高等数学学习方法(FIC)系列讲座11_微分方程基本解法的.pdf

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1、高等数学学习方法高等数学学习方法(FIC)系列讲座系列讲座11 微分方程求解方法的探究微分方程求解方法的探究哈尔滨工程大学理学院应用数学系卜长江哈尔滨工程大学理学院应用数学系卜长江E-mail:微分方程求解方法的探究微分方程求解方法的探究常 微 分 方 程：含 有 导 数 或 微 分 的 方 程：常 微 分 方 程：含 有 导 数 或 微 分 的 方 程：()(1)(,)0nnF yyy x=?什么是通解？：什么是通解？：n阶方程含有阶方程含有n个任意的、独立常数的解。个任意的、独立常数的解。求解的基本方法：求解的基本方法：()变量可分离方程()齐次方程()贝努力方程.统一变量()全微分方程(

2、)欧拉方程(6)可降阶方程()线性齐次方程.利用解的解构()线性非齐次方程寻找原方程(也是统一变量)1231451223.1231451223.（1）变量可分离的方程）变量可分离的方程形如：形如：()()M y dyN x dx=.求解方法求解方法:()()M y dyN x dx=原因：等式两端变量形式各自统一！原因：等式两端变量形式各自统一！（2）齐次方程）齐次方程形如形如:()dyyfdxx=.分析：分析：()()yyyyxxxxx=+=+求 解 方 法求 解 方 法:设设yux=，yux=,则则yuxu =+方 程 化 为方 程 化 为()uxuf u+=,1()dudxf uux=.

3、原因：统一了变量形式！原因：统一了变量形式！（3）贝努力方程）贝努力方程形如形如:()()yP x yQ x y +=(0,1)求解方法求解方法:1()()dyyP x yQ xdx+=+=,111()()1dyP x yQ xdx +=+=.11(1)()(1)()dyP x yQ xdx +=+=原因：统一了变量形式！原因：统一了变量形式！（4）全微分方程）全微分方程设设,P Q在单连通域在单连通域G内有连续的偏导数内有连续的偏导数,判断判断(,)(,)0P x y dxQ x y dy+=+=在在G内是某函数内是某函数u的全微分的全微分yxPQ=.求解方法一：如果求解方法一：如果yxPQ

4、=，将，将PdxQdy+凑成凑成du.例例.求求2(3)()0 xy dxxy dy+=+=的通解的通解.解 解 PQyx=这是全微分方程 这是全微分方程 2(3)()xy dxxy dy+23x dxydyydxxdy=+32102dxyxy=+=+=通解为通解为3212xyxyc+=+=。原因：统一了变量形式！原因：统一了变量形式！求 解 方 法 二：如 果求 解 方 法 二：如 果yxPQ=，则，则00(,)(,)x yxyuPdxQdyC=+=+=求解方法三：如果求解方法三：如果yxPQ=，则，则duPdxQdy=+=0，,xyuP uQ=所以所以()uPdxC y=+=+，()()(

5、)(,)yyuPdxCyQC yu x y=+=+=。（5）欧拉方程（可化为常系数线性 方程）欧拉方程（可化为常系数线性 方程）欧拉方程形如：欧拉方程形如：()1(1)1()nnnnnx yP xyP yf x+=+=分析分析1lndydydyxdxdxdxx=11,lnlndydydytxdxx dxx dt=222221(?)d yd ydydxxdtdt=+=+求解方法求解方法:令令txe=,则则lntx=,1dydy dtdydxdtdxx dt=,22222222111()d ydyd y dtd ydydxx dtx dtdxxdtdt=+=+=,?,以此类推以此类推,代入原方程化

6、为常系数线性方程代入原方程化为常系数线性方程.原因：统一了变量形式！原因：统一了变量形式！例：求方程例：求方程23221d ydyxxxydxdx+=+=的通解的通解(0)x .解解 此方程为欧拉方程。令此方程为欧拉方程。令txe=，则，则lntx=，1dydydtdydxdtdxx dt=2222222221111yd ydyddtdyd ydxx dtx dtdxx dtxdt=+=+=+=+代入方程得：代入方程得：222td ydyyedtdt +=+=，则，则 121211()(ln)44ttycc t eeccx xx=+=+=+=+（6）可降阶方程）可降阶方程主要有以下三种可降阶类

