级数概念与正项级数.pptx

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1、一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 等差数列：等比数列：无穷数列：级数：第1页/共128页定义：定义：给定一个数列无穷级数:叫做级数的一般项(通项),n次部分和:部分和数列:第2页/共128页当级数收敛时,称差值为级数的余项则称无穷级数发散.收敛,则称无穷级数记作(误差).第3页/共128页例例1.讨论讨论等比级数等比级数 (又称几何级数)(q 称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为第4页/共128页2).若因此级数发散;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.第5页/

2、共128页例例2.判别下列级数的敛散判别下列级数的敛散性性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和第6页/共128页(2)所以级数(2)收敛,其和为 1.技巧:利用“拆项相消”求和第7页/共128页二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质1.第8页/共128页性质性质2.设有两个设有两个收敛级收敛级数数则级数也收敛,其和为比如:第9页/共128页说明:(2)敛+散不一定发散.例如,(用反证法可证)(1)敛+敛=敛(性质2)=发散由性质2知,矛盾!(3)散+散第10页/共128页性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.比如:收敛!发散!第11页/

3、共128页性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,因此必有例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共128页注:1 逆否命题:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.2 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但例如，发散.或加刮号后的级数收敛,原级数不一定收敛第13页/共128页三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 设收敛级数则必有证:逆否:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.第14页/共128页注意注意:并非级数收敛的充分条

4、件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于 S,则但矛盾!所以假设不真.第15页/共128页例判断敛散性第16页/共128页例例:判断收敛与否判断收敛与否机动 目录 上页 下页 返回 结束 解(1)原式=(2)原式=第17页/共128页五、小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法第18页/共128页第二节常数项级数的审敛法 第19页/共128页一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若定理 1.正项级数收敛部分和数列有界.则称为正项级数.第20页/共128页定理定理2(比较审敛法比较审敛法)(1)若大则小(2)若小则大则有收敛,也收敛;发散,也发

5、散.第21页/共128页例例1.讨论讨论 p-级数级数(常数 p 0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,第22页/共128页因为当故考虑大级数的部分和故大级数收敛,由比较审敛法知 p-级数收敛.时,2)若若第23页/共128页调和级数调和级数与与 p-级数级数是两个常用的比较是两个常用的比较级数级数.第24页/共128页证明级数发散.例例2.第25页/共128页定理定理3.(比较审敛法的极限形比较审敛法的极限形式式)设两正项级数满足则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=(1)当 0 l 0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数

6、由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,第34页/共128页,由比较审敛法知 p 级数收敛.2)若若第35页/共128页重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.第36页/共128页证明级数发散.例例2.第37页/共128页第38页/共128页定理定理3.(比较审敛法的极限形比较审敛法的极限形式式)设两正项级数满足则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=(1)当 0 l 时,第39页/共128页特别取可得如下结论:对正项级数是两个正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;也发散.第

7、40页/共128页比如:发散!发散!第41页/共128页的敛散性.例例3.判别级数判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知例4.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知第42页/共128页证明证明第43页/共128页收敛收敛发散发散第44页/共128页比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.注意注意:第45页/共128页解解第46页/共128页比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法第47页/共128页第48页/共128页级数收敛级数收敛.第49页/共128页第50页/共128页四、小结正正 项项 级级 数数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条

8、件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法3.按基本性质按基本性质;第51页/共128页第52页/共128页思考题思考题第53页/共128页思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.第54页/共128页一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 第四节第四节任意项级数，绝对收敛任意项级数，绝对收敛 第55页/共128页一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返

9、回 结束 第56页/共128页证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第57页/共128页收敛收敛用用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第58页/共128页二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 定义:对任意项级数若收敛,绝对收敛；则称原级 数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第59页/共128页定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛.反之未必成立反之未必成立证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收

10、敛且且收敛,令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第60页/共128页为收敛.但不绝对收敛例如：机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义3：第61页/共128页例例7.证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第62页/共128页(2)令因此收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第63页/共128页第64页/共128页例例8.判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第65页/共128页3.任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:

