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1、2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计第五章第五章第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理bb大数大数大数大数定律定律定律定律bb中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概

2、率论与数理统计 大数定律是反映随机变量大数定律是反映随机变量大数定律是反映随机变量大数定律是反映随机变量算术平均值算术平均值算术平均值算术平均值与与与与频率稳定频率稳定频率稳定频率稳定性性性性的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概率的理论基础。率的理论基础。率的理论基础。率的理论基础。中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似服从正态

3、分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概率论中的重要地位。率论中的重要地位。率论中的重要地位。率论中的重要地位。概概 述述 2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 契比雪夫定理契比雪夫定理契比雪夫定理契比雪夫定理 设随机变量设随机变量X1，X2，Xn，相互独立，且有相同的期望相互独立，且有相同的

4、期望与方差与方差2，则对则对任意正数任意正数有有 【证证】由由期望期望与与方差方差性质可得性质可得11、大数定律、大数定律2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式得：得：取极限并由夹挤定理得：取极限并由夹挤定理得：2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理

5、统计概率论与数理统计 定义定义定义定义1 1 1 1 设有随机变量无穷序列设有随机变量无穷序列 和常数和常数 ，如果对任意正数如果对任意正数，有有则称序列则称序列 依概率收敛依概率收敛常数常数 ，记为，记为契比雪夫定理（1）定理表明：在一定条件下，定理表明：在一定条件下，n n个个随机变量的算术随机变量的算术随机变量的算术随机变量的算术平均依概率收敛于常数平均依概率收敛于常数平均依概率收敛于常数平均依概率收敛于常数，即当，即当n n充分大时它几乎为常充分大时它几乎为常数。数。2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程

6、合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 贝努里定理贝努里定理贝努里定理贝努里定理 设设nA是事件是事件A在在n次独立重复试验中次独立重复试验中发生的频数，发生的频数，p是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则在每次试验中发生的概率，则对任意正数对任意正数有有 【证证】引入随机变量引入随机变量则则 相互独立，且均服从同一个（相互独立，且均服从同一个（0-10-1）分布：）分布：贝努里定理（2）2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计

7、概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 由由契比雪夫定理契比雪夫定理契比雪夫定理契比雪夫定理得得 定理表明：事件发生的定理表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的频率依概率收敛于事件的频率依概率收敛于事件的频率依概率收敛于事件的概率概率概率概率。在在契比雪夫定理中，去除契比雪夫定理中，去除契比雪夫定理中，去除契比雪夫定理中，去除“方差存在方差存在方差存在方差存在”的条件，的条件，的条件，的条件，增增增增加加加加“随机变量服从相同分布随机变量服从相同分布随机变量服从相同分布随机变量服从相同分布”可得如下定理。可得如下定理。可得如下定理。可得如下定理。2005 He 2005 He Xia

8、nzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计辛钦定理（3）辛钦定理辛钦定理辛钦定理辛钦定理 设随机变量设随机变量X1，X2，Xn，相互相互独立，服从同一分布且均有期望独立，服从同一分布且均有期望，则对任意正数则对任意正数有有2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计22、中心极限定理、中心极限定理 列维列维列维

9、列维-林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理 设随机变量设随机变量X1，X2，Xn，相互独立、同分布，且均具有期望与方差：相互独立、同分布，且均具有期望与方差：则随机变量则随机变量 的分布函数满足的分布函数满足随机变量随机变量和的标准和的标准化化2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 即即 由列维由列维-林德伯格定理可知林德伯格定理可知 1、独立同分布且存在期望与方差的、独立同分布且存在

10、期望与方差的随机变量和近随机变量和近似服从正态分布似服从正态分布：2、计算独立同分布且存在期望与方差的、计算独立同分布且存在期望与方差的随机变量随机变量和和的概率的近似公式：的概率的近似公式：列维列维-林德伯格定理（林德伯格定理（1）2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计【例例1】【例例例例例例1 1 1 1 1 1】据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值据以往经验，某中电子元件的寿命服从均

11、值据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值为为为为为为100100100小时的指数分布，现随机地取小时的指数分布，现随机地取小时的指数分布，现随机地取小时的指数分布，现随机地取小时的指数分布，现随机地取小时的指数分布，现随机地取161616只，设其寿命是相只，设其寿命是相只，设其寿命是相只，设其寿命是相只，设其寿命是相只，设其寿命是相互独立的，求这互独立的，求这互独立的，求这互独立的，求这互独立的，求这互独立的，求这161616只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于只元

12、件寿命总和大于192019201920小时的概率。小时的概率。小时的概率。小时的概率。小时的概率。小时的概率。解解设第设第k个元件的寿命个元件的寿命 则则 相互独立相互独立、服从同一个指数分布服从同一个指数分布,且且 由独立同分布的列维由独立同分布的列维-林德贝格中心极限定理得林德贝格中心极限定理得“16只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于1920小时小时”的概率为的概率为:2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计续此例此例中用的

13、公式具体为中用的公式具体为2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计【例例2】【例例例例例例2 2 2 2 2 2】计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近它的整数它的整数它的整数它的整数它的整数它的整数.设所有舍入误差是独立的且服从设所有舍入误差

14、是独立的且服从设所有舍入误差是独立的且服从设所有舍入误差是独立的且服从设所有舍入误差是独立的且服从设所有舍入误差是独立的且服从(-0.5(-0.5(-0.5，0.5)0.5)0.5)上的上的上的上的上的上的均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布,问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于小于小于小于小于小于101010的概率不小于的概率不小于的概率不小于的概率不小于的概率不小于的概率不

