【下雨啦】高考数学专题复习三(数形结合思想).ppt

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1、第第3讲讲 数形结合思想数形结合思想1.1.数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略,它它 包括两个方面包括两个方面:“以形助数以形助数”和和“以数助以数助 形形”.“以形助数以形助数”即是借助形的生动性和直观性即是借助形的生动性和直观性 来阐明数之间的联系，它是以来阐明数之间的联系，它是以“形形”为手段，以为手段，以 “数数”为目的，如应用函数的图象来直观地说明为目的，如应用函数的图象来直观地说明 函数的性质，应用数轴直观表达不等式组的解函数的性质，应用数轴直观表达不等式组的解 集集.“以数助形以数助形”是借助于数的精确性和规范严密是借助于数的精确性和

2、规范严密 性来阐明形的某些属性，它是以性来阐明形的某些属性，它是以“数数”为手段，为手段，以以“形形”为目的，如二分法确认方程根的分布，为目的，如二分法确认方程根的分布，曲线方程可以精确地阐明曲线的几何性质曲线方程可以精确地阐明曲线的几何性质.2.2.数形结合，是根据数量与图形之间的对应关系，数形结合，是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思 想方法，也是一种智慧的解题技巧，它可以使复想方法，也是一种智慧的解题技巧，它可以使复 杂的问题简单化，抽象的问题具体化，繁琐的问杂的问题简单化，抽象的问题具体化，繁琐的问 题条理

3、化，从而，便于找到简捷的解题思路，使题条理化，从而，便于找到简捷的解题思路，使 问题得到解决问题得到解决.3.3.在运用数形结合思想解题时，还必须关注以下几在运用数形结合思想解题时，还必须关注以下几 个方面：个方面：（1 1）由数想形时，要注意）由数想形时，要注意“形形”的准确性，这是的准确性，这是 数形结合的基础数形结合的基础.（2 2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优 势势.“形形”有直观、形象的特点，但代替不上具体有直观、形象的特点，但代替不上具体 的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题 的平台或

4、模式，而的平台或模式，而“数数”才是其真正的主角，若才是其真正的主角，若 忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用.4.4.数学前辈华罗庚曾说过：数学前辈华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚数与形，本是相倚 依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数 时难入微时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非数形结合百般好，隔离分家万事非.切切 莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离”.可可 见，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一见，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一 种智慧的数学方法

5、，备考中要仔细体会，牢固掌种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固掌 握，熟练应用握，熟练应用.【例例1 1】已知奇函数已知奇函数f f(x x)的定义域是的定义域是 x x|x x0,0,x xR R，且在且在(0,+(0,+）上单调递增，若）上单调递增，若f f(1)=0,(1)=0,满足满足 x xf f(x x)0)0的的x x的取值范围是的取值范围是 .分析分析 函数函数f f（x x）比较抽象，欲解出目标不等式是）比较抽象，欲解出目标不等式是 不可能的，注意到不可能的，注意到x xf f（x x）00表明自变量与函数表明自变量与函数 值异号，故可作出值异号，故可作出f f（x x）

6、的图象加以解决）的图象加以解决.解析解析 作出符合条件的一个函数图象作出符合条件的一个函数图象 （草图即可），可知：（草图即可），可知：x xf f（x x）00的的 x x取值范围是（取值范围是（-1-1，0 0）（0 0，1 1）.(-1(-1，0)(00)(0，1)1)探究拓展探究拓展 函数图象是函数对应关系的一种表现函数图象是函数对应关系的一种表现 方式，它具有直观、形象、简明的特点方式，它具有直观、形象、简明的特点.通过绘出通过绘出 函数图象，依图象确定相关不等式的解集的方函数图象，依图象确定相关不等式的解集的方 法，称作法，称作“图象法解不等式图象法解不等式”.变式训练变式训练1

