线性代数第四章复习小结.ppt

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1、 第四章第四章基本内容：一。向量基本内容：一。向量组组的的线线性关系性关系（一）（一）.线线性性组组合判断合判断是是线线性性组组合通常有两个方法合通常有两个方法1）.定定义义法即法即.解非解非齐齐次次线线性方程性方程组组法。令法。令解解判其是否判其是否为线为线性性组组合合。2）利用）利用线线性性组组合与合与线线性相关的关系性相关的关系（二）（二）.线线性相关无关性相关无关1.线线性相关性的判定性相关性的判定线线性相关性的判定通常有下面几个方法：性相关性的判定通常有下面几个方法：1）.定定义义法即法即.解解齐齐次次线线性方程性方程组组法。法。令，解，解看其是否有非零解。看其是否有非零解。2）.用

2、初等用初等变换变换求矩求矩阵阵3）.利用利用线线性相关性有关性性相关性有关性质质。的秩的秩2.线线性相关性有关性性相关性有关性质质1）.一个零向量一个零向量线线性相关，一个非零向量性相关，一个非零向量线线性无关。性无关。2）.两个向量两个向量线线性相关（无关）的充要条件是性相关（无关）的充要条件是对应对应分量成比例（不成比例）。分量成比例（不成比例）。3）.n个个n 维维向量向量线线性相关（无关）的充要条件是其性相关（无关）的充要条件是其组组成的行列式成的行列式（4）.部分相关部分相关则则全体相关（全体无关全体相关（全体无关则则部分无部分无关）。关）。.5).m个个n维维向量当向量当mn时时必

3、必线线性相关（当向量性相关（当向量组组含向量的个数含向量的个数超超过维过维数必数必线线性相关）。性相关）。6）.如果向量如果向量组组:线线性相关，性相关，则则其任意截断向量其任意截断向量组组必必线线性性相关（如果向量相关（如果向量组组线线性无关，性无关，则则其任意延其任意延长长向量向量组组必必线线性无关）。性无关）。3.线线性相关与性相关与线线性性组组合的关系合的关系1）.线线性相关性相关其中至少有某向量是其余向量的其中至少有某向量是其余向量的线线性性组组合。合。2）.线线性无关，性无关，线线性相关，性相关，则则可由可由线线性表示，且表示的系数唯一。性表示，且表示的系数唯一。3）.若向量若向量

4、组组可由向量可由向量组组线线性表示，且性表示，且则则线性相关。线性相关。（三）（三）.极大无关极大无关组组、秩、秩（1）.向量向量组组V的极大无关的极大无关组组的等价命的等价命题题1）.线线性无关，性无关，2)V中任意中任意r+1 个向量个向量线线性相关。性相关。线线性无关，性无关，则为为V的极大无关组的极大无关组或或1）2）V中任一向量可由中任一向量可由线线性表示。性表示。则为为V的极大无关组的极大无关组极大无关极大无关组组有两个最基本的特点有两个最基本的特点是是线线性无关性；性无关性；极大性，它极大性，它标标明向量明向量组组中中线线性无关（独立）的且含个数达到性无关（独立）的且含个数达到最

5、大的子向量最大的子向量组组。通常情况使用定。通常情况使用定义义2）较为较为方便。方便。（2）.极大无关极大无关组组及秩的求法及秩的求法1）.定定义义法（法（扩扩充向量法）；充向量法）；2）.初等初等变换变换法，即将法，即将按列排成矩按列排成矩阵阵A，施以行初等，施以行初等变换变换化化为为行行阶阶梯形梯形B由由B的列极大无关的列极大无关组组反寅得反寅得A的列的极大无关的列的极大无关组组。如果。如果进进一步化成行最一步化成行最简简形，形，还还可由将最可由将最简简形中其余向量用极大无关形中其余向量用极大无关组线组线性表示。性表示。通通过过反寅可将反寅可将A中列的其它向量用极大无关中列的其它向量用极大

6、无关组线组线性表示。性表示。二二.线线性方程性方程组组解的解的定理及解的解的解的定理及解的结结构构（一）（一）.齐齐次次线线性方程性方程组组。（）1.解的条件解的条件:2.解的性质解的性质:(1)任意两个解向量至和仍为解向量任意两个解向量至和仍为解向量(2)解向量与实数之积仍为解向量解向量与实数之积仍为解向量从而解向量的线性组合仍为解向量从而解向量的线性组合仍为解向量矩阵矩阵定理定理:设设A为为，则，则3.解空间的维数定理解空间的维数定理:4.解的结构定理解的结构定理:设线性方程组设线性方程组Ax=0的基础解系为的基础解系为:则该方程的通解为则该方程的通解为（二）（二）.非非齐齐次次线线性方程

7、性方程组组解之和仍解之和仍为为。的任意两解之差是的任意两解之差是的解的解。1.解的性质解的性质:的解与的解与的解的解（2）.有解的判有解的判别别:有解有解是是A的的n个列的个列的线线性表示。性表示。的一般解的一般解(通解通解)等于对应的齐次线性方程等于对应的齐次线性方程的一般解加自己的一个特解即的一般解加自己的一个特解即:3.解的结构定理解的结构定理:例例题题：（客：（客观题观题参参练习练习册）册）1.研究下列向量研究下列向量组组的的线线性相关性性相关性：2求下列向量求下列向量组组的秩，及一个极大无关的秩，及一个极大无关组组，并将其余向量用并将其余向量用该该极大无关极大无关组线组线性表示：性表

8、示：3设设向量向量组组，求向量，求向量组组的秩及一个极大无关的秩及一个极大无关组组。4设设向量向量，问问：取何取何值值（1）可由可由唯一唯一线线性表示。（性表示。（2）不能由不能由线线性表示。（性表示。（3）可由可由非唯一非唯一线线性表示，且求出表示式性表示，且求出表示式。5非非齐齐次次线线性方程性方程组组问问取何取何值时值时？（？（1）有唯一解；（）有唯一解；（2）无解；）无解；（3）有无）有无穷穷多个解，并求其解多个解，并求其解。6设设线线性无关，性无关，证证明明线线性无关性无关。7）A为为n阶阶方方阵阵，又，又设设是非是非齐齐次次线线性方程性方程组组的两个不同的解，的两个不同的解，证证明明为为非非齐齐次次线线性方程性方程组组的通解。其中的通解。其中K为为任意常数。任意常数。8.（1）设设为齐为齐次次线线性方程性方程组组的基的基础础解系。解系。证证明：明：也是也是的基的基础础解系。（解系。（2）设设向量向量组组线线性无关，性无关，证证明明线线性无关的条件是数性无关的条件是数满满足足。9为齐为齐次次线线性方程性方程组组的一个基的一个基础础解系，解系，数，数t，m满满足何条件，足何条件，也是也是的基的基础础解系。解系。