2019年度全国中考'数学(续61套-)压轴题分类解析汇编专题栏目9.几何综合问题.doc

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1、20192019 年全国中考数学（续年全国中考数学（续 6161 套）压轴题分类解析汇编套）压轴题分类解析汇编专题 9：几何综合问题24. （2018 湖北恩施 12 分）如图，AB 是O 的弦，D 为 OA 半径的中点，过 D 作 CDOA 交弦 AB 于点 E，交O 于点 F，且 CE=CB（1）求证：BC 是O 的切线；（2）连接 AF，BF，求ABF 的度数；（3）如果 CD=15，BE=10，sinA=，求O 的半径5 13【答案】解：（1）证明：连接 OB，OB=OA，CE=CB，A=OBA，CEB=ABC。又CDOA，A+AED=A+CEB=90。OBA+ABC=90。OBBC。

2、BC 是O 的切线。（2）连接 OF，AF，BF，DA=DO，CDOA，OAF 是等边三角形。AOF=60。ABF=AOF=30。1 2（3）过点 C 作 CGBE 于点 G，由 CE=CB，EG=BE=5。1 2易证 RtADERtCGE，sinECG=sinA=，5 13。EG5CE=135sin ECG 13。2222CGCEEG13512又CD=15，CE=13，DE=2，由 RtADERtCGE 得，即，解得。ADDE CGGEAD2 12524AD5O 的半径为 2AD=。48 5【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的

3、判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】 （1）连接 OB，有圆的半径相等和已知条件证明OBC=90即可证明 BC 是O 的切线。（2）连接 OF，AF，BF，首先证明OAF 是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出ABF 的度数。（3）过点 C 作 CGBE 于点 G，由 CE=CB，可求出 EG=BE=5，由 RtADERt1 2CGE 和勾股定理求出 DE=2，由 RtADERtCGE 求出 AD 的长，从而求出O 的半径。25. （2018 黑龙江哈尔滨 10 分）已知：在ABC 中，ACB=900，点 P 是线段 AC 上一点，过点 A 作 AB 的垂

4、线，交 BP 的延长线于点 M，MNAC 于点 N，PQAB 于点 Q，A0=MN（1）如图 l，求证：PC=AN；（2） 如图 2，点 E 是 MN 上一点，连接 EP 并延长交 BC 于点 K，点 D 是 AB 上一点，连接DK，DKE=ABC，EFPM 于点 H，交 BC 延长线于点 F，若 NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ 的长【答案】解：（1）证明：BAAM，MNAP，BAM=ANM=90。PAQ+MAN=MAN+AMN=90，PAQ=AMN。PQAB MNAC，PQA=ANM=90。AQ=MN。AQPMNA（ASA） 。AN=PQ，AM=AP。AMB=APM。APM=

5、BPCBPC+PBC=90，AMB+ABM=90，ABM=PBC。PQAB，PCBC，PQ=PC（角平分线的性质） 。PC=AN。（2）NP=2 PC=3，由（1）知 PC=AN=3。AP=NC=5，AC=8。AM=AP=5。22AQMNAMAN4PAQ=AMN，ACB=ANM=90，ABC=MAN。MN 4tan ABCtan MANAN3，BC=6。ACtan ABCBCNEKC，PEN=PKC。又ENP=KCP，PNEPCK。NENP CKPCCK：CF=2：3，设 CK=2k，则 CF=3k。，。NE2 2k34NEk3过 N 作 NTEF 交 CF 于 T，则四边形 NTFE 是平行

6、四边形。NE=TF=，CT=CFTF=3k。4k345k=k33EFPM，BFH+HBF=90=BPC+HBF。BPC=BFH。EFNT，NTC=BFH=BPC。BCtan NTCtan BPC2PC，。NCtan NTC2CT15CTNC=22CT= 。 。CK=2=3，BK=BCCK=3。55k=323k=23 2PKC+DKC=ABC+BDK，DKE=ABC，BDK=PKC。tanBDK=1。PCtan PKC1KC过 K 作 KGBD 于 G。tanBDK=1，tanABC=，设 GK=4n，则 BG=3n，GD=4n。4 3BK=5n=3，n=。BD=4n+3n=7n=。3 521