7、型主要有以下三种可降阶类型 1)()()nyf x=，求解方法：，求解方法：(1)(),nnyydxyy dx =?2)(,)yf x y=(缺缺y型型)，求解方法：设，求解方法：设,yu yu=3)3.(,)yf y y=(缺缺x型型)，求解方法：设，求解方法：设,duyu yudy=原因：统一了变量形式！原因：统一了变量形式！2.线性方程线性方程n 阶线性方程阶线性方程 形如：形如：()(1)1()()()nnnyp x ypx yf x+=?+=?(1)(1)n阶线性齐次方程解的结构 阶线性齐次方程解的结构 设设12(),(),()ny xyxyx?是是n阶 线 性 齐 次 方 程阶 线

8、 性 齐 次 方 程()(1)1()()0nnnyp x ypx y+=?+=?的的n个 线 性 无 关 解，则 齐 次 方 程 通 解个 线 性 无 关 解，则 齐 次 方 程 通 解1122()()()nnyc y xc yxc yx=+?=+?.(2).(2).n阶线性非齐次方程解的结构 阶线性非齐次方程解的结构 设设*()yx是是n阶 线 性 非 齐 次 方 程阶 线 性 非 齐 次 方 程()(1)1()()()nnnyp x ypx yf x+=?+=?特解，则非特解，则非 齐次方程通解齐次方程通解*yyy=+.若若*12(),()yxyx是是n阶 线 性 非 齐 次 方 程阶 线

9、 性 非 齐 次 方 程()(1)1()()()nnnyp x ypx yf x+=+=?特解，特解，则则*12()()yxyx 是齐次方程是齐次方程()(1)1()()0nnnyp x ypx y+=+=?的解。的解。（3）一阶线性方程通解）一阶线性方程通解 形如形如:()()yP x yQ x+=+=求解方法：求解方法：PdxPdxyeQedxC =+=+PdxPdxPdxyeQedxCe=+=+问题：一阶线性方程问题：一阶线性方程()()yP x yQ x+=通解公式通解公式 是如何得到的？是如何得到的？方法：统一变量方法：统一变量 方程左端方程左端()yP x y+能够统一为一个变量能

10、够统一为一个变量 T 的导数吗？的导数吗？即即()yP x yT+=+=，如果可以，则，如果可以，则()TQ x dx=即为通解。即为通解。答案：答案：显然不一定！显然不一定！()()uyuP x yuQ x+=()()uyuP xyuQ x+=()()duuuP xP x dxu=()P x dxue=令令（可取不定积分中的任意常数为零）（可取不定积分中的任意常数为零）u()()uyuQ x=()uyuQ x dxC=+=+1()yuQ x dxCu=+=+PdxPdxyeQedxC =+=+由由(4).(4).n阶线性常系数齐次方程通解 阶线性常系数齐次方程通解()(1)10nnnyp y

11、p y+=?+=?()A 特征方程：特征方程：110nnnrp rp+=?+=?(a)如 果如 果r是 特 征 方 程 的是 特 征 方 程 的k重 实 根，则重 实 根，则()A有 解：有 解：21,rxrxrxkrxexex exe?。(b)如果如果ri =是特征方程的是特征方程的k重复根，则重复根，则()A有解：有解：cos,sinxxex ex ，cos,sinxxxex xex ，?11cos,sinkxkxxex xex 。以上以上 n 个解是线性无关的，所以个解是线性无关的，所以()A的通解是其线性组合。的通解是其线性组合。(5).二阶线性常系数齐次方程通解(5).二阶线性常系数

12、齐次方程通解 0ypyqy+=+=()A 特征方程：特征方程：20rprq+=+=(a)如果特征方程有两个不等实根如果特征方程有两个不等实根12,r r，则，则()A的通解的通解1212r xr xyc ec e=+。(b)如果特征方程有两个相等实根如果特征方程有两个相等实根12rrr=，则，则()A的通解的通解12()rxycc x e=+=+。(c)如果特征方程有一对共轭复根如果特征方程有一对共轭复根ri =，则，则()A的通解的通解12(cossin)xyecxcx =+=+(6).二阶线性常系数非齐次方程特解(6).二阶线性常系数非齐次方程特解()ypyqyf x+=+=对应的齐次方程