11、绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第66页/共128页二、无穷级数敛散性的判别程序二、无穷级数敛散性的判别程序已知级数已知级数（*）否否（*）发散）发散(*)是正项级数否？是正项级数否？否否是是(*)交错级数否交错级数否？否否(*)绝对级数否绝对级数否？是是分析特点，确定方法分析特点，确定方法是是比值法比值法是是比较法比较法是是存在否？存在否？其它方法其它方法是是莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法第67页/共128页1.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:(B)错;又C机动 目录 上页 下页 返回 结束 第68页/共128页第五节第

12、五节 幂幂 级级 数数一一 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性二二 幂级数的运算及其性质幂级数的运算及其性质第69页/共128页一一、幂级数的收敛区间方法，定义1 形式为的级数，的幂级数，其中均为常数 称为幂级数的系数。称为简记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 时，就成为一个常数级数。当 具体实数值 幂级数当称为 的幂级数时，将变为第70页/共128页2.2.定义定义:第71页/共128页结论：结论：第72页/共128页定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域为下列一种幂级数的收敛域为下列一种.规定规定问题问题如何求幂级数的收敛域如何求幂级数的收敛域?区间

13、区间称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间.第73页/共128页证明证明第74页/共128页例例2 2 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:解解该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散第75页/共128页第76页/共128页发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.第77页/共128页解解缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项级数收敛级数收敛,第78页/共128页级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为第79页/共128页三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质:(其中其中幂级数幂级数则则的收敛半径的收敛半径第80页/共128页2.2

14、.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:第81页/共128页(收敛半径不变收敛半径不变)第82页/共128页(收敛半径不变收敛半径不变)第83页/共128页解解两边积分得两边积分得第84页/共128页第85页/共128页解解第86页/共128页第87页/共128页解解收敛区间收敛区间(-1,1),第88页/共128页常用已知和函数的幂级数第89页/共128页四、小结2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径R3.幂级数的运算幂级数的运算:分析运算性质分析运算性质1.函数项级数的概念函数项级数的概念:第90页/共128页思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，幂级数逐项求导后，

15、收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？那么它的收敛域是否也不变？第91页/共128页思考题解答思考题解答不一定不一定.例例它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是第92页/共128页练练 习习 题题第93页/共128页第94页/共128页练习题答案练习题答案第95页/共128页一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 其中(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式,该邻域内有:第96页/共128页第97页/共128页第98页/共128页定理1.第99页/共128页一、问题的提出

16、一、问题的提出 当函数比较复杂时，为了便于研究，常用多项当函数比较复杂时，为了便于研究，常用多项式来近似表达函数。式来近似表达函数。第100页/共128页不足不足:1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计、误差不能估计.第101页/共128页第102页/共128页二、泰勒二、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理第103页/共128页证明证明:第104页/共128页第105页/共128页第106页/共128页拉格朗日型余项拉格朗日型余项佩亚诺型余项佩亚诺型余项第107页/共128页麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式第108页/共128页解解

17、代入公式代入公式,得得第109页/共128页由公式可知由公式可知估计误差估计误差其误差其误差第110页/共128页 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式第111页/共128页解解第112页/共128页第七节第七节和函数求 和展 开函数展开成幂级数函数展开成幂级数 第113页/共128页二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1.直接展开法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知级数展开式的函数展开第114页/共128页例例3.将函数将函数展开成 x 的幂级数.解解:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足故 根据例1得级数 第115页/共128页第116页/共128页称

18、为二项展开式.第117页/共128页2.间接展开法间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例2.将函数展开成 x 的幂级数.解:因为把 t 换成,得将所给函数展开成 幂级数.第118页/共128页例例3.将函数将函数展开成 x 的幂级数.解:从 0 到 x 积分,得第119页/共128页例例4.将函数将函数展开成 x 的幂级数.解:从 0 到 x 积分,得收敛域第120页/共128页例例5.将函数将函数展开成 x-2 的幂级数.解:t第121页/共128页例例6.将将展成解:的幂级数.第122页/共128页例例7.将将展成 x1 的幂级数.解:第123页/共128页内容小结内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;(2)间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.第124页/共128页当 m=1 时第125页/共128页第126页/共128页第127页/共128页感谢您的观看！第128页/共128页