7、5，AQ=4，BQ=ABAQ=6。22ABACBC10DQ=BQBD=6。219=55【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】 （1）确定一对全等三角形AQPMNA，得到 AN=PQ；然后推出 BP 为角平分线，利用角平分线的性质得到 PC=PQ；从而得到 PC=AN。（2）由已知条件，求出线段 KC 的长度，从而确定PKC 是等腰直角三角形；然后在BDK 中，解直角三角形即可求得 BD、DQ 的长度。26. （2018 湖北十堰 10 分）如图 1，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，

8、ODAC，且CBD=BAC，OD 交O 于点 E（1）求证：BD 是O 的切线；（2）若点 E 为线段 OD 的中点，证明：以 O、A、C、E 为顶点的四边形是菱形；（3）作 CFAB 于点 F，连接 AD 交 CF 于点 G（如图 2） ，求的值FG FC【答案】解：（1）证明：AB 是O 的直径，BCA=90。ABC+BAC=90。又CBD=BAC，ABC+CBD=90。ABD=90。OBBD。BD 为O 的切线。（2）证明：如图，连接 CE、OC，BE， OE=ED，OBD=90，BE=OE=ED。OBE 为等边三角形。BOE=60。又ODAC，OAC=60。又OA=OC，AC=OA=O

9、E。ACOE 且 AC=OE。四边形 OACE 是平行四边形。而 OA=OE，四边形 OACE 是菱形。（3）CFAB，AFC=OBD=90。又ODAC，CAF=DOB。RtAFCRtOBD。，即。FCAF BDOBBD AFFCOB又FGBD，AFGABD。，即。FGAF BDABBD AFFGAB。FGOB1 FCAB2【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）由 AB 是O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到BCA=90，则ABC+BAC

10、=90，而CBD=BA，得到ABC+CBD=90，即 OBBD，根据切线的判定定理即可得到 BD 为O 的切线。（2）连接 CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则OBE 为等边三角形，于是BOE=60，又因为 ACOD，则OAC=60，AC=OA=OE，即有 ACOE 且 AC=OE，可得到四边形 OACE 是平行四边形，加上 OA=OE，即可得到四边形 OACE 是菱形。（3）由 CFAB 得到AFC=OBD=90，而 ODAC，则CAF=DOB，根据相似三角形的判定易得 RtAFCRtOBD，则有，即，再由 FGBD 易证得FCAF BDOBBD

11、 AFFCOBAFGABD，则，即，然后求 FG 与 FC 的比即可。FGAF BDABBD AFFGAB27. （2018 江苏镇江 11 分）等边ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合） ，连接 AP，以 AP 为边向两侧作等边APD 和等边APE，分别与边 AB、AC 交于点M、N（如图 1） 。（1）求证：AM=AN；（2）设 BP=x。若，BM=，求 x 的值；3 8记四边形 ADPE 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值；连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2） ，当 x 取何值时，BA

12、D=150？并判断此时以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解：（1）证明：ABC、APD 和APE 都是等边三角形，AD=AP，DAP=BAC=600，ADM=APN=600。DAM=PAN。ADMAPN（ASA） ，AM=AN。（2）易证BPMCAP，BMBP CPCABN=，AC=2，CP=2x，即。3 83 x8 2x224x8x+3=0解得 x=或 x=。1 23 2四边形 AMPN 的面积即为四边形 ADPE 与ABC 重叠部分的面积。ADMAPN，。ADMAPNSS。APMANPAPMADMADPAMPNSSS SSS四四 边如图，

13、过点 P 作 PSAB 于点 S，过点 D 作 DTAP 于点 T，则点 T是 AP 的中点。在 RtBPS 中，P=600，BP=x，PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x3 21 2。AB=2，AS=ABBC=2x。1 222 222213APASPS2x+x=x2x+4 22四。2 ADP1133SAP DTAPAP=AP2224。222 ADPAMPN3333 3SSSAPx2x+4x1+0x24444四四 边当 x=1 时，S 的最小值为。3 3 4连接 PG，设 DE 交 AP 于点 O。若BAD=150，DAP =600，PAG =450。APD 和APE 都是等

