2010年高考试题——数学文(四川卷)(含解析).docx

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1、绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)解析:四川省成都市新都一中 肖宏本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至2页,第卷3至1 0页满分150分。考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.来源:K第卷注意事项:高考#资*源网1答第1卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号不能答在试卷上 来源:K3。本试卷共1 2小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。参考公式:高考#资

2、*源网如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式P(A+B) =P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径P(AB)=P(A)P(B) 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么 在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径来源:一、选择题(1)设集合A=3,5,6,8,集合B=4,5, 7,8,则AB等于(A)3,4,5,6,7,8 (B)3,6 (C) 4,7 (D)5,8解析:集合A与集合B中的公共元素为5,8答案:D(2)函数y=log2x的图象大致是高考#资*源网(A) (B) (C) (D)解析:本题考查对数函数的图象和基本性

3、质.答案:C(3)抛物线的焦点到准线的距离是(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8解析:由y22px8x知p4w_w w. k#s5_u.c o*m 又交点到准线的距离就是p答案:C(4)一个单位有职工800人,期中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是(A)12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6解析:因为 故各层中依次抽取的人数分别是,答案:D(5)函数的图像关于直线对称的充要

4、条件是(A) (B) (C) (D)解析:函数f(x)x2mx1的对称轴为xw_w w. k#s5_u.c o*m于是1 m2答案:A(6)设点是线段的中点,点在直线外, ,则(A)8 (B)4 (C)2 (D)1解析:由16,得|BC|4w_w w. k#s5_u.c o*m4而故2答案:C(7)将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是高考#资*源网(A) (B)(C) (D)解析:将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,所得函数图象的解析式为ysin(x)w_w w. k#s5_u.c o*m 再把所得各

5、点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是.答案:Cy0x70488070(15,55)(8)某加工厂用某原料由车间加工出产品,由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克产品,每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克产品,每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为w_w w. k#s5_u.c o*m(A)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱(B)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱(C)甲车间

6、加工原料18箱,乙车间加工原料50箱(D)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱高考#资*源网解析:解析:设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱则目标函数z280x300y结合图象可得:当x15,y55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案:Bw_w w. k#s5_u.c o*m(9)由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是(A)36 (B)32 (C)28 (D)24解析:如果5在两端,则1、2有三个位置可选,排法为224种 如果5不在两端,则1、2只有两个位置可选,312种 共计122436种答案:Aw_w w. k#s5_u.c o*m(10)

7、椭圆的右焦点为F,其右准线与轴的交点为在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是(A)(0, (B)(0, (C),1) (D),1)解析:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点,w_w w. k#s5_u.c o*m即F点到P点与A点的距离相等而|FA| |PF|ac,ac于是ac,ac即acc2b2acc2w_w w. k#s5_u.c o*m又e(0,1)故e答案:D(11)设,则的最小值是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:w_w w. k#s5_u.c o*mw_w w. k#s5_u.c o*m224当且仅当ab1,a(ab)1时

8、等号成立如取a,b满足条件.答案:D(12)半径为的球的直径垂直于平面,垂足为,是平面内边长为的正三角形,线段、分别与球面交于点、,那么、两点间的球面距离是高考#资*源网(A) (B)(C) (D)解析:由已知,AB2R,BCR,故tanBACcosBACw_w w. k#s5_u.c o*m连结OM,则OAM为等腰三角形AM2AOcosBAC,同理AN,且MNCD而ACR,CDR故MN:CDAN:AC MN,连结OM、ON,有OMONR于是cosMON所以M、N两点间的球面距离是答案:A二、填空题w_w w. k#s5_u.c o*m(13)(x)4的展开式中的常数项为_(用数字作答)解析:

9、展开式的通项公式为Tr1 取r2得常数项为C42(2)224w_w w. k#s5_u.c o*m答案:24(14)直线与圆相交于A、B两点,则 .解析:方法一、圆心为(0,0),半径为2w_w w. k#s5_u.c o*m圆心到直线的距离为d故得|AB|2答案:2(15)如图,二面角的大小是60,线段.,与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .解析:过点A作平面的垂线,垂足为C,在内过C作l的垂线.垂足为D连结AD,有三垂线定理可知ADl,故ADC为二面角的平面角,为60CD又由已知,ABD30连结CB,则ABC为与平面所成的角设AD2,则AC,CD1w_w w. k#s5_u.c

10、 o*mAB4sinABC答案:w_w w. k#s5_u.c o*m(16)设S为复数集C的非空子集.若对任意,都有,则称S为封闭集。下列命题:w_w w. k#s5_u.c o*m集合Sabi|(为整数,为虚数单位)为封闭集;若S为封闭集,则一定有;封闭集一定是无限集;若S为封闭集,则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是 (写出所有真命题的序号)解析:直接验证可知正确.当S为封闭集时,因为xyS,取xy,得0S,正确对于集合S0,显然满足素有条件,但S是有限集,错误取S0,T0,1,满足,但由于011T,故T不是封闭集,错误答案:w_w w. k#s5_u.c o*m三、 解答题:本大题

11、共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。()求三位同学都没有中奖的概率;w_w w. k#s5_u.c o*m()求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.解:设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么P(A)P(B)P(C)w_w w. k#s5_u.c o*mP()P()P()P()答:三位同学都没有中奖的概率为6分(2)1P(BCACABABC) 13或P(ABC)答:三位同学至少两

