工程力学静力学第三章平面一般力系.ppt

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1、工程力学Engineering Mechanics2 31 平面一般力系向作用面内任一点简化平面一般力系向作用面内任一点简化 32 平面一般力系的简化结果分析平面一般力系的简化结果分析 3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程 3-4 平面桁架平面桁架 3-5 静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念 3-6 摩擦摩擦3第一节第一节 平面一般力系向作用面内任一点简化平面一般力系向作用面内任一点简化平面一般力系平面一般力系(coplanar arbitrary force system)：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫平面一般力系

2、.如图起重机横梁。GQFAyFAxFT4FAOFF FF AOFF M=因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。等于原力对平移点的力矩。dd力线平移定理平面一般力系的简化平面一般力系的简化5 作用于简化中心O点的平面汇交力系可合成为一个力，称为该力系的主矢主矢，其作用线过简化中心点O。各附加力偶组成的平面力偶系的合力偶矩，称为该力系的主矩主矩。主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上,如图示6F3 F2 F1 Fn Fn F1 Omn

3、.m3 m1 F2 F3 m2 O简化中心O.MORR主矢主矢 R=Fi i 与简化中心无关 MO主矩主矩 MO=mo(Fi)与简化 中心有关7讨论 :主矢 R=Fi i 其大小O.MORR主矢主矢 R=Fi i 与简化中心无关 MO主矩主矩 MO=mo(Fi)与简化 中心有关yxR=Fi 与简化中心无关8力系向一点简化力系向一点简化：通过简化中心的平面汇交力系通过简化中心的平面汇交力系 通过通过简化中心的力，与简化中心的位置无关。简化中心的力，与简化中心的位置无关。（绝对的，主矢决定于原力系中各力的大小（绝对的，主矢决定于原力系中各力的大小和方向）和方向）平面力偶系：与简化位置有关平面力偶系

4、：与简化位置有关（相对的，主矩的大小和转向取决于简化中（相对的，主矩的大小和转向取决于简化中心的位置）心的位置）9RMA YA平面一般力系简化结果的应用-固定端约束的反力。MA XA简图：固定端约束反力有三个分量：两个正交分力，一个反力偶两个正交分力，一个反力偶10R主矢主矢 R=Fi 与简化中心无关与简化中心无关 MO主矩主矩 MO=mo(Fi)与简化中心有关与简化中心有关 =0,MO0 即简化结果为一合力偶,MO=M 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故主矩与简化中心位置无关。=0，MO=0，力系平衡，与简化中心位置无关，下节专门讨论。0,MO=0,即

5、简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）,。（此时此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）第二节第二节 平面一般力系的简化结果分析平面一般力系的简化结果分析11 0,MO 0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简可以继续简 化为一个合力化为一个合力 。力线平移定理力线平移定理利用主矩的转向来确定合力R的作用线在简化中心的哪一侧。12合力矩定理合力矩定理：当平面一般力系具有合力当平面一般力系具有合力时，合力对平面内任一点之矩就等于该时，合力对平面内任一点之矩就等于该力系的各分力对同一点之矩的代数和。力系的各分力对同

6、一点之矩的代数和。O.d.13 =0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡第三节第三节 平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 MO 都等于零都等于零，即：由于14二矩式二矩式条件：条件：x 轴不轴不 AB 连线连线三矩式三矩式条件：条件：A,B,C不在不在 同一直线上同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。一矩式一矩式注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的个数只有三

7、个，对一个物体来讲个数只有三个，对一个物体来讲,只能解只能解三个三个未知量未知量,不得多不得多列！列！15 平衡方程的其它形式的证明平衡方程的其它形式的证明1 1 二矩式：二矩式：X=0 B BA Ax xC CA AA A、B B 连线不垂直连线不垂直于于x 轴轴A A、B B、C C 三点不三点不 在同一条直线上在同一条直线上附加条件：附加条件：附加条件：附加条件：B B2 三三矩式矩式：16二矩式的证明：二矩式的证明：必要性必要性即即平平 衡衡二矩式成立二矩式成立 平衡平衡 ，MO0则，力系的主矢在任一轴上的投影为零；则，力系的主矢在任一轴上的投影为零；对任一点的矩为零。对任一点的矩为零