13、的特征方程：对应的齐次方程的特征方程：20rprq+=+=（B）(a)设设()()xnf xP x e=,()nP x为为n次多项式。次多项式。令特解令特解*()kxnyx Qx e=，其中其中1110()nnnnnQxa xaxa xa =+?=+?是待定系数的是待定系数的 n次多项式，次多项式，若若 不是特征方程（不是特征方程（B）的根，则）的根，则0k=，若若 是特征方程（是特征方程（B）的单根，则）的单根，则1k=，若若 是特征方程（是特征方程（B）的重根，则）的重根，则2k=。(b)设设()()cos()sinxnlf xeP xxQ xx =+，()nP x为为n次多项式，次多项式

14、，()lQ x为为l次多项式。次多项式。令特解令特解*(1)(2)()cos()sinkxmmyx eRxxRxx =+=+，其中，其中max,mn l=，(1)(2)(),()mmRx Rx是两个待定系数的是两个待定系数的m次多项式，若次多项式，若i 不是特征方程（不是特征方程（B）的根，则）的根，则0k=，若，若i 是特征方程（是特征方程（B）的根，则）的根，则1k=。设出设出*y后，将后，将*y代入方程代入方程()ypyqyf x+=+=，比较两端系数，解出，比较两端系数，解出*y的待定系数，即求出了的待定系数，即求出了*y。例：求方程例：求方程(4)41yy +=的通解的通解.特征方程

15、：特征方程：22(4)0rr+=0r=是是 2 重实根重实根 对应其次特解是：对应其次特解是：0012,xxyeyxe=02ri=是是 1 重复根重复根 对应其次特解是：对应其次特解是：0034cos2,sin2xxyex yex=通解通解 11223344yC yC yC yC y=+=+212x 3、寻找原方程、寻找原方程以一阶微分方程为例：以一阶微分方程为例：(,)0F x y=两端对两端对x求导得求导得(,)0G x y y=，所以微分方程所以微分方程(,)0G x y y =的通解为的通解为(,)F x yC=。例：例：212xyyyx+=+=221()lnxyxyxCx=+=+综合

16、练习综合练习 1.21yyx ex =221,1(),yyyyeyxexexex =21(),yyeexx=21(),2yyeexxCxx =+=+2：2()(1)(1)1yxyyyy+=+=，解解22y xy yyyy xy y +=2yy xyy =()()xyy =110 xyCCy=+=+=3221(21)3xyyxyxyxy=+=+3.设设0()sin()()xf xxxt f t dt=，其中，其中()f t连续，求连续，求()f x.解解00()sin()()xxf xxxf t dttf t dt=+=+4.方程方程31xyye+=+=+的一个特解应具有的形式的一个特解应具有的

17、形式 .Axaeb+Bxaxeb+Cxaebx+Dxaxebx+选选 A 5.设设()()()yP x yq x yf x+=+=的 三 个 线 性 无 关 解 为的 三 个 线 性 无 关 解 为123,yyy,则通解为则通解为 .通解为通解为1122233()()yCyyCyyy=+=+6.3222(3)0 xy dxx ydy+=+=解解 322230 xy dxx y dydy+=+=22(2)30yxydxx dydy+=+=222()30yydxx dydy+=+=2223()0ydxx dydyy+=+=，23()0d yxdy+=23()0d yxy+=+=23yxCy+=7.

18、设设()f x具有二阶连续的导数具有二阶连续的导数2()()()0 xy xyf x y dxfxx y dy+=+=为一全微分方程，且为一全微分方程，且(0)0f=，(0)1f =,求求()f x及此方程通解及此方程通解.（()()22cossin2fxxxx=+=+）哈尔滨工程大学 17 届高等数学非专业高年级组(2009,06)哈尔滨工程大学 17 届高等数学非专业高年级组(2009,06)求解微分方程：求解微分方程：2(21)22,(0)1,(0)0yyyyy+=+=。解 2(21)22yyy+=+=2222yyyy+=+=+12()(2)22yyxyyyxyC =+=+=+=+2222()()yyxyyxy=+=+=+=+222yxyC=+=+22yxy=+=+常微分方程的应用常微分方程的应用相关问题：相关问题：?斜率、曲率、变上限函数。斜率、曲率、变上限函数。?物理方面：运动物体的路程、速度、牛顿第二定律物理方面：运动物体的路程、速度、牛顿第二定律.?寻找定解条件寻找定解条件.Thanks for your attention?哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系?卜长江卜长江?E-mail:?2009.08.26