14、边三角形，AD=DP=AP=PE=EA。四边形 ADPE 是菱形。DO 垂直平分 AP。GP=AG。APG =PAG =450。PGA =900。设 BG=t，在 RtBPG 中，B=600，BP=2t，PG=。AG=PG=。3t3t，解得 t=1。BP=2t=22。3t+t=233当 BP=22 时，BAD=150。3猜想：以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。四边形 ADPE 是菱形，AODE，ADO=AEH=300。BAD=150，易得AGO=450，HAO=150，EAH=450。设 AO=a，则 AD=AE=2 a，OD=a。DG=DOGO=（1）a。33又B

15、AD=150，BAC=600，ADO=300，DHA=DAH=750。DH=AD=2a，GH=DHDG=2a（1）a=（3）a，33HE=2DODH=2a2a=2（1）a。33，22222DGGH31 a+33 a= 168 3 a，222HE231 a= 168 3 a。222DGGHHE以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】 （1）由ABC、APD 和APE 都是等边三角形可得边角

16、的相等关系，从而用 ASA证明。（2）由BPMCAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，ADPAMPNSS四四 边 用 x 的代数式表示 S，用二次函数的最值原理求出 S 的最小值。由BAD=150得到四边形 ADPE 是菱形，应用相关知识求解。求出 DG、GH、HE 的表达式，用勾股定理逆定理证明。28. （2018 福建三明 14 分）在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 P 在线段 BC上（不含点 B） ，BPEACB，PE 交 BO 于点 E，过点 B 作 BFPE，垂足为 F，交 AC 于1 2点

17、 G（1） 当点 P 与点 C 重合时（如图） 求证：BOGPOE；（4 分）（2）通过观察、测量、猜想：= ，并结合图证明你的猜想；（5 分）BF PE（3）把正方形 ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图） ，若ACB=，求的值 （用含 的式子表示） （5 分） BF PE【答案】解：（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，P 与 C 重合，OB=OP ， BOC=BOG=90。PFBG ，PFB=90，GBO=90BGO，EPO=90BGO。GBO=EPO 。BOGPOE（AAS） 。（2）。证明如下：BF1 PE2如图，过 P 作 PM/AC 交 BG 于 M，交 BO 于 N，PNE

18、=BOC=900， BPN=OCB。OBC=OCB =450， NBP=NPB。NB=NP。MBN=900BMN， NPE=900BMN，MBN=NPE。BMNPEN（ASA） 。BM=PE。BPE=ACB，BPN=ACB，BPF=MPF。1 2PFBM，BFP=MFP=900。又PF=PF， BPFMPF（ASA） 。BF=MF ，即 BF=BM。1 2BF=PE， 即。1 2BF1 PE2（3）如图，过 P 作 PM/AC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N，BPN=ACB=，PNE=BOC=900。由（2）同理可得 BF=BM， MBN=EPN。 1 2BNM=PNE=900，BMN

19、PEN。BMBN PEPN在 RtBNP 中， ，即。BNtan=PNBM=tanPE2BF=tanPE。BF1=tanPE2【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】 （1）由正方形的性质可由 AAS 证得BOGPOE。（2）过 P 作 PM/AC 交 BG 于 M，交 BO 于 N，通过 ASA 证明BMNPEN 得到BM=PE，通过 ASA 证明BPFMPF 得到 BF=MF，即可得出的结论。BF1 PE2（3）过 P 作 PM/AC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N，同（2）证得 BF=BM， 1 2MBN=EPN