8、。二矩式成立。二矩式成立。即即平平 衡衡二矩式成立二矩式成立充分性充分性 力系不可能合成为合力偶，力系不可能合成为合力偶，只可能合成为合力或平衡。只可能合成为合力或平衡。17若有合力，则合若有合力，则合力作用线过力作用线过A A点。点。若有合力，则合若有合力，则合力作用线过力作用线过B B点。点。合合力力作作用用线线过过ABABB BA Ax x又有又有 X=0 且且 x 轴不与轴不与AB连线垂直连线垂直 必有：合力为零，即力系平衡。必有：合力为零，即力系平衡。证毕证毕三矩式的证明类似，请大家自己证明。三矩式的证明类似，请大家自己证明。由由由由18特殊力的平衡方程n平面汇交力系：n平面平行力系

9、：有力平行于x轴n平面力偶系:19求解平面一般力系平衡问题的一般方法步骤n1.选取正确的研究对象，取分离体，作受力图。n2.建立适当的坐标系（一般为平面直角坐标系）坐标轴的选择：a：坐标轴的选择应尽可能使较多的力与坐标轴平行或垂直。b：尽可能将坐标原点设在较多的力的汇交处。n3.列出平衡方程求出未知力 a：尽可能列一个方程求解一个未知数，注意列出的次序 b：矩心的选择尽可能在比较多的力（未知力）的汇交处。20 例例 已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？解：选AB梁研究 画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）解除约束21例例 已知：P=20kN,m=16kNm

10、,q=20kN/m,a=0.8m 求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：22例：例：求图示梁支座的约束反力。已知：aaaFFAB解:取梁为研究对象。受力图如图示。建立坐标系，列平衡方程：FyFxFByxFx-FBsin30=0 Fy+FBcos30-2F=0-Fa-2Fa+3aFBcos30=0即：求得：FB =2.3KN Fx=1.15KN Fy=2KN23例例：如图示为铁路起重机，起重机重力G1 1=500kN，重心C在两铁轨的对称面内，最大起重力F=200kN。为保证起重机在空载和满载时都不致翻倒，求平衡重力G及其距离x。尺寸如图所示。AB平面平行力系平面平行力系(平面力系中各力的作用

11、线互相平行，则称为平行力系)的平衡的平衡24 空载时，以A点为矩心，列平衡方程：GX-0.75G1=0 (1)解：设左边铁轨对起重机的支撑力为FA，右边铁轨对起重机的支撑力为FB。则：空载时，此时FB=0；满载时，FA=0。满载时，以B点为矩心，列平衡方程：G(X+1.5)+0.75G1-6F=0 (2)由（1）、（2）可得：G=300KN X=1.25mAB25例：图示简支梁，求A、B两处的约束反力。ABllq1q2解：研究AB，受力如图：q1ABq2NBYAXA建坐标如图yxXA=0YA+NB-=026q1Oxxdxqxl下面讨论分布载荷合力Q的大小：0l=分布载荷的面积分布载荷合力Q的作

12、用位置：利用合力矩定理，设合力Q的作用点到原点的距离为C，向O点取矩有：cQl0作用在分布载荷的形心图形的几何中心272829例例:如图所示一三铰拱桥。左右两半拱通过铰链C联接起来，通过铰链A、B与桥基联接。已知G=40kN，P=10kN。试求铰链A、B、C三处的约束反力。30解解:取整体整体为研究对象画出受力图，并建立如图所示坐标系。列平衡方程 解之得：31取左半拱左半拱为研究对象画出受力图，并建立如图所示坐标系。列解平衡方程：解之得：所以：32 由若干个杆件彼此在两端铰接而成的一种结构,受力后其几何形状不发生改变，如:桥梁、井架、高压电线杆、起重机架等，称之为桁架。第四节第四节 平面桁架平