7、1 （20092009徐州调研）设奇函数徐州调研）设奇函数y y=f f(x x)(x x0),0),当当x x(0,+)(0,+)时，时，f f(x x)=)=x x-1-1，则不等式，则不等式 f f(x x-1)0-1)0,-10,x x-10-10 讨论，分别得到不等式，并解之讨论，分别得到不等式，并解之.如果能根据已知条件作出如果能根据已知条件作出y y=f f(x x)的图象（奇函数图象关于原点对称），的图象（奇函数图象关于原点对称），则可直观地得到则可直观地得到f f(x x)0)0的解为的解为x x-1-1或或00 x x1(1(见图见图).).从而从而f f(x x-1)0-

8、1)0的解为的解为x x-1-1-1-1或或00 x x-11,-11,即即x x00或或11x x2.2.答案答案 x x|x x00或或11x x22【例例2 2】不等式不等式 的解集是的解集是 .解析解析 方法一方法一 方法二方法二 数形结合法，数形结合法，令令 则则(x x-2)-2)2 2+y y2 2=4(=4(y y 0)0)其图象是半圆，在同一直角坐标其图象是半圆，在同一直角坐标 系中，分别作出系中，分别作出 y y=x x的的 图象，如图所示，当图象，如图所示，当00 x x22时，时，当当22x x44时，时，故解集为（故解集为（2 2，4 4.答案答案 （2 2，4 4

9、探究拓展探究拓展 图象法解不等式具有运算量小，思维图象法解不等式具有运算量小，思维 量小，简捷明了等优点，但对作图象要求较高，量小，简捷明了等优点，但对作图象要求较高，必须能准确迅速作出相关函数或方程的图象，再必须能准确迅速作出相关函数或方程的图象，再 结合具体条件要求分析出结论来结合具体条件要求分析出结论来.图象法实质是转图象法实质是转 化化归思想的应用化化归思想的应用.变式训练变式训练2 2 解关于解关于x x的不等式：的不等式：|x x2 2-1|-1|0).0).解解 设设y y1 1=|=|x x2 2-1|,-1|,y y2 2=axax(a a0).0).如图分别作出两个函数的图

10、象，如图分别作出两个函数的图象，令令y y1 1=y y2 2求出交点横坐标求出交点横坐标 从图形不难看出当函数从图形不难看出当函数y y2 2的图象位于的图象位于y y1 1图象上方图象上方 时，对应的时，对应的x x的取值范围即为原不等式的解的取值范围即为原不等式的解.原不等式的解集为原不等式的解集为 .【例例3 3】关于关于x x的方程的方程 上有上有 2 2个不同的根，求实数个不同的根，求实数a a的取值范围及此两根之和的取值范围及此两根之和.分析分析 由于原式可化为由于原式可化为 解解 原方程可化为原方程可化为 设设 在同一坐标系下作出两函数的图象，两图象交点在同一坐标系下作出两函数

11、的图象，两图象交点 的横坐标即为方程的解，如图所示的横坐标即为方程的解，如图所示.为有两个不同为有两个不同 的根，应满足的根，应满足 即即 依图象可以看出依图象可以看出 所以满足方程的所以满足方程的a a的取值范围是的取值范围是 方程的两根之和为方程的两根之和为 探究拓展探究拓展 超越方程（非初等方程）根的个数研超越方程（非初等方程）根的个数研 究问题，往往转化为函数图象交点个数问题研究问题，往往转化为函数图象交点个数问题研 究，但前提是要将图象画准确，这样，可以避免究，但前提是要将图象画准确，这样，可以避免 繁琐的计算（有时是不可能的计算）繁琐的计算（有时是不可能的计算）.本例中实质本例中实

12、质 还运用了构造法还运用了构造法.构造出了两个函数，将问题转化构造出了两个函数，将问题转化 为研究何时函数值相等，何时图象有两个不同的为研究何时函数值相等，何时图象有两个不同的 交点交点,最后用运动变化的观点最后用运动变化的观点,分析出分析出a a的取值范围的取值范围.变式训练变式训练3 3 设关于设关于 的方程的方程 在区间（在区间（0 0，2 2 ）内有相异的两个实根）内有相异的两个实根 （1 1）求实数）求实数a a的取值范围；的取值范围；（2 2）求）求 的值的值.解解DB【例例4 4】已知圆已知圆C C：(x x+2)+2)2 2+y y2 2=1,=1,P P(x x,y y)为圆