20、，从而可证得BMNPEN，由和 RtBNP 中即可求得BMBN PEPNBNtan=PN。BF1=tanPE229. （2018 辽宁沈阳 12 分）已知，如图，MON=60，点 A，B 为射线 OM，ON 上的动点（点 A，B 不与点 O 重合） ，且 AB=，在MON 的内部、AOB 的外部有一点 P，且34AP=BP，APB=120.（1）求 AP 的长；（2）求证：点 P 在MON 的平分线上；（3） 如图，点 C，D，E，F 分别是四边形 AOBP 的边 AO，OB，BP，PA 的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.当 ABOP 时，请直接写出四边形 CDEF 的周长的值；若四边

21、形 CDEF 的周长用 t 表示，请直接写出 t 的取值范围【答案】解： (1) 过点 P 作 PQAB 于点 Q PA=PB，APB=120 ，AB=4，3AQ=AB=4=2 ，APQ=APB=120=60。1 21 2331 21 2在 RtAPQ 中， sinAPQ=AQ APAP= 4。AQ2 32 3 sinAPQsin603 2（2）证明：过点 P 分别作 PSOM 于点 S， PTON 于点 T，OSP=OTP=90。在四边形 OSPT 中，SPT=360-OSP-SOT-OTP=360-90-60-90=120，APB=SPT=120。 APS=BPT。又ASP=BTP=90，

22、 AP=BP，APSBPT（AAS） 。 PS=PT。点 P 在MON 的平分线上。（3） 8+4 4+4t8+4。333【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理【分析】 （1）过点 P 作 PQAB 于点 Q根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知 AQ=BQ=AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得 AP 的长度。1 2（2）作辅助线 PS、PT（过点 P 分别作 PSOM 于点 S，PTON 于点 T）构建全等三角形APSBPT；然后根据全等三角形的性质推知 PS=OT；最

23、后由角平分线的性质推知点 P 在MON 的平分线上。（3）利用三角形中位线定理知四边形 CDEF 的周长的值是 OP+AB。当 ABOP 时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得 OP 的长度；当 ABOP 时，OP 取最大值，即四边形 CDEF 的周长取最大值；当点 A 或 B 与点O 重合时，四边形 CDEF 的周长取最小值，据此写出 t 的取值范围。30. （2018 辽宁大连 12 分）如图 1，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC2BCD2，点 E在 AD 上，点 F 在 DC 上，且BEF=A. （1）BEF=_(用含 的代数式表示)；（2）当 ABAD 时，猜想线段 ED、

24、EF 的数量关系，并证明你的猜想；（3）当 ABAD 时，将“点 E 在 AD 上”改为“点 E 在 AD 的延长线上，且AEAB，ABmDE，ADnDE” ，其他条件不变（如图 2） ，求的值（用含 m、n 的代数式EB EF表示） 。【答案】解：（1）1802。（2）EB=EF。证明如下：连接 BD 交 EF 于点 O，连接 BF。ADBC，A=180-ABC=1802，ADC=180C=180-。AB=AD，ADB=（180A）=。1 2BDC=ADCADB=1802。由（1）得：BEF=1802=BDC。又EOB=DOF，EOBDOF。，即。OEOB=ODOFOEOD=OBOFEOD=

25、BOF，EODBOF。EFB=EDO=。EBF=180BEFEFB=EFB。EB=EF。（3） 延长 AB 至 G，使 AG=AE，连接 BE，GE，则G=AEG=。1801802180A=22ADBC，EDF=C=，GBC=A，DEB=EBC。EDF=G。BEF=A，BEF=GBC。GBC+EBC=DEB+BEF，即EBG=FED。DEFGBE。EBBG=EFDEAB=mDE，AD=nDE，AG=AE=（n+1）DE。BG=AGAB=（n+1）DEmDE=（n+1m）DE。EBn1mDE=n1mEFDE 四四【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】

26、 （1）由梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=2BCD=2，根据平行线的性质，易求得A 的度数，又由BEF=A，即可求得BEF 的度数：梯形 ABCD 中，ADBC，A+ABC=180。A=180ABC=1802。又BEF=A，BEF=A=1802。（2）连接 BD 交 EF 于点 O，连接 BF，由 AB=AD，易证得EOBDOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得 ，从而可证得EODBOF，又由相似三角形的OEOB=ODOF对应角相等，易得EBF=EFB=，即可得 EB=EF。（3）延长 AB 至 G，使 AG=AE，连接 BE，GE，易证得DEFGBE，然后由相似三角形的对应边成比例，