13、面桁架333435由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统桁架桁架平面简单桁架的内力分析平面简单桁架的内力分析36桁架桁架(plane truss)：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。节点节点节点节点杆件杆件杆件杆件37桁架的优点桁架的优点：减轻结构物的重量，节省材料，使杆件只受到拉压以充分发挥材料的拉压性能。桁架的主要用途桁架的主要用途：高耸，轻载，大跨度结构。若桁架的所有杆件都在统一平面内，则称为平面桁架平面桁架为了简化计算，常作以下假设假设：.各杆都是直的;.所有外力均作用在桁架平面内,且均作用在节点上;.各杆件间彼此均用光滑铰链连接;.各杆自重略去不计 38力学中的桁架模型力学中的桁

14、架模型(基本三角形基本三角形)三角形有稳定性三角形有稳定性39工程力学中常见的桁架简化计算模型工程力学中常见的桁架简化计算模型40一、节点法一、节点法:(method of joints)各节点均构成一平面汇交力系，从只有从只有两个未知力的节点开始两个未知力的节点开始，逐个讨论各节点，联立求解。41解解：研究整体，求支座反力依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。42节点节点D的另一个方程可用来校核计算结果的另一个方程可用来校核计算结果恰与 相等，计算准确无误。43QPabcAB例:平面桁架受力如图，求各杆内力abHGEFDC解:所有节点均超过两个未知力，所以，先研究整体，求出外反力：YA N

15、B XA+P=0YA+NB-Q=0NB(2a+2b)-Q(a+b)-Pc=0由此解出三个外反力。XA A44S1 B再从只有两个未知力且受力个数较少的节点开始-B点:NB 8QPabcABabHGEFDCYA XA NB 6543211312111097S2 画受力图时注意画受力图时注意:各节点处的已知力不能画错各节点处的已知力不能画错,未未知力必须背离该节点知力必须背离该节点,设为拉力设为拉力,若算出来为负号若算出来为负号,则意为压力则意为压力.列出平面汇列出平面汇交力系的平交力系的平衡方程衡方程-S2cos-S1=0S2sin+NB=0下来再依次研究G、H、F、E、D、C各点即可。45二、

16、截面法二、截面法 (method of sections)有时只需求出部分杆件的内力，可假想的将桁架从某一截面截开，利用平面一般力系的平衡方程求解。所截截面的未知力不能超过三个。所截截面的未知力不能超过三个。46解解：研究整体求支反力 例例 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆的内力。选截面 I-I，取左半部研究IIA478QPabcABabHGEFDCYA XA NB 6543211312111097例:求图示8、9、10三杆的内力。解：一般情况下，应先求出整体的外反力，此处反力已求得。再从只有三个未知力的截面处截开，此处即8、9、10三杆处。弃去一部分，保留另一部分，这里保留左半部：作

17、受力图48s8 8PaADCYA XA 131211109s9 s10 A零杆：若某节点只受三个力，且两力共线，则第三力必为零。列平衡方程：49题1：图示桁架，水平、铅直各杆长均相等，求6、7、8三杆的内力并说明是拉力还是压力。1234510118976P000S6S7解：先找出零杆,L型结点型结点50题2：图示桁架，ABC为等边三角形，E、F为两腰中点，求CD杆的内力。APFEDCB解：先找出零杆ED，mm0沿m-m截面截开，研究右侧，受力如图SCD51说明：说明：节点法：用于设计、计算全部杆内力，工作量节点法：用于设计、计算全部杆内力，工作量比较大，但留有一个节点可以进行校核比较大，但留有

