随机过程的统计特性估计、互相关函数、功率谱.ppt

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1、 本次课内容本次课内容n随机过程的特征估计随机过程的特征估计n随机过程的联合分布与互相关函数随机过程的联合分布与互相关函数n随机过程的功率谱随机过程的功率谱6.各态历经随机过程（各态历经随机过程（Ergodic random process）（1 1）随机过程的遍历性（随机过程的遍历性（ErgodicErgodic）定义：对于平稳随机过程定义：对于平稳随机过程X(t)X(t)，若有若有均值遍均值遍历性历性相关函数相关函数遍历性遍历性则则X(t)X(t)为为遍历过程遍历过程。Time averageTime ACF各态历经性的解释：各态历经性的解释：对于遍历过程，由一条样本函数可确定过程的均值对

2、于遍历过程，由一条样本函数可确定过程的均值Check YourselfConsider the process X(t)=A,where A is a random variable with zero mean and variance 2.Which of following is correct?X(t)is a wss RP and ergodic RPX(t)is a sss RP and ergodic RPX(t)is a sss RP and is not a ergodic RPX(t)is not a sss RP.but it is a ergodic RPNone of

3、 allA.B.C.D.E.Check YourselfConsider the process X(t)=A,where A is a random variable with zero mean and variance 2.Which of following is correct?X(t)is a wss RP and ergodic RPX(t)is a sss RP and ergodic RPX(t)is a sss RP and is not a ergodic RPX(t)is not a sss RP.but it is a ergodic RPNone of allA.B

4、.C.D.E.解、解、平稳随平稳随机过程机过程不是各态历经过程不是各态历经过程（2 2）均值和自相关函数估计均值和自相关函数估计对各态历经过程，可以通过对一条样本函数的观测，对各态历经过程，可以通过对一条样本函数的观测，就可以估计出随机过程均值、方差和相关函数。就可以估计出随机过程均值、方差和相关函数。连续随机过程：连续随机过程：随机序列：随机序列：(3)(3)分布函数遍历性分布函数遍历性X(tX(t)分布函数的遍历性等效于分布函数的遍历性等效于Y(tY(t)的均值遍历性的均值遍历性是是X(t)X(t)x x的时间间隔的时间间隔Estimation of PDF2.4 2.4 随机过程的联合分

5、布与互相关函数随机过程的联合分布与互相关函数联合分布函数与联合概率密度联合分布函数与联合概率密度互相关函数及其性质互相关函数及其性质举例举例1.联合分布函数和联合概率密度联合分布函数和联合概率密度 Joint distribution function and join probability densities n+mn+m维联合分布函数：维联合分布函数：n+mn+m维联合概率密度：维联合概率密度：平稳相依：平稳相依：如果如果X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)的联合统计特性不随时间起点的平移而的联合统计特性不随时间起点的平移而变化，则称变化，则称X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)是严格联

6、合平稳的是严格联合平稳的(joint(joint strict sense stationary)strict sense stationary)。即。即 2.互相关（互相关（Crosscorrelation）函数及性质）函数及性质互协方差（互协方差（Crosscovariance）函数）函数若若 ，则，则X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)正交；正交；若若 ，则，则X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)不相关；不相关；则称则称X(t)与与Y(t)广义联合平稳广义联合平稳(jointly wide sense stationary)如果如果互相关函数的性质：互相关函数的性质：若若X(t)X(t)

7、与与Y(t)Y(t)是联合平稳的，则是联合平稳的，则 Z(t)=X(t)+Y(t)Z(t)=X(t)+Y(t)是平稳过程，是平稳过程，且且3 3、互相关系数、互相关系数又称归一化又称归一化互协方差函互协方差函数或标准互数或标准互协方差函数协方差函数例例2.14 2.14 设设解、解、其中其中 0 0 为常数，为常数，在在(0(0，2 2)上均匀分布，求互协方差上均匀分布，求互协方差函数。函数。An Example of Signal Processing Determine the distance based on ACF.Consider a system(see Figure)where

8、 a signal source produces a random signal,being a realization of a stochastic process.研讨题研讨题(课程论文）：课程论文）：A Comparative Study of Time-Delay Estimation Techniques Using Microphone Arrays.随机过程的功率谱随机过程的功率谱2.5 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度（Power Spectral Density,PSD)连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过程的功率谱 定义定义 功率谱密度与相关函数关系功率谱密度

9、与相关函数关系 功率谱的性质功率谱的性质随机序列的功率谱随机序列的功率谱随机过程的功率谱随机过程的功率谱1.1.定义（定义（Definition of PSD)Definition of PSD)频谱：频谱：回顾频谱的概念回顾频谱的概念2.5.1 2.5.1 连续时间信号的功率谱连续时间信号的功率谱频谱存在的条件频谱存在的条件随机过程的功率谱随机过程的功率谱能量有限的信号称为能量型信号能量有限的信号称为能量型信号能量谱密度：能量谱密度：根据根据ParsevalParseval定理定理能谱密度存在的条件：能谱密度存在的条件：随机过程的功率谱随机过程的功率谱功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号

10、功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号随机信号的样本函数能量是无限的随机信号的样本函数能量是无限的,但功率往往是有限的但功率往往是有限的.随机过程的功率谱随机过程的功率谱随机过程的样本函数及其截尾函数随机过程的样本函数及其截尾函数 随机过程的功率谱随机过程的功率谱随机变量随机变量随机过程的功率谱随机过程的功率谱定义随机过程的功率谱密度为：定义随机过程的功率谱密度为：随机过程的功率谱随机过程的功率谱功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征,表示单位频带内信号的频率分量消耗在单位电阻上的表示单位频带内信号的频率分量消耗在单位电阻上的平均功率的统