27、即可求得 的值。EB EF31. （2018 辽宁鞍山 12 分）如图，正方形 ABCO 的边 OA、OC 在坐标轴上，点 B 坐标（3，3） ，将正方形 ABCO 绕点 A 顺时针旋转角度 （090） ，得到正方形ADEF，ED 交线段 OC 于点 G，ED 的延长线交线段 BC 于点 P，连 AP、AG（1）求证：AOGADG；（2）求PAG 的度数；并判断线段 OG、PG、BP 之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2 时，求直线 PE 的解析式【答案】解：（1）证明：AOG=ADG=90，在 RtAOG 和 RtADG 中，AO=AD，AG=AG，AOGADG（HL） 。（2）PAG

28、=45,PG=OG+BP。理由如下：由（1）同理可证ADPABP，则DAP=BAP。由（1）AOGADG，1=DAG。又1+DAG+DAP+BAP=90，2DAG+2DAP=90，即DAG+DAP=45。PAG=DAG+DAP=45。AOGADG，ADPABP，DG=OG，DP=BP。PG=DG+DP=OG+BP。（3）AOGADG，AGO=AGD。又1+AGO=90，2+PGC=90，1=2，AGO=AGD=PGC。又AGO+AGD+PGC=180，AGO=AGD=PGC=60。1=2=30。在 RtAOG 中，AO=3，OG=AOtan30=，3G 点坐标为：（，0） ，CG=3。33在

29、RtPCG 中，PC=，P 点坐标为：（3，0CG33= 31tan303 3） 。31 设直线 PE 的解析式为 y=kx+b，则，解得。3k+b=03k+b= 313k=3 b=1 直线 PE 的解析式为 y=x1。3 3【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】 （1）由 AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证AOGADG。（2）利用（1）的方法，同理可证ADPABP，得出1=DAG，DAP=BAP，而1+DAG+DAP+BAP=90，由此可求PAG 的度数；

30、根据两对全等三角形的性质，可得出线段 OG、PG、BP 之间的数量关系。（3）由AOGADG 可知，AGO=AGD，而1+AGO=90，2+PGC=90，当1=2 时，可证AGO=AGD=PGC，而AGO+AGD+PGC=180，得出AGO=AGD=PGC=60，即1=2=30，解直角三角形求 OG，PC，确定 P、G 两点坐标，得出直线 PE 的解析式。32. （2018 山东威海 11 分）探索发现：已知：在梯形 ABCD 中，CDAB，AD、BC 的延长线相交于点 E，AC、BD 相交于点 O，连接 EO 并延长交 AB 于点 M，交 CD 于点 N。（1）如图，如果 AD=BC，求证：

31、直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线；（2）如图，如果 ADBC，那么线段 AM 与 BM 是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺（没有刻度） ，试作出图中的矩形 ABCD 的一条对称轴。 （写出作图步骤，保留作图痕迹）【答案】解：（1）证明：AD=BC，CDAB，AC=BD，DAB=CBA。AE=BE。点 E 在线段 AB 的垂直平分线上。在ABD 和BAC 中，AB=BA，AD=BC，AC=BD，ABDBAC（SSS） 。DBA=CAB。OA=OB。点 O 在线段 AB 的垂直平分线上。直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线。（2）相等。理由如下：CDAB，EDNEAM，ENCEMB，

32、EDCEAB。DNDECNCEDECE AMAEBMBEAEBE ，DNCN AMBMBMCN AMDNCDAB，ONDOMB，ONCOMA，OCDOAB。DNODCNOCODOC BMOBAMOAOBOA ，DNCN BMAMAMCN BMDN。AM2=BM2。AM=BM。BMAM AMBM（3）作图如下：作法： 连接 AC，BD，两线相交于点 O1； 在梯形 ABCD 外 DC 上方任取一点 E，连接 EA，EB，分别交 DC于点 G，H； 连接 BG，AH，两线相交于点 O2； 作直线 EO2，交 AB 于点 M； 作直线 MO1。则直线 MO1。就是矩形 ABCD 的一条对称轴。【考点