18、一个节点可以进行校核 截面法：用于校核，计算部分杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆都设为拉力，计算结果为负时，说明是压力，先把杆都设为拉力，计算结果为负时，说明是压力，与所设方向相反。与所设方向相反。52第五节第五节 静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念当：独立方程数目独立方程数目=未知数数目时，是未知数数目时，是静定问题静定问题（可求解）（可求解）独立方程数目独立方程数目 m时，刚体是静不定的。56物系（刚体系统）的平衡物系（刚体系统）的平衡n物系：由若干个构件彼此用铰链联结而构成的系统，这个系统又以铰链形式与其他物体（基础物）相联系。n物系的外力：物系外其它物体施加于物

19、系上的力。n物系的内力：物系中各子系统之间的相互作用力。n解物系平衡问题的依据：物系平衡时，其内部各子系统也处于平衡状态。57求解物系平衡问题的技巧：求解物系平衡问题的技巧：n1.物系中各部分的连接充分，自身可处于平衡状态（稳定结构）。可先以整体为研究对象，求出所有外力，然后再分各子系统，根据要求求出内力。n2.物系中各部分连接不充分（不稳固结构），各部分之间可以相对运动 先以某子系统为研究对象，求出部分未知力，再以整体为研究对象，求出所有未知力。58例例：图示三铰拱。已知：图示三铰拱。已知P=6kN，M=5kNm，A=1m。求支座求支座A、B的反力。的反力。BCXCXBYBYCMACXCXA

20、YAYCPXAYAYBXBABCMP2aPa(2)研究对象：研究对象：BC,AC(1)研究对象：整体研究对象：整体6个未知力，6个独立平衡方程4个未知力，3个独立平衡方程59MA BMqA例例:图示连续梁,求A、B、C三处的约束反力。MlqCBAl解：先以BC为研究对象，做受力图列平衡方程XB=0YB+NC-ql=0NCl-ql2/2=0XA-XB=0YA-YB=0MA+M-YBl=0联立求解即可。BCNC YB XB BAXB YB XA YA 再研究AB：（或整体ABC）请同学们研究整体ABC，与上述结果比较。60例例：图示构架，P=1kN，AE=BE=CE=DE=1m，求A处的反力及BC

21、的内力。ABCDEP解：先整体求A处反力：XAYAMA拆开CD：XE YE PCDESCB61例例：图示结构受水平力P作用，ACB与ED两杆在C点用销钉连接，ED与BD两杆在D点铰接并放在光滑斜面上，各杆自重不计，AB水平，ED铅直，BDAD。AC=1.6m、BC=0.9m、EC=CD=1.2m、AD=2m。求A、D两处的反力及杆BD的内力。EDCBAP解：先研究整体：YAXAND再拆开ACB：YAXASBDYCXCACB62讨论：拆开时若不研究ACB，而研究ECD，则受力如下：PYCXCNDSBDECD此时，ND与SBD共线，是不是SBD就直接等于ND呢？EDCBAPYAXAND当A点反力如

22、下图所示时有何不同？63解题须知:对于物系问题，是先拆开还是先整体研究，通常：对于构架，若其整体的外约束反力不超过3个，应先研究整体；否则，应先拆开受力最少的哪一部分。对于连续梁，应先拆开受力最少的哪一部分，不应先整体研究。拆开物系前，应先判断系统中有无二力杆，若有，则先去掉之，代之以对应的反力。在任何情况下，二力杆不作为研究对象，它的重要作用在于提供了力的方向。拆开物系后，应正确地表示作用力和反作用力之间的关系、字母的标注、方程的写法。对于跨过两个物体的分布载荷，不要先简化后拆开，力偶不要搬家。定滑轮一般不要单独研究，而应连同支撑的杆件一起考虑。根据受力图，建立适当的坐标轴，应使坐标轴与尽可

