函数的孤立奇点及其分类.ppt

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1、1 从上一章可以看出从上一章可以看出,利用将函数利用将函数f(z)在其解析的在其解析的环域环域R1|z-z0|m2时时,z0为函数为函数f1(z)/f2(z)的的m1-m2级零点级零点.28(1)由于由于知知是是的一级零点的一级零点.练习练习是五级零点是五级零点,是二级零点是二级零点.知知是是的一级零点的一级零点.解解(2)由于由于答案答案例例7 求以下函数的零点及级数求以下函数的零点及级数:(1)(2)的零点及级数的零点及级数.求求29定理定理如果如果是是的的 m 级极点级极点,的的 m 级零点级零点.证明证明 如果如果是是的的 m 级极点级极点,则有则有当当 时时,函数函数在在解析且解析且

2、就是就是那末那末反过来也成立反过来也成立.三、用函数的零点判断极点的类型三、用函数的零点判断极点的类型31说明说明简便的方法简便的方法.例例8 函数函数有些什么奇点有些什么奇点,如果是极点如果是极点,指出指出它的级它的级.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使的点的点,这些奇点是这些奇点是孤立奇点孤立奇点.的一级极点的一级极点.即即此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为32解解 解析且解析且所以所以不是不是二级极点二级极点,而是一级极点而是一级极点.是是的几级极点的几级极点?思考思考例例9 问问是是的二级极点吗的二级极点吗?注注:不能以函数的表面形式作出结论不能以

3、函数的表面形式作出结论.3333例例1010求求下下列列函函数数孤孤立立奇奇点点的的类类型型，指指出出极极点点级数级数(1)(1)解：解：z=1z=1和和-1-1为函数为函数f f2 2(z)(z)的奇点，取的奇点，取 和和 ，z=1z=1和和-1-1分别为分别为f f2 2(z)(z)的二级极点和二级极点。的二级极点和二级极点。34(2)解：点解：点z0=0为为f(z)=z 的一级零点；函数的一级零点；函数 的零的零点为点为 ，且且 在这些点处不为零，由定理在这些点处不为零，由定理1，这，这些点为函数些点为函数 的一级零点。由的一级零点。由定理定理2的推论的推论2，z=0为函数为函数 的二级

4、零点，又由推论的二级零点，又由推论1，它，它为为f4(z)的二级极点，同理，的二级极点，同理，为为f4(z)的简单极点的简单极点定义定义 设函数设函数f(z)在无穷远点去心邻域在无穷远点去心邻域内解析内解析,则称点称点为为f(z)的一个的一个孤立奇点孤立奇点.设点设点为为f(z)的孤立奇点的孤立奇点,利用变换利用变换 t=1/z,于是于是在去心邻域在去心邻域:四四*、函数在无穷远点的性态、函数在无穷远点的性态(1)对于扩充对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域平面上无穷远点的去心邻域 N-,有扩充有扩充z平面上的原点的去心邻域平面上的原点的去心邻域;(2)在对应点在对应点z与与z上上,函数函数(3

5、)或两个极限都不存在或两个极限都不存在.定义定义 若若z=0为为的的可去可去奇点奇点(解析点解析点),m级极点级极点或或本性奇点本性奇点,则我们相应地称则我们相应地称z=为f(z)的的可去可去奇点奇点(解析点解析点),m级极点极点或或本性本性奇点奇点.设在去心邻域设在去心邻域K-0:0|z|1/r内将内将展成展成洛朗级数洛朗级数:则有则有其中其中上式为上式为f(z)在无穷远点去心邻域在无穷远点去心邻域N-:0r|z|+内的内的洛朗展式洛朗展式.对应对应在在z=0的的主要部分主要部分.为为f(z)在在z=的的主要部分主要部分.我们称我们称定理定理 f(z)的孤立奇点的孤立奇点z=为为可去奇点的充

6、要条件可去奇点的充要条件是是下列三条中的任何一条成立下列三条中的任何一条成立:(1)f(z)在在 的主要部分为零的主要部分为零;(2)(3)f(z)在在 的某去心邻域的某去心邻域N-内有界内有界.定理定理 f(z)的孤立奇点的孤立奇点z=为m级极点的充要条件极点的充要条件是是下列下列三条中的任何一条三条中的任何一条成立成立:(1)f(z)在在 z=的主要部分为的主要部分为(2)f(z)在在z=的某去心邻域的某去心邻域N-内能表成内能表成其中其中 在在z=的邻域的邻域N内解析内解析,且且(3)g(z)=1/f(z)以以z=为为m级零点级零点(只要令只要令g(z)=0).定理定理 f(z)的孤立奇

7、点的孤立奇点为极点的充要条件极点的充要条件是是定理定理 f(z)的孤立奇点的孤立奇点为为本性奇点本性奇点的充要条件是的充要条件是下列任下列任何一条何一条成立成立:(1)f(z)在在z=的主要部分有的主要部分有无穷多项正幂不等于零无穷多项正幂不等于零;广义不存在广义不存在(即当即当z趋向于趋向于时时,f(z)不趋向于任何不趋向于任何(有限或无穷有限或无穷)极限极限).(2)43本节要点理解孤立奇点的分类（包括无穷远点）理解孤立奇点的分类（包括无穷远点）会用充要条件或求极限的方法判断孤立奇点的具会用充要条件或求极限的方法判断孤立奇点的具体类型体类型.44第第五五章章作业作业：P1831.（1）（2）（6）（7）8.（1）（2）（4）（7）9.（1）（）（2）13.（1）（）（3）（5）