33、】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。【分析】 （1）一方面由已知可得点 E 在线段 AB 的垂直平分线上；另一方面可由 SSS 证明ABDBAC，从而得DBA=CAB，因此 OA=OB，得出点 O 在线段 AB 的垂直平分线上。从而直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线。（2）一方面由 CDAB，得EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB，利用对应边成比例可得；另一方面由 CDAB，得ONDOMB，ONCOMA，BMCN AMDNOCDOAB，利用对应边成比例可得。从而得到，即可得到 AM=BMAMCN BMDNBMAM AMBM的结论

34、。（3）按（2）的结论作图即可。33. （2018 四川泸州 9 分）如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，C 是的弧 AD 中点，弦 CEAB于点 H，连结 AD，分别交 CE、BC 于点 P、Q，连结 BD。(1)求证：P 是线段 AQ 的中点；(2)若O 的半径为 5，AQ=，求弦 CE 的长。15 2【答案】解：（1）证明：AB 是O 的直径，弦 CEAB，。AAACAE又C 是弧的中点，AAD。ACP=CAP。PA=PC。AAACCDAAAECDAB 是直径ACB=90。PCQ=90ACP，CQP=90CAP。PCQ=CQP。PC=PQ。PA=PQ，即 P 是 AQ 的中点。（

35、2），CAQ=ABC。AAACCD又ACQ=BCQ，CAQCBA。ACAQ BCBA又AQ=，BA=10，。15 215 AC32 BC104设 AC=3k， BC=4k，则由勾股定理得，解得 k=2。 2223k4k10AC=6，BC=8。根据直角三角形的面积公式，得：ACBC=ABCH，68=10CH。CH=。24 5又CH=HE，CE=2CH=。48 5【考点】圆的综合题，圆周角定理。垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】 （1）首先利用等角对等边证明：ACP=CAP 得到：PA=PC，然再证明 PC=PQ，即可得到 P 是 AQ 的中点。（2）首先证明：CAQCBA，依据

36、相似三角形的对应边的比相等求得 AC、BC 的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得 CH 的长，则可以求得 CE 的长。34. （2018 四川成都 10 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，过 CD 延长线上一点E 作O 的切线交 AB 的延长线于 F切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K（1）求证：KE=GE；（2）若2KG=KDGE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由；（3） 在（2）的条件下，若 sinE=，AK=，求 FG 的长3 52 5【答案】解：（1）证明：如答图 1，连接 OG。EG 为切线，KGE+OGA=90。CDAB，AKH+OAG=

37、90。又 OA=OG，OGA=OAG。KGE=AKH=GKE。KE=GE。（2）ACEF，理由如下：连接 GD，如答图 2 所示。KG2=KDGE，。KGKD GEKG又KGE=GKE，GKDEGK。E=AGD。又C=AGD，E=C。ACEF。（3）连接 OG，OC，如答图 3 所示。由（2）E=ACH，sinE=sinACH=。3 5可设 AH=3t，则 AC=5t，CH=4t。KE=GE，ACEF，CK=AC=5t。HK=CKCH=t。在 RtAHK 中，根据勾股定理得 AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（）2，解得 t=。2 52设O 半径为 r，在 RtOCH 中，OC=r，

38、OH=r3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r3t）2+（4t）2=r2，解得 r=t=25 6。2526 EF 为切线，OGF 为直角三角形。在 RtOGF 中，OG=r=，tanOFG=tanCAH=，2526CH4 AH3FG=。252OG25624tan OFG8 3【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。【分析】 （1）如答图 1，连接 OG根据切线性质及 CDAB，可以推出连接KGE=AKH=GKE，根据等角对等边得到 KE=GE。（2）AC 与 EF 平行，理由为：如

