《多维随机向量》PPT课件.ppt

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1、一一.随机向量的定义随机向量的定义 随机向量主要用来描述用一维随机变量不能随机向量主要用来描述用一维随机变量不能完全刻划的随机现象。完全刻划的随机现象。例如，随机地抽出一张扑克牌：它具有花色与点例如，随机地抽出一张扑克牌：它具有花色与点数这两个离散随机属性数这两个离散随机属性；导弹的落点与目标之间的误差：由两个连续导弹的落点与目标之间的误差：由两个连续随机变量组成的二维随机向量随机变量组成的二维随机向量；以及更一般的多维随机向量以及更一般的多维随机向量。21.二维随机向量二维随机向量 如果如果 X、Y 都是定义在同一个样本空间中的都是定义在同一个样本空间中的随机变量随机变量，则它们构成的，则它

2、们构成的向量向量(X,Y)就称为一个就称为一个二维随机向量。二维随机向量。2.n 维随机向量维随机向量 定义在同一样本空间中的随机变量定义在同一样本空间中的随机变量 X1,X2,Xn 构成的构成的向量向量(X1,X2,Xn)称为一个称为一个 n 维随机向量。维随机向量。随机向量随机向量(X,Y)的概率性质除了与每一个分量的概率性质除了与每一个分量有关外，还依赖于这两个分量之间的相互关系。有关外，还依赖于这两个分量之间的相互关系。3n元分布函数具有以下性质：元分布函数具有以下性质：、45例例1 1 多项分布多项分布(Multinomial Distribution)6二项分布二项分布如果随机变量

3、 X 的分布律为二项分布的概率背景进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中令 X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数7一元正态分布一元正态分布 的概率密度函数为的概率密度函数为8二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度9二维正态分布的图形二维正态分布的图形10二、二、边缘边缘分布分布 显然，共有显然，共有 个个k维边缘分布函数维边缘分布函数1112 X Y 1 2 3 41 1/4 0 0 02 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1/16 1/16 1/16 1/16 pi =P X=xi p j=

4、P Y=yj 1/41/41/41/425/48 13/48 7/48 3/481例例 二维离散随机向量的边缘分布律二维离散随机向量的边缘分布律13注：注：边缘分布函数由联合分布函数惟一确定；反之不然，即边缘分布函数由联合分布函数惟一确定；反之不然，即不同的分布函数可能有相同的边缘分布函数。不同的分布函数可能有相同的边缘分布函数。例例 设有两个二元分布函数设有两个二元分布函数F(x,y)和和G(x,y)，密度函数分别为，密度函数分别为 显然显然,F(x,y)和和G(x,y)不恒等。但它们的边缘密度函数分别不恒等。但它们的边缘密度函数分别为为 1415(X,Y)N(1,2;12,22;)其中其中

5、 x，y +，参数参数 1,2 +；1,2 0；1 1二维正态分布二维正态分布 则则 X N(1,12)，Y N(2,22)。二维正态的两个边缘分布都不依赖于参数二维正态的两个边缘分布都不依赖于参数 。16三三、随机变量的独立性随机变量的独立性注注意意：在在独独立立条条件件下下，由由随随机机变变量量的的边边缘缘分分布布可可惟惟一一确确定定其联合分布函数。其联合分布函数。17即联合分布密度函数等于边缘分布密度函数之积。即联合分布密度函数等于边缘分布密度函数之积。18 显然，显然，相互独立性可推得两两独立性相互独立性可推得两两独立性，反之不然。，反之不然。19例例 （正态随机变量的独立性）（正态随

6、机变量的独立性）()的联合密度函数为的联合密度函数为，则则YX()()rNYX，设二维随机变量设二维随机变量222121 的边缘密度函数为的边缘密度函数为又随机变量又随机变量 X20的边缘密度函数为的边缘密度函数为随机变量随机变量 Y()的联合密度函数为的联合密度函数为，时，时，所以，当所以，当YXr0=21().0,),(222121=rYXrNYX：件为件为相互独立的充分必要条相互独立的充分必要条与与，对于对于结论：结论：由此得，由此得，0=r特别地，我们有特别地，我们有，有，有，实数实数相互独立，则对任意的相互独立，则对任意的与与反之，如果随机变量反之，如果随机变量yxYX22四四、条件

7、分布与条件数学期望条件分布与条件数学期望设设(X,Y)为离散的，其联合概率分布为为离散的，其联合概率分布为 则则 23设设(X,Y)为连续随机变量，联合密度函数为为连续随机变量，联合密度函数为f(x,y),如如果在定点果在定点x，X的边缘密度的边缘密度 24定义定义 显然有显然有 25同理可得同理可得 也可写成也可写成 由上式可得由上式可得 这就是这就是Bayes公式公式的密度函数形式。的密度函数形式。26条件密度函数的性质条件密度函数的性质，有，有对任意的对任意的性质性质x1()0 yxfYX()12=+-dxyxfYX性质性质()是密度函数是密度函数简言之，简言之，yxfYX()也有类似的

8、性质也有类似的性质对于条件密度函数对于条件密度函数xyfXY27条件概率 链规则（Chain Rule）链规则链规则或或28链规则推广条件概率的定义递归定义：29例例1.91.9()()的密度函数的密度函数机变量机变量上的均匀分布试求随上的均匀分布试求随，服从区间服从区间的条件下的条件下在在时，随机变量时，随机变量布，当布，当上的均匀分上的均匀分，服从区间服从区间设随机变量设随机变量YxxXYxX11010=()=.,0,10,1其它其它xxfX的密度函数为的密度函数为解：随机变量解：随机变量 X下的条件密函数为下的条件密函数为在条件在条件时，随机变量时，随机变量又由题设知，当又由题设知，当x

9、XYx=10()-=.,0,1,11其它其它yxxxyfXY30得得所以，由公式所以，由公式时，时，当当10 y -=.,0,10,11其它其它yxx()()+-=dxyxfyfY，所以，所以，的密度函数为的密度函数为所以，随机变量所以，随机变量 Y()()-=.,0,10,1ln其它其它yyyfY-=ydxx011().1lny-=31定义定义 条件分布的数学期望称为条件分布的数学期望称为条件数学期望条件数学期望.它可用条件分布计算得它可用条件分布计算得 32例例 X表示中国成年人的身高，则表示中国成年人的身高，则E(X)表示中国成年人表示中国成年人的平均身高，的平均身高，我国公安部研究得我

10、国公安部研究得 条件数学期望是条件分布的数学期望条件数学期望是条件分布的数学期望,故故具有数学期望具有数学期望的一切性质的一切性质,如如33证明证明 仅对连续场合证明仅对连续场合证明(3),设设(X,Y)的联合密度函的联合密度函数为数为f(x,y),则则 3435例例 设设走走进进某某百百货货商商店店的的顾顾客客是是均均值值为为35000的的随随机机变变量量，顾顾客客在在商商店店消消费费的的钱钱数数是是相相互互独独立立、均均值值为为52元元的的随随机机变变量量，并并且且任任一一顾顾客客所所消消费费的的钱钱数数与与进进入入该该商商店店的的总总人人数数也也相相互互独独立立，问问该该商商店店一一天天的的平平均均营营业业额额为多少？为多少？3637()()rNYX，222121 ()的联合密度函数为的联合密度函数为，则则YX()服从二元正态分布：服从二元正态分布：，设二维随机变量设二维随机变量YX的边缘密度函数为的边缘密度函数为随机变量随机变量 Y3839五、多维随机变量的数字特征五、多维随机变量的数字特征 404142由柯西不等式得由柯西不等式得 43相关系数的性质有：相关系数的性质有：44