研究某种安眠药的药效为研究某种安眠药的药效,让让n n个个病人同时服用此药病人同时服用此药,记录下他们各自服药后记录下他们各自服药后的睡眠时间比未服药时延长的小时数的睡眠时间比未服药时延长的小时数.X X1 1,X,X2 2,X Xn n这些数字就是样本这些数字就是样本.什么是总体呢什么是总体呢?设想让某个地区

11、或某个国家设想让某个地区或某个国家,甚至全世甚至全世界所有患失眠症的病人都服用此药界所有患失眠症的病人都服用此药,他们所他们所增加的睡眠时间的小时数的全体增加的睡眠时间的小时数的全体,就是该问就是该问题中的总体题中的总体.对一个总体对一个总体,如果我们用如果我们用X X表示它的数量表示它的数量指标指标,那么那么X X的值对不同的个体取不同的值的值对不同的个体取不同的值.因因此此,如果我们随机地抽取个体如果我们随机地抽取个体,则则X X的值也就随的值也就随着抽取的个体的不同而不同着抽取的个体的不同而不同.所以所以X X是一个随机变量是一个随机变量!既然总体是随机变量既然总体是随机变量X,X,自然

12、就有其概率自然就有其概率分布分布.我们把我们把X X的分布称为的分布称为总体的分布.总体的特性是由总体分布来刻画的总体的特性是由总体分布来刻画的.因此因此,我们常我们常把总体和总体分布视为同义把总体和总体分布视为同义语语.二、二、总体的分布总体的分布 例例l l中，若农户年收入以万元计中，若农户年收入以万元计,假定假定N N户中收入户中收入X X为以下几种取值为以下几种取值:0.5,0.8,l,1.2 0.5,0.8,l,1.2和和1.5.1.5.取这些值的农户个数分别为：取这些值的农户个数分别为：n n1 1,n,n2 2,n n3 3,n,n4 4,n,n5 5,(,(这里这里n n1 1

13、+n+n2 2+n+n3 3+n+n4 4+n+n5 5=N).=N).则总体则总体X X的分布为离散型分布的分布为离散型分布,其分布律其分布律为为:例例3 3(例例l l续续)例例2 2中中,假定物体的真正长度为假定物体的真正长度为 (未知未知).).一般说来测量值一般说来测量值X,X,也就是我们的总体也就是我们的总体,取取 附附近值的概率要大一些近值的概率要大一些,而离而离 愈远的值被取到愈远的值被取到的概率就小一些的概率就小一些.如果测量过程没有如果测量过程没有系统性误差系统性误差,那么那么X X取取大于大于 和小于和小于 的概率也会相等的概率也会相等.在这样的情况下在这样的情况下,人们

14、往往认为人们往往认为X X服从均服从均值为值为 的正态分布的正态分布.假定其方差为假定其方差为 2 2,则则 2 2反映了测量的精度反映了测量的精度.于是于是,总体总体X X的分布为的分布为N(N(,2 2).).记为记为X X N(N(,2 2).例例4 4(例例2 2续续)这里有一个问题这里有一个问题,即物体长度的测量值即物体长度的测量值总是在它的真正长度总是在它的真正长度 的附近的附近,它根本不可能取它根本不可能取到负值到负值.而正态变量取值在而正态变量取值在(-(-,+,+)上上,那么怎么那么怎么可以认为测量值可以认为测量值X X服从正态分布呢服从正态分布呢?理由是：理由是：在前面讲过

15、在前面讲过,对于对于X X N(N(,2 2).PP-3-3 XX2t分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对称对称 T Tt tn n,对于对于 (0,1)(0,1)给定给定,称满足条件称满足条件:t t分布的分位点分布的分位点的点t tn n()为为t t分布的上分布的上 分位点分位点.t t分布的上分布的上 分位点分位点图形如图形如右图右图.t t分布的上分布的上 分位分位点点可以查附表可以查附表3(P242).3(P242).三、三、F分布分布定义定义:设设X与与Y相互独相互独立，则称统计量立，则称统计量服从自由度为服从自由度为n1及及n2的的F分布，分布，n1称为第称为第一自由度

16、，一自由度，n2称为第二自由度，记作称为第二自由度，记作F.由由定义可见，定义可见，若若X，X的概率密度为的概率密度为请看演示请看演示F分布分布注：设注：设X,则则 FF Fm,nm,n,对于对于 (0,1)(0,1)给定给定,称满足条件称满足条件:F F分布的分位点分布的分位点 的点的点F Fm,nm,n()为为F F分布的上分布的上 分位点分位点.如右图如右图.F F分布的上分布的上 分位点分位点可以查附表可以查附表(P247).(P247).F Fm,nm,n(1-(1-)=)=四基本定理四基本定理设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本，则有的样本，则有（1）等价地等价地

17、 假设某物体的实际重量为假设某物体的实际重量为,但它是但它是未知的未知的.现在用一架天平去称它现在用一架天平去称它,共称了共称了n n次次,得得到到X X1 1,X,X2 2,X Xn n.假设每次称量过程彼此独立且没有系统假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差误差,则可以认为这些测量值都服从正态分布则可以认为这些测量值都服从正态分布 N(N(,2 2),方差方差 2 2反映了天平及测量过程的总反映了天平及测量过程的总精度精度.通常我们用样本均值通常我们用样本均值根据基本定理根据基本定理,例例1 1 例如例如=0.1=0.1时时,若取若取n=10.n=10.则则:下面讨论估计值下面讨论估计值,

18、即样本均值与真值即样本均值与真值 的偏差的偏差.于是根据第二章讲过于是根据第二章讲过:随着称量次数随着称量次数n n的增加的增加,这个偏差界限这个偏差界限还是还是=0.1=0.1时时,若取若取n=100.n=100.则则:越来越小越来越小.在设计导弹发射装置时在设计导弹发射装置时,重要事情之一是重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布中心的距离服从正态分布N(N(,2 2),这里这里 2 2=100100米米2 2.现在进行了现在进行了2525次发射试验次发射

19、试验,用用S S2 2记这记这2525次次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差差.求求:S:S2 2超过超过5050米米2 2的概率的概率.例例2 2 根据基本定理根据基本定理查查P244P244附表附表4,4,得到得到:解解:本章小结一、一、总体，样本，样本的分布总体，样本，样本的分布二、二、统计量及其分布统计量及其分布1.几个常见统计量几个常见统计量2.统计三大分布统计三大分布样样本本均均值值,样样本本方方差差,样样本本k阶阶原原点点矩矩,样样本本k阶中心矩阶中心矩分布分布,t 分布分布,F分布分布3.样本均值样本方差相关分布样本均值样本方差相关分布设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,则则