《概率论与数理统计》-4.ppt

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1、第4章 大数定律和中心极限定理4.1 大数定律4.2 中心极限定理 4.1 大数定律 4.1.1 切比雪夫（Chebyshev）不等式定理1（切比雪夫不等式）设随机变量 具有有限方差，则对任一正数，有切比雪夫不等式的等价形式是 设想，取，以及记，于是有可见，不管随机变量服从什么分布，落入区间内的概率不小于 例1 已知随机变量的期望，方差，试估计的大小解 因为由切比雪夫不等式，得即 4.1.2 切比雪夫大数定理定理2（切比雪夫大数定理）假定 为两两相互独立的随机变量序列，且方差一致有上界，即存在有限常数,使得 则对任一正数,有 推论（辛钦大数定理）设随机变量相互独立且服从同一分布,则 即:个相互

2、独立同分布的随机变量的算术平均值以极大的可能性接近于它们的数学期望 .4.1.3 伯努利大数定理 定理3（伯努利大数定理）假设事件 在一重伯努利试验中发生的概率为 ,记随机变量 为A在n重伯努利试验中发生的次数 则对于任一正数，有伯努利大数定理确切的数学含义是频率 将以概率1收敛于事件的概率 .4.2 中心极限定理4.2.1 独立同分布中心极限定理定理4（独立同分布中心极限定理）设相互独立同分布，且则对一切实数，有 例1 已知相互独立的随机变量都在区间试求这些随机变量总和的绝对值不超过10的概率上服从均匀分布，解 由均匀分布的题设可知于是，对于它们的总和，有,故 4.2.2 棣莫弗拉普拉斯中心

3、极限定理定理5（棣莫弗拉普拉斯中心极限定理）设 相互独立且 则对任意一个，总有 由此定理可知：当 可近似地用正态分布充分大时，二项分布来代替因此，当,且充分大时，有 例2 每颗炮弹命中飞机的概率都为0.01求：（1）500发炮弹命中5发的概率；（2）500发炮弹至少命中2发的概率 解 （1）500发炮弹命中飞机的炮弹数 下面用三种方法计算并加以比较用二项分布计算 用泊松分布近似计算用正态分布近似计算比较上述结果可见，此时用泊松分布比用正态分布要好（2）要求的是 用二项分布计算用泊松分布近似计算 用正态分布近似计算例3 设一个车间有400台同类型的机器，每台机器工作需要用电为 瓦由于工艺关系，每台机器并不连续开动，开动的时间只占工作时间的才能以99%的概率保证该车间的机器正常工作？(这里，假定各台机器的停、开是相互独立的.)问应该供应多少瓦电力解 令 为考虑的时刻正在开动的机器的台数那么可以看作是400次相互独立的重复试验中事件“开动”出现的次数在每次试验中，“开动”的概率为 .因此，由于 比较大，所以，由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，对于任一实数 ，有 现在，希望 查正态分布表，得满足这个等式的为2.326因此 即 从而，只要供应320 瓦电力便能以99%的概率保证该车间的机器正常工作