《逆矩阵矩阵的秩》PPT课件.ppt

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1、学习要求学习要求理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件，了解伴随矩阵的概念，会用可逆的充要条件，了解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵；伴随矩阵求逆矩阵；了解分块矩阵的概念及其运算，掌握分块对角了解分块矩阵的概念及其运算，掌握分块对角矩阵的性质；矩阵的性质；理解矩阵的秩的概念。理解矩阵的秩的概念。引言引言 对于数的运算，如果对于数对于数的运算，如果对于数 ，存在数，存在数 ，使得，使得 ，则称数，则称数 为数为数 的倒数，记作的倒数，记作 。从而有从而有 对于矩阵运算，是否有相似之处呢？对于矩阵运算，是否有相似之处呢？逆矩阵的概念逆矩阵

2、的概念 设设A为为n阶方阵，如果存在阶方阵，如果存在n阶方阵阶方阵B，使得，使得AB=BA=E，则称，则称矩阵矩阵B为方阵为方阵A的逆矩阵的逆矩阵，记作，记作B=A-1.逆矩阵也称为逆矩阵也称为非奇异矩阵非奇异矩阵。例如：例如：所以所以当然当然 逆矩阵存在的充分必要条件逆矩阵存在的充分必要条件性质性质 2、逆矩阵存在的、逆矩阵存在的充分必要条件充分必要条件 方阵方阵A可逆可逆且且推论推论：如果：如果A是是n阶方阵，则阶方阵，则推论：如果推论：如果A可逆，则可逆，则注意足标的注意足标的变化变化1、方阵、方阵 的的伴随矩阵伴随矩阵 为元素为元素 的的 代数余子式代数余子式 例例1 判断下面的矩阵是

3、否可逆，如果可逆，则求逆矩阵判断下面的矩阵是否可逆，如果可逆，则求逆矩阵（1）（2）解解 因为因为所以矩阵所以矩阵A可逆可逆所以所以（2）因为）因为所以，矩阵所以，矩阵B不可逆不可逆 例例2 用逆矩阵求解线性方程组用逆矩阵求解线性方程组解解 将方程组改写成矩阵形式，得将方程组改写成矩阵形式，得因为因为因而有因而有所以，系数矩阵所以，系数矩阵A可逆可逆解解 记原矩阵方程为记原矩阵方程为 AXB=C，因为，因为所以，矩阵所以，矩阵 A、B 都可逆都可逆在原方程两边同时在原方程两边同时左乘左乘 A-1，右乘右乘 B-1，得，得例例3 求解矩阵方程求解矩阵方程 逆矩阵的性质逆矩阵的性质 1、逆矩阵是唯

4、一存在的。、逆矩阵是唯一存在的。2、AB=E BA=E3、若、若A可逆，则可逆，则A-1也可逆，且也可逆，且 .4、若、若A可逆，数可逆，数 ，则，则 5、若、若A、B为同阶可逆矩阵，则为同阶可逆矩阵，则 6、若、若A可逆，则可逆，则 7、（此性质可将定义简化）（此性质可将定义简化）解解例例4 设三阶方阵设三阶方阵A的伴随矩阵为的伴随矩阵为 ，且，且 ，求，求矩阵的矩阵的K阶子式的概念阶子式的概念 从矩阵从矩阵A中中任取任取K行行K列列，其交叉位置上的元素，其交叉位置上的元素保持相对位保持相对位置不变置不变，而构成的，而构成的K阶行列式阶行列式，称之为矩阵，称之为矩阵A的一个的一个K阶子式阶子

5、式。如如 则矩阵则矩阵A共有共有 个二阶子式。它们是：个二阶子式。它们是：矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念 矩阵矩阵A中所有中所有不为零的子式不为零的子式的的最高阶数最高阶数，称为，称为矩阵矩阵A的秩的秩，记作记作 R(A)或或 r(A)。显然，如果显然，如果 R(A)=r，则，则 A 中中至少至少有一个有一个 r 阶子式阶子式不等于零不等于零，所有高于所有高于 r 阶的子式都为零阶的子式都为零。例如例如 因为因为 所以所以 如果如果 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 R(A)min(m,n)。特特别当当 R(A)=m 时，称矩，称矩阵 A 为行行满秩秩；当；当 R(A)=n 时，称矩，称矩阵 A 为列列满秩秩；当；当 R(A)=m=n 时，称矩，称矩阵 A 为满秩矩秩矩阵。结论：结论：A可逆可逆A是满秩矩阵是满秩矩阵