13、为圆C C上任上任 一点一点.（1 1）求）求 的最大、最小值；的最大、最小值；（2 2）求）求x x-2-2y y的最大、最小值的最大、最小值.分析分析 （1 1）由）由 容易联想到它的几何意义是容易联想到它的几何意义是 点（点（x x,y y)与（与（1 1，2 2）所确定直线的斜率）所确定直线的斜率.（2 2）由）由x x-2-2y y可联想到可联想到“目标函数目标函数”，可视为动直线，可视为动直线 截距的最值问题截距的最值问题.解解 （1 1）如图所示，设）如图所示，设Q Q（1 1，2 2），），由由P P（x x,y y），得），得 的最大、的最大、最小值分别为过最小值分别为过Q

14、Q点的圆点的圆C C的两的两 条切线的斜率条切线的斜率.将上式整理得将上式整理得kxkx-y y+2-+2-k k=0.=0.（2 2）令）令x x-2-2y y=u u,则可视为一组平行线系，当直线则可视为一组平行线系，当直线 与与C C有公共点时，有公共点时，u u的范围可求，最值必在直线的范围可求，最值必在直线 与与C C相切时取得相切时取得.x x-2-2y y的最大值为的最大值为-2+,-2+,最小值为最小值为-2-.-2-.探究拓展探究拓展 认真分析和研究代数式的结构特征，认真分析和研究代数式的结构特征，运用类比、联想，将已知条件转化为直观形象的运用类比、联想，将已知条件转化为直观

15、形象的 图形，或挖掘出代数式的几何意义并使之形象图形，或挖掘出代数式的几何意义并使之形象 化，具体化是数形结合运用能力的体现，备考者化，具体化是数形结合运用能力的体现，备考者 要着力培养和训练这一意识与能力要着力培养和训练这一意识与能力.本例中，将最本例中，将最 值问题转化为直线斜率的最值问题，并作出相关值问题转化为直线斜率的最值问题，并作出相关 图象，使问题一目了然，迅速获解图象，使问题一目了然，迅速获解.变试训练变试训练4 4 设设x x0,0,y y0,0,x x2 2-y y2 2=1=1，则，则 的取值的取值 范围为范围为 .分析分析 的几何意义是双曲线的几何意义是双曲线x x2 2

16、-y y2 2=1=1在第一象在第一象 限内的点（限内的点（x x,y y)与定点（与定点（2 2，0 0）的连线斜率，由）的连线斜率，由 图象即可求出其取值范围图象即可求出其取值范围.解析解析 画出双曲线弧画出双曲线弧x x2 2-y y2 2=1(=1(x x0,0,y y0)0)，在其上，在其上 任取一点任取一点P P（x x,y y）,设设Q Q（2 2，0 0），连结），连结PQPQ，则，则 由图知直线由图知直线PQPQ的倾斜角的范围为的倾斜角的范围为 k kPQPQ11或或k kPQPQ0,0,的取值范围为（的取值范围为（-,0-,0）(1,+).(1,+).答案答案（-，0 0）

17、（1 1，+）规律方法总结规律方法总结1.1.运用数形结合思想分析和解决问题时，首先要彻运用数形结合思想分析和解决问题时，首先要彻 底弄清一些概念和运算的几何意义，以及曲线的底弄清一些概念和运算的几何意义，以及曲线的 方程特征，为运用方程特征，为运用“数形结合数形结合”思想作好基础性思想作好基础性 准备，对于数学题设中的条件和结论既要分析其准备，对于数学题设中的条件和结论既要分析其 几何意义，又要分析其代数意义，以期望迅速找几何意义，又要分析其代数意义，以期望迅速找 到两者的到两者的“结合点结合点”，实现，实现“数形结合数形结合”的愿望的愿望.2.2.要树立强烈的要树立强烈的“数形结合意识数形