11、计平均值平均功率的统计平均值.缺陷缺陷:不含相位信息不含相位信息随机过程的功率谱随机过程的功率谱2.2.功率谱密度与相关函数关系功率谱密度与相关函数关系维纳辛钦定理维纳辛钦定理条件条件:平均功率有限平均功率有限要求均值为零要求均值为零随机过程的功率谱随机过程的功率谱平均功率平均功率随机过程的功率谱随机过程的功率谱由相关函数的性质由相关函数的性质:随机过程的功率谱随机过程的功率谱物理谱定义：物理谱定义：随机过程的功率谱随机过程的功率谱3.3.功率谱的性质功率谱的性质(3)(3)相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。越

12、宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。(1)(1)若随机过程均值非零，则功率谱在原点有一若随机过程均值非零，则功率谱在原点有一 函数；函数；若含有周期分量，则在相应的频率处有若含有周期分量，则在相应的频率处有 函数；函数；(2)(2)对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；函数；总的平均功率总的平均功率随机过程的功率谱随机过程的功率谱(4)(4)随机过程的有理谱形式：随机过程的有理谱形式：性质：性质：nm;nm;零、极点共轭成对零、极点共轭成对随机过程的功率谱随机过程的功率谱o oo oo oo oo oo oS S平面上可能的零、极点位置平面上可能

13、的零、极点位置 随机过程的功率谱随机过程的功率谱谱分解定理谱分解定理随机过程的功率谱随机过程的功率谱4.4.功率谱密度计算举例功率谱密度计算举例例例2.15 2.15 随机相位信号随机相位信号随机过程的功率谱随机过程的功率谱例例2.16 2.16 已知谱密度为已知谱密度为 求相关函数。求相关函数。解、解、由因式分解由因式分解由公式：由公式：随机过程的功率谱随机过程的功率谱随机过程的功率谱随机过程的功率谱例、若平稳过程例、若平稳过程X(t)X(t)的功率谱密度为的功率谱密度为 求相关函数。求相关函数。解、解、当当Example(line spectra):Suppose that the RVs

14、 ai are uncorrelated with zero mean and variance .LetSuppose RVs ai and bi are uncorrelated with zero mean and Example:Consider the processAn interesting applicationDoppler effect:A harmonic oscillator located at a point P of x axis movies in the x direction with velocity v.The emitted signal equals

15、 and the signal received by an observer located at the origin O equalsPoPoEmitted spectrumReceived spectrumWe note that if v=0,thenThus,the motion causes broadening of the spectrum of s(t)2.5.3 互功率谱密度（互功率谱密度（Cross-Power Spectral Density)Definition:Wiener-Khinchin Theorem:Properties of CPSD:is an eve

16、n functionis an odd function2.5.4 非平稳随机过程的功率谱非平稳随机过程的功率谱 Power spectral density of nonstationary process 功率谱的定义功率谱的定义对平稳和非平稳过程都是适应的。但实际中很难根对平稳和非平稳过程都是适应的。但实际中很难根据上式确定功率谱，对于非平稳过程需要寻找其它据上式确定功率谱，对于非平稳过程需要寻找其它方法。方法。随机过程的功率谱随机过程的功率谱收敛域是一个包含单位圆的环形区域收敛域是一个包含单位圆的环形区域其中其中C C是收敛域内包含平面原点逆时针的闭合围线是收敛域内包含平面原点逆时针的

17、闭合围线 2.5.2 2.5.2 随机序列的功率谱随机序列的功率谱随机过程的功率谱随机过程的功率谱由于由于 G GX X(z z)的收敛域包含单位圆，因此可以令的收敛域包含单位圆，因此可以令 2 2 为周期的周期函为周期的周期函数数随机过程的功率谱随机过程的功率谱随机序列功率谱的性质随机序列功率谱的性质 功率谱是实偶函数功率谱是实偶函数功率谱密度是非负功率谱密度是非负随机过程的功率谱随机过程的功率谱如果随机序列的功率谱具有有理谱的形式如果随机序列的功率谱具有有理谱的形式,那么那么,功率谱可以进行谱分解功率谱可以进行谱分解 功率谱中所有零极功率谱中所有零极点在单位圆内的那点在单位圆内的那一部分一

18、部分 功率谱中所有零极功率谱中所有零极点在单位圆外的那点在单位圆外的那一部分一部分 随机过程的功率谱随机过程的功率谱成对出现成对出现随机过程的功率谱随机过程的功率谱例例2.17 随机过程的功率谱随机过程的功率谱随机过程的功率谱随机过程的功率谱例例2.18 2.18 设设X(nX(n)为一个平稳随机序列，在许多信号为一个平稳随机序列，在许多信号处理系统中常做抽取和内插的处理，分析对它做抽处理系统中常做抽取和内插的处理，分析对它做抽取后，它的平稳性和功率谱密度的变化情况。取后，它的平稳性和功率谱密度的变化情况。解解:抽取抽取扔掉奇数项扔掉奇数项02458910136711n024513nX(n)Y(n)图2.15 随机序列的抽取随机过程的功率谱随机过程的功率谱平稳平稳随机过程的功率谱随机过程的功率谱高频项功率谱出现混叠现象高频项功率谱出现混叠现象 随机过程的功率谱随机过程的功率谱