12、位没有中奖的概率为.w_w w. k#s5_u.c o*m(18)(本小题满分12分)在正方体ABCDABCD中,点M是棱AA的中点,点O是对角线BD的中点.()求证:OM为异面直线AA和BD的公垂线;()求二面角MBCB的大小;w_w w. k#s5_u.c o*m本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一:(1)连结AC,取AC中点K,则K为BD的中点,连结OK因为M是棱AA的中点,点O是BD的中点所以AM所以MO由AAAK,得MOAA w_w w. k#s5_u.c o*m因为AKBD,A

13、KBB,所以AK平面BDDB所以AKBD所以MOBD又因为OM是异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线6分(2)取BB中点N,连结MN,则MN平面BCCB过点N作NHBC于H,连结MH则由三垂线定理得BCMH从而,MHN为二面角MBCB的平面角MN1,NHBnsin45在RtMNH中,tanMHN故二面角MBCB的大小为arctan212分解法二:以点D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系Dxyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因为点M是棱AA的中点,点O是BD的中点所以M(1,0, ),O

14、(,),(0,0,1),(1,1,1) 0, 00所以OMAA,OMBD又因为OM与异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线.6分(2)设平面BMC的一个法向量为(x,y,z) w_w w. k#s5_u.c o*m(0,1,), (1,0,1) 即取z2,则x2,y1,从而(2,1,2)取平面BCB的一个法向量为(0,1,0)cos由图可知,二面角MBCB的平面角为锐角w_w w. k#s5_u.c o*m故二面角MBCB的大小为arccos12分(19)(本小题满分12分)w_w w. k#s5_u.c o*m()证明两角和的余弦公式; 由推导两角和的正弦公式.()已知,

15、求解:(1)如图,在执教坐标系xOy内做单位圆O,并作出角、与,使角的始边为Ox,交O于点P1,终边交O于P2;角的始边为OP2,终边交O于P3;角的始边为OP1,终边交O于P4. 则P1(1,0),P2(cos,sin)P3(cos(),sin(),P4(cos(),sin()由P1P3P2P4及两点间的距离公式,得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2展开并整理得:22cos()22(coscossinsin)cos()coscossinsin.4分w_w w. k#s5_u.c o*m由易得cos()sin,sin()cossin()cos()cos()() co

16、s()cos()sin()sin() sincoscossin6分(2)(,),cos sin (,),tan cos,sin cos()coscossinsin ()()()w_w w. k#s5_u.c o*m (20)(本小题满分12分)w_w w. k#s5_u.c o*m已知等差数列的前3项和为6,前8项和为-4。()求数列的通项公式;w_w w. k#s5_u.c o*m()设,求数列的前n项和解:(1)设an的公差为d ,由已知得解得a13,d1故an3(n1)(1)4n5分(2)由(1)的解答得,bnnqn1,于是Sn1q02q13q2(n1)qn1nqn.若q1,将上式两边同

17、乘以q,得qSn1q12q23q3(n1)qnnqn1.将上面两式相减得到(q1)Snnqn(1qq2qn1) w_w w. k#s5_u.c o*m nqn于是Sn若q1,则Sn123n所以,Sn12分(21)(本小题满分12分)w_w w. k#s5_u.c o*m已知定点A(1,0),F(2,0),定直线l:x,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N()求E的方程;()试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.解:(1)设P(x,y),则化简得x21(y0)4分(2)当直线BC与x轴

18、不垂直时,设BC的方程为yk(x2)(k0)与双曲线x21联立消去y得w_w w. k#s5_u.c o*m(3k)2x24k2x(4k23)0由题意知3k20且0设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4 k2(4) w_w w. k#s5_u.c o*m因为x1、x21所以直线AB的方程为y(x1)因此M点的坐标为(),同理可得因此 w_w w. k#s5_u.c o*m 0当直线BC与x轴垂直时,起方程为x2,则B(2,3),C(2,3)AB的方程为yx1,因此M点的坐标为(),同理可得因此0综上0,即FMFN故以线段MN为直径的

19、圆经过点F12分(22)(本小题满分14分)w_w w. k#s5_u.c o*m设(且),g(x)是f(x)的反函数.()求;()当时,恒有成立,求t的取值范围;()当0a时,试比较f(1)+f(2)+f(n)与的大小,并说明理由.解:(1)由题意得:ax0故g(x),x(,1)(1,)3分(2) 由得w_w w. k#s5_u.c o*m当a1时,0又因为x2,6,所以0t(x1)2(7x)令h(x)(x1)2(7x)x39x215x7, x2,6则h(x)3x218x153(x1)(x5)列表如下:x2(2,5)5(5,6)6h(x)0h(x)5极大值3225所以h(x)最小值5,所以0t5当0a1时,0又因为x2,6,所以t(x1)2(7x)0令h(x)(x1)2(7x)x39x215x7, x2,6由知h(x)最大值32, x2,6所以t32综上,当a1时,0t5;当0a1时,t32.9分(3)设a,则p1当n1时,f(1)135w_w w. k#s5_u.c o*m当n2时设k2,kN *时则f(k)所以f(k)111从而f(2)f(3)f(n)n1n1所以f(1)f(2)f(3)f(n)f(1)n1n4综上,总有f(1)f(2)f(3)f(n)n414分w_w w. k#s5_u.c o*m

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