积分变换1.1Fourier积分.ppt

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1、(3)(4)(5)1积分变换积分变换工程数学工程数学（第四版）2第一章第一章 Fourier变换变换1 Fourier积分分2 Fourier变换3 Fourier变换的性的性质4 卷卷积与相关函数与相关函数5 Fourier变换的的应用用31.1 Fourier积分分4定理定理 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系证证:正交正交,上的积分等于上的积分等于 0.即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在5上的积分不等于上的积分不等于 0.且有且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 同理可证同理可证:6 研究周期函数实际上只须

2、研究其中的一个周期内研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可的情况即可,通常研究在闭区间通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变内函数变化的情况化的情况.并非理论上的所有周期函数都可以用傅里并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近叶级数逼近,而是要而是要满足狄利克雷满足狄利克雷(Dirichlet)条件条件,即在区间即在区间-T/2,T/2上：上：1,连续或只有有限个第一类间断点连续或只有有限个第一类间断点 2,只有有限个极值点只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数。也就这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数。也就是在函数的连续点处，级数可以展开成三角形式

3、。是在函数的连续点处，级数可以展开成三角形式。7第一类间断点和第二类间断点的区别第一类间断点和第二类间断点的区别:第二类间断点第二类间断点第一类间断点第一类间断点8因此因此,任何满足狄氏条件的周期函数任何满足狄氏条件的周期函数 fT(t),可表示可表示为三角级数的形式如下为三角级数的形式如下:(1)为求出为求出a0，两边同时积分，得，两边同时积分，得即即10即即(2)为求为求an，先两边同乘，先两边同乘 ，然后两边同时积分，然后两边同时积分11即即(3)同理同理,为求为求bn,先两边同乘先两边同乘 ，然后两边同，然后两边同时时积分积分12最后可得最后可得:其中其中13为了今后应用上的方便，下面

4、把为了今后应用上的方便，下面把Fourier级数的级数的三角形式转换为复数形式。由三角形式转换为复数形式。由Euler公式，公式，则有则有14如果令如果令15则可以合写为一个式子，则可以合写为一个式子，若令若令则上式可以写为则上式可以写为这就是这就是Fourier级数级数的复指数形式，或者写为的复指数形式，或者写为16 接下来讨论非周期函数的展开问题。接下来讨论非周期函数的展开问题。任何一个非周期函数任何一个非周期函数 f(t)都可以看成是由某个都可以看成是由某个周期函数周期函数 fT(t)当当T时转化而来的。时转化而来的。作周期为作周期为T 的函数的函数 fT(t),使其在使其在-T/2,T

5、/2之内之内等于等于 f(t),在在-T/2,T/2之外按周期之外按周期T 延拓到整个数延拓到整个数轴上轴上,则则T 越大越大,fT(t)与与 f(t)相等的范围也越大相等的范围也越大,这就说明当这就说明当T时时,周期函数周期函数 fT(t)便可转化为便可转化为 f(t),即有即有17Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)18由公式由公式可知可知当当n 取一切整数时，取一切整数时，数轴上，两个相邻的点的距离为数轴上，两个相邻的点的距离为所对应的点便均匀分布在整个所对应的点便均匀分布在整个19如图如图O w w1 w w2 w w3 w wn-1w wnw w所以所以 f(t)又可写为又可

6、写为20则有则有当当当当 t 固定时，固定时，是参数是参数 的函数，的函数，记为记为 ，即，即21此公式称为函数此公式称为函数 f(t)的的Fourier积分公式积分公式。应该指出，。应该指出，上式只是从右端从形式上推出来的，是不严格的。至上式只是从右端从形式上推出来的，是不严格的。至于一个非周期函数于一个非周期函数f(t)在什么条件下，可以用在什么条件下，可以用Fourier积分公式来表示，有接下来的收敛定理。积分公式来表示，有接下来的收敛定理。又又最后可得最后可得22Fourier积分定理积分定理 若若 f(t)在在(-,+)上满足条件上满足条件:1.f(t)在任一有限区间上满足在任一有限

7、区间上满足Dirichlet条件条件;成立，而左端的成立，而左端的 f(t)在它的间断点在它的间断点 t 处，应以处，应以来代替。来代替。在在绝对可积是指绝对可积是指收敛。收敛。2.f(t)在无限区间在无限区间(-,+)上绝对可积上绝对可积,则有则有23(1.4)式也可以转化为三角形式也可以转化为三角形式式24是是的偶函数，的偶函数，可得可得又又因因是是的奇函数，所以的奇函数，所以25当当 f(t)为奇函数时，利用三角函数的和差公式，为奇函数时，利用三角函数的和差公式，在实际应用中，常常要考虑奇函数和偶函数的在实际应用中，常常要考虑奇函数和偶函数的分别是关于分别是关于 的奇函数和偶函数。因此的

8、奇函数和偶函数。因此又又 f(t)是奇函数，则是奇函数，则 和和 Fourier积分公式。积分公式。上面式子可以写为上面式子可以写为26当当 f(t)为偶函数时，同理可为偶函数时，同理可得得它们分别称为它们分别称为Fourier正弦积分公式正弦积分公式和和Fourier余弦积分余弦积分公式。公式。特别，若特别，若 f(t)仅在仅在 上有定义，且满足上有定义，且满足Fourier 积分存在定理的条件，我们可以采用类似于积分存在定理的条件，我们可以采用类似于Fourier 级数中的奇延拓或偶延拓的方法，得到级数中的奇延拓或偶延拓的方法，得到 f(t)相应的相应的Fourier正弦积分展开式或正弦积

9、分展开式或Fourier余弦积分展开余弦积分展开式式27例例 求函数求函数 的的Fourier积分表达式。积分表达式。解解 根据根据Fourier积分公式的复数形式，有积分公式的复数形式，有 28例例 求函数求函数 的的Fourier积分表达式。积分表达式。解解 根据根据Fourier积分公式的复数形式，有积分公式的复数形式，有 当当 时，时，f(t)应以应以 代替代替.29例例 求函数求函数 的的Fourier积分表达式。积分表达式。也可以根据也可以根据 f(t)的奇偶性来计算。因为的奇偶性来计算。因为 f(t)为偶函数，为偶函数，所以由所以由Fourier余弦积分公式，可得，余弦积分公式，可得，30可得可得这就是著名的这就是著名的Dirichlet积分。积分。所以所以因此可知当因此可知当 t=0 时，有时，有32例例 求函数求函数解解 显然，函数是奇函数，且显然，函数是奇函数，且-1,0,1为其间断点，为其间断点，的的Fourier积分。积分。则在连续点处有则在连续点处有33例例 求函数求函数解解的的Fourier积分。积分。且且34例例 求函数求函数解解的的Fourier积分。积分。且且35