15、小于0.99?0.99?0.99?解解设最多有设最多有n个数相加个数相加,且第且第k个数取整的误差为个数取整的误差为 则则 相互独立相互独立、服从同一个均匀分布服从同一个均匀分布,且且 由列维由列维-林德贝格中心极限定理得林德贝格中心极限定理得“n个数相加误差总个数相加误差总和绝对值小于和绝对值小于10”的概率为的概率为:2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计即即查表得：查表得：故可取故可取续2005 He 2005 He Xi

16、anzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理（拉普拉斯定理（2）德莫佛德莫佛德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 n n（n=1,2,)n=1,2,)服从二项分布服从二项分布服从二项分布服从二项分布B(n,p)(0p1),B(n,p)(0p1),则对则对则对则对任意任意任意任意 ,有有有有 【证证证证】因为因为因为因为 n n 可分解为可分解为可

17、分解为可分解为n n个相互独立、服从同一个个相互独立、服从同一个个相互独立、服从同一个个相互独立、服从同一个(0-1)(0-1)分布的随机变量分布的随机变量分布的随机变量分布的随机变量X X1 1，X X2 2，X Xn n之和之和之和之和,即即即即 标准化得标准化得 由由列维列维列维列维-林德伯格定理林德伯格定理林德伯格定理林德伯格定理即可得证即可得证.2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 由由德莫佛德莫佛德莫佛德莫佛-拉普

18、拉斯定理拉普拉斯定理拉普拉斯定理拉普拉斯定理可知可知 1、正态分布是二项分布的极限分布、正态分布是二项分布的极限分布;2、有关二项分布概率的近似计算公式：、有关二项分布概率的近似计算公式：特别的，当特别的，当n较大且较大且np5时时计算概率公式2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计【例例3】【例例例例例例3 3 3 3 3 3】某单位设置一部电话总机某单位设置一部电话总机某单位设置一部电话总机某单位设置一部电话总机某单位设置一部

19、电话总机某单位设置一部电话总机,架设架设架设架设架设架设200200200部电话分机部电话分机部电话分机部电话分机部电话分机部电话分机.设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有5%5%5%的概率使用外线的概率使用外线的概率使用外线的概率使用外线的概率使用外线的概率使用外线.问总机需要多少条外线才能以不低于问总机需要多少条外线才能以不低于问

20、总机需要多少条外线才能以不低于问总机需要多少条外线才能以不低于问总机需要多少条外线才能以不低于问总机需要多少条外线才能以不低于90%90%90%的概率保证各分机要使用外线时可供使用的概率保证各分机要使用外线时可供使用的概率保证各分机要使用外线时可供使用的概率保证各分机要使用外线时可供使用的概率保证各分机要使用外线时可供使用的概率保证各分机要使用外线时可供使用.解解解解设设设设200200部电话分机同时使用外线的门数为部电话分机同时使用外线的门数为部电话分机同时使用外线的门数为部电话分机同时使用外线的门数为X X，则则则则XB(200,0.05),.XB(200,0.05),.又设需外线又设需外

21、线又设需外线又设需外线N N条条条条.由德莫佛由德莫佛由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯中拉普拉斯中拉普拉斯中拉普拉斯中心极限定理可得心极限定理可得心极限定理可得心极限定理可得:2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计查表得查表得:故可取故可取故可取故可取N=14.N=14.注注注注:本题也可利用二项分布的泊松近似公式本题也可利用二项分布的泊松近似公式本题也可利用二项分布的泊松近似公式本题也可利用二项分布的泊松近似公式.例3-续2005

22、He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【例例例例例例4 4 4 4 4 4】某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治愈某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治愈某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治愈某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治愈某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治愈某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治愈率为率为率为率为率为率为0.8,0.8,0.8,医院检验员任意抽查医院检验员任意抽查医院检验员任意抽查医院检验员任意抽查医院检验员任意抽

23、查医院检验员任意抽查100100100名服用此药的病人名服用此药的病人名服用此药的病人名服用此药的病人名服用此药的病人名服用此药的病人,如果如果如果如果如果如果其中多于其中多于其中多于其中多于其中多于其中多于757575人被治愈人被治愈人被治愈人被治愈人被治愈人被治愈,则接受此断言则接受此断言则接受此断言则接受此断言则接受此断言则接受此断言,否则拒绝该断言否则拒绝该断言否则拒绝该断言否则拒绝该断言否则拒绝该断言否则拒绝该断言.(1)(1)(1)若实际治愈率为若实际治愈率为若实际治愈率为若实际治愈率为若实际治愈率为若实际治愈率为0.8,0.8,0.8,问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是

24、多少问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少?(2)(2)(2)若实际治愈率为若实际治愈率为若实际治愈率为若实际治愈率为若实际治愈率为若实际治愈率为0.8,0.8,0.8,问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少?解解解解(1).(1).设设设设100100个服用此药被治愈的有个服用此药被治愈的有个服用此药被治愈的有个服用此药被治愈的有X X人人人人,则则则则XXB(100,0.8).B(100,0.8).由拉普拉斯中心极限定理得由拉普

25、拉斯中心极限定理得由拉普拉斯中心极限定理得由拉普拉斯中心极限定理得:【例例4】2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 (2).(2).设设设设100100个服用此药被治愈的有个服用此药被治愈的有个服用此药被治愈的有个服用此药被治愈的有X X人人人人,则则则则XB(100,0.7).XB(100,0.7).由拉普拉斯中心极限定理得由拉普拉斯中心极限定理得由拉普拉斯中心极限定理得由拉普拉斯中心极限定理得:例4-续2005 He 20

26、05 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计特例特例证明证明中心极限定理间关系中心极限定理间关系独立同分布独立同分布二项分布二项分布利利用用正正态态分分布布计计算算大大量量随随机机变变量量和和的的概概率率2005 He 2005 He XianzhiXianzhi合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计本章作业本章作业P.147:P.147:4;5;6;7;8.