39、答图 2 所示，连接 GD，由KGE=GKE，及KG2=KDGE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出GKD 与EKG 相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到C=AGD，可推知E=C，从而得到 ACEF。（3）如答图 3 所示，连接 OG，OC首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在 RtOGF 中，解直角三角形即可求得 FG 的长度。35. （2018 广西钦州 10 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，直线 EF 经过点 C，ADEF于点 D，DAC=BAC（1）求证：EF 是O 的切线；（2）求证：AC2=ADAB；（3）若O 的半径为 2，ACD=30，

40、求图中阴影部分的面积【答案】解：（1）证明：连接 OC，OA=OC，BAC=OCA。DAC=BAC，OCA=DAC。OCAD。ADEF，OCEF。OC 为半径，EF 是O 的切线。（2）证明：AB 为O 直径，ADEF，BCA=ADC=90。DAC=BAC，ACBADC。AC2=ADAB。ADAC ACAB（3）ACD=30，OCD=90，OCA=60.OC=OA，OAC 是等边三角形。AC=OA=OC=2，AOC=60。在 RtACD 中，AD=AC=1。1 2由勾股定理得：DC=，3阴影部分的面积是 S=S梯形 OCDAS扇形 OCA=（2+1）1 23。26023 32 36023【考点

41、】圆的综合题，等腰（边）三角形的判定和性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积。【分析】 （1）连接 OC，根据 OA=OC 推出BAC=OCA=DAC，推出 OCAD，得出 OCEF，根据切线的判定推出即可。（2）证ADCACB，得出比例式，即可推出答案。（3）求出等边三角形 OAC，求出 AC、AOC，在 RtACD 中，求出 AD、CD，求出梯形 OCDA 和扇形 OCA 的面积，相减即可得出答案。36. （2018 广西贵港 11 分）如图，RtABC 的内切圆O 与 AB、BC、CA 分别相切于点D、E、F，且ACB90，AB5，

42、BC3。点 P 在射线 AC 上运动，过点 P 作 PHAB，垂足为 H。（1）直接写出线段 AC、AD 以及O 半径的长；（2）设 PHx，PCy，求 y 关于 x 的函数关系式；（3）当 PH 与O 相切时，求相应的 y 值。【答案】解：（1）AC=4；AD=3，O 半径的长为 1。（2）在 RtABC 中，AB=5，AC=4，则 BC=3。C=90，PHAB，C=PHA=90。A=A， AHPACB。，即。PHAPACPC BCABABx4y 35，即 y 与 x 的函数关系式是。5yx+43 5yx+43 （3）如图，PH与O 相切于点 M，连接OD，OE，OF，OM。OMH=MHD=

43、HDO=90，OM=OD，四边形 OMHD 是正方形。MH=OM=1。CE、CF 是O 的切线，ACB=90，CFO=FCE=CEO=90，CF=CE。四边形 CEOF 是正方形，CF=OF=1。PH=PM+MH=PF+FC=PC，即 x=y。又由（2）知，解得。5yx+43 5yy+43 3y2【考点】圆的综合题，圆的切线性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）连接 AO、DO，EO，FO，设O 的半径为 r，在 RtABC 中，由勾股定理得 AC=，22ABBC4O 的半径 r=（AC+BC-AB）=（4+3-5）=1。1 21 2CE、CF 是O 的切

44、线，ACB=90，CFO=FCE=CEO=90，CF=CE。四边形 CEOF 是正方形。CF=OF=1。又AD、AF 是O 的切线，AF=AD。AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即 AD=3。（2）通过相似三角形AHPACB 的对应边成比例知， ，PHAPACPC BCABAB将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得 y 关于 x 的函数关系式。（3）根据圆的切线定理证得四边形 OMHD、四边形 CFOE 为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知 PH=PM+MH=PF+FC=PC，即 x=y；最后将其代入（2）中的函数关系式即可求得 y 值。37. （2018 贵州安顺 12 分）如图，在O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 P，CAB=40，APD=65（1）求B 的大小；（2）已知 AD=6，