18、结合意识”，“由数思形由数思形”和和“以形想数以形想数”，有时还要恰当的设立参数，合，有时还要恰当的设立参数，合 理用好参数，建立恰当的关系式，有助于问题解理用好参数，建立恰当的关系式，有助于问题解 决决.3.3.纵观近几年江苏省高考试题，不难发现，数形结纵观近几年江苏省高考试题，不难发现，数形结 合应用的考查，比比皆是，解析几何问题，函数合应用的考查，比比皆是，解析几何问题，函数 与不等式问题，参数范围问题，集合问题，立体与不等式问题，参数范围问题，集合问题，立体 几何问题，数列问题等都用到了数形结合的思想几何问题，数列问题等都用到了数形结合的思想 与方法与方法.4.4.应用数形结合思想方法

19、解题，通常可以从以下几应用数形结合思想方法解题，通常可以从以下几 个方面思考：个方面思考：（1 1）函数、不等式与函数图象；（）函数、不等式与函数图象；（2 2）曲线与方）曲线与方 程；（程；（3 3）代数式的结构特征；（）代数式的结构特征；（4 4）概念自身的）概念自身的 几何意义；（几何意义；（5 5）参数蕴含的几何意义；（）参数蕴含的几何意义；（6 6）向）向 量的两重性（代数性与几何性）；（量的两重性（代数性与几何性）；（7 7）可行域与）可行域与 目标函数目标函数.5.5.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个 原则：原则：（1 1）等价

20、性原则）等价性原则.要注意由于图象不能精确刻画数要注意由于图象不能精确刻画数 量关系所带来的负面效应量关系所带来的负面效应.（2 2）双方性原则）双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进既要进行几何直观分析，又要进 行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何 分析容易出错分析容易出错.（3 3）简单性原则）简单性原则.不要为了不要为了“数形结合数形结合”而数形结而数形结 合合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突破口，恰当设参、用参、建立关二是选择好突破口，恰当设参、用参、建立关 系，做好转化；三

21、是挖掘隐含条件，准确界定参系，做好转化；三是挖掘隐含条件，准确界定参 变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法 选择动直线与定二次曲线选择动直线与定二次曲线.一、填空题一、填空题1.1.设奇函数设奇函数f f(x x)的定义域为的定义域为-5-5，5 5，若当，若当x x 0 0，5 5时，时，f f(x x)的图象如图所示，则不等式的图象如图所示，则不等式 f f(x x)0)0的解是的解是 .解析解析 根据图象的对称性可得根据图象的对称性可得f f(x x)0)0的解为的解为-22x x0,0,或或221,)1,则则x x0 0的取值的取值 范围

22、是范围是 .解析解析 如图所示，画出函数如图所示，画出函数f f(x x)的图象和常数函数的图象和常数函数 f f(x x)=1)=1的图象，观察图形，易知的图象，观察图形，易知x x0 0的取值范围是的取值范围是 (-,-1)(1,+).(-,-1)(1,+).（-,-1)(1,+)-,-1)(1,+)3.3.函数函数f f(x x)=)=x x2 2-x x-2,-2,x x-5-5，5 5，那么任取一点，那么任取一点x x0 0,使使f f(x x0 0)0)0的概率是的概率是 .解析解析 几何概型几何概型.f f（x x）=x x2 2-x x-20-20-1-1x x2,2,0.30

23、.34.4.已知已知S Sn n是等差数列是等差数列 a an n 的前的前n n项和且项和且S Sp p=S Sq q（p pq q）,则则S Sp p+q q=.解析解析 题设知题设知d d0.0.S Sn n是关于是关于n n的缺常数项的二次函数，的缺常数项的二次函数，其图象是由过原点的抛物线上的点构成其图象是由过原点的抛物线上的点构成.如图所如图所 示，又因抛物线对称轴方程为示，又因抛物线对称轴方程为0 05.5.设关于设关于x x的不等式的不等式 （a a-1-1）x x的解集为的解集为A A，且且A A x x|0|0 x x2,2,则则a a的取值集合是的取值集合是 .解析解析