23、能多的力的作用线平行或垂直，以免投影复杂；坐标轴最好画在图外，以免图内线条过多。取矩时，矩心应选在尽可能多的未知力的交点上，以避免方程中出现过多的未知量。64练习题1.图示构架，杆和滑轮的自重不计，物块F重30kN，R=20cm，r=10cm，求A、C两点的约束反力。A40cmFEDCB40cm30cmrR解:先研究整体:XA YA XC YC TD F CDEXC YC XE YE 再拆开CED:65ABCaaMq2a练习题2.梁如图所示，求A、B、C三处的反力。解:先拆开BC:XB YB 再整体:BCNC XA YA MANC 66n本节主要介绍静滑动摩擦及考虑摩擦时物体的平衡问题。摩擦按

24、物体间的运动状态分滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦PNGF第六节第六节 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题671.滑动摩擦：滑动摩擦：两物体接触表面间产生相对滑动或具有相对滑动趋势时所具有的摩擦。两物体表面间只具有滑动趋势而无相对滑动时的摩擦，称为静滑动摩擦（静摩擦）静滑动摩擦（静摩擦）；接触表面间产生相对滑动时的摩擦，称为动滑动摩擦动滑动摩擦（动摩擦）。（动摩擦）。方向方向:恒与物体相对滑动的趋势方向相反 大小大小:一般状态下由平衡方程确定，当物体处于将动未动的临界状态时，由静滑动摩擦定静滑动摩擦定律律计算。Fmax=NfN:法向反力f:静滑动摩擦系数，为常数，由材料决定68F F

25、pF FNF FTF F0 F Fmax作用位置作用位置:作用在两物体的接触面上沿公切线作用在两物体的接触面上沿公切线动动摩摩擦擦定定律律:当水平力FT超过Fmax时，物体开始加速滑动，此时物体所受到的摩擦阻力已由静摩擦力转化为动摩擦力。实验证明，动滑动摩擦力的大小与接触表面间的正压力FN成正比，即：式中比例常数f称为动摩擦系数，其大小除了与两接触物体的材料及表面情况有关外，还与两物体的相对滑动速度有关。692、摩擦角和自锁现象、摩擦角和自锁现象(1)摩擦角的概念摩擦角的概念F FNF FRF Fa)F FNF FRF Fmaxb)把全反力的最大值FRmax与法线FN间的夹角max称为摩擦角摩

26、擦角,用表示70(2)自锁现象自锁现象摩擦锥：摩擦锥：如果物体与支承面的静摩擦系数在各个方向都相同，则摩擦角范围在空间就形成为一个锥体，称为摩擦锥。FQF FR R自锁：自锁：若主动力的合力F FQ Q作用在锥体范围内，则约束面必产生一个与之等值、反向且共线的全反力F FR R与之平衡。无论如何增加力F FQ Q，物体总能保持平衡。全反力作用线不会超出摩擦锥的这种现象称为自锁。自锁条件自锁条件:713.有摩擦的平衡问题有摩擦的平衡问题 有摩擦的平衡问题的解法与平面一般力系的解法基本相同，只是在分析受力时要考虑摩擦力，并正确地判断出摩擦力的方向，考虑临界状态并补充摩擦定律。其结果往往有一个范围。

27、需要注意摩擦力的方向与滑动趋势方向相反，不能随摩擦力的方向与滑动趋势方向相反，不能随意假定意假定。72Q例:重为G的物体放在倾角为的斜面上，今在该物体上作用一水平力Q，问能使该物体保持平衡时Q的范围。已知 f=0.5.解:解除约束，作受力图 考察该物体可能的运动趋势，分别考虑每一运动趋势，画出对应的摩擦力 建立适当的坐标系，列平衡方程73NF1 F2 G若不告诉物体的尺寸，则属汇交力系，否则属于一般力系。在临界状态并补充摩擦定律 Fmax=Nf 将各种趋势的结果比较分析，得出待求的范围.Q(1).下滑时下滑时:摩擦力朝上摩擦力朝上xyQcos+F-Gsin=0-Qsin+N-Gcos=0Fmax=NfQ1=G(sin-fcos)/(cos+fsin)(2).上滑时上滑时:摩擦力朝下摩擦力朝下Q2=G(sin+fcos)/(cos-fsin)Q1 Q Q27475