24、为圆心，为圆心，2 2为半径的半圆，而为半径的半圆，而y y=(=(a a-1)-1)x x是过原点的是过原点的 直线束直线束.问题转化为：问题转化为：00 x x20,0,且且a a1)1)有两个零点，则实数有两个零点，则实数a a的取值范围是的取值范围是 .解析解析 令令g g(x x)=)=a ax x(a a00，且，且a a1)1)，h h(x x)=)=x x+a a,分分 00a a1,11两种情况，在同一坐标系中画出两个函两种情况，在同一坐标系中画出两个函 数的图象，如图所示，若函数数的图象，如图所示，若函数f f(x x)=)=a ax x-x x-a a有两个有两个 不同的

25、零点，则函数不同的零点，则函数g g(x x),),h h(x x)的图象有两个不同的图象有两个不同 的交点，根据画出的图象知只有当的交点，根据画出的图象知只有当a a11时符合题目时符合题目 要求要求.a a1 1 二、解答题二、解答题7.7.已知已知 方程方程sinsin2 2x x+2sin+2sin x xcos cos x x+3cos+3cos2 2x x+a a=0=0 有三个实数根，求有三个实数根，求a a的取值范围的取值范围.解解 原方程可化为原方程可化为2+sin 22+sin 2x x+cos 2+cos 2x x+a a=0,=0,即即 则原方程有三个实根等价于则原方程

26、有三个实根等价于 y y=f f(x x)与与y y=-=-a a-2-2有三个交点有三个交点.由图象可得由图象可得-1-1-a a-21,-21,即即 -3-3a a-1.-1.a a的取值范围为的取值范围为-3-3，-1-1）.8.8.若过定点若过定点M M(-1(-1，0)0)且斜率为且斜率为k k的直线与圆的直线与圆x x2 2+4+4x x+y y2 2-5=0 5=0在第一象限内的部分有交点，求在第一象限内的部分有交点，求k k的取值范围的取值范围.解解 x x2 2+4+4x x+y y2 2-5=0,-5=0,(x x+2)+2)2 2+y y2 2=9=9是以（是以（-2-2

27、，0 0）为圆心，）为圆心，3 3为半径为半径 的圆，如图所示，令的圆，如图所示，令x x=0,=0,得得y y=5,5,C C的坐标为的坐标为 （0 0，）.又又M M（-1-1，0 0），），由于直线和圆在第一象限内有交点由于直线和圆在第一象限内有交点.结合图形得结合图形得00k k .9.9.（20082008四川改编四川改编)设等差数列设等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为 S Sn n，若，若S S4 41010，S S5 51515，求，求a a4 4的最大值的最大值.解解 设等差数列的首项为设等差数列的首项为a a1 1，公差为，公差为d d,则则S S4 4=4=

28、4a a1 1+6+6d d1010，即，即2 2a a1 1+3+3d d5,5,S S5 5=5=5a a1 1+10+10d d1515，即，即a a1 1+2+2d d3.3.又又a a4 4=a a1 1+3+3d d,因此求因此求a a4 4的最值可转化为在线性约束条件的最值可转化为在线性约束条件 限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行 域如下图，域如下图，可知当可知当a a4 4=a a1 1+3+3d d，经过点，经过点A A （1 1，1 1）时有最大值）时有最大值4.4.10.(200910.(2009苏州调研苏州调研)实系数一

29、元二次方程实系数一元二次方程 =0=0的一根在（的一根在（0 0，1 1）上，另一根在（）上，另一根在（1 1，2 2）上，）上，求求 的取值范围的取值范围.分析分析 用二次函数的图象研究根的分布问题，再用二次函数的图象研究根的分布问题，再 研究所得不等式和式子研究所得不等式和式子 的几何意义的几何意义.解解 由由x x2 2+axax+2+2b b=0=0的二根分别在区间（的二根分别在区间（0 0，1 1）与）与 （1 1，2 2）上的几何意义为）上的几何意义为y y=f f(x x)=)=x x2 2+axax+2+2b b与与x x轴的轴的两两 交点的横坐标分别在区间（交点的横坐标分别在区间（0 0，1 1），（），（1 1，2 2）内）内.x x2 2+axax+2+2b b 在在aObaOb坐标平面内坐标平面内,上面不等式表示的点集为上面不等式表示的点集为 的内部的内部(如图所示如图所示).).ABCABC