第六 定积分的几何应用.pptx

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1、所围成的图形的面积解为确定图形的存在区间由联立方程组解得交点 A（-1，1）B（1，1）故例1 求两曲线 第1页/共36页所围图形的面积解首先定出图形所在的范围解得交点为（2，-2）和（8，4）若取 x 为积分变量 在 x,x+dx 上取部分量则对于 x 的不同值 局部量的位置不同 其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂如下图例2 计算 第2页/共36页以 y 为变量计算将会简单在-2,4 上任取一小区间其上相应的窄条左、右曲边分别为但若将这一面积看作是分布在区间 -2，4 上第3页/共36页 由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化

2、上述问题的一般情况是平面区域由 c,d 上连续的曲线及直线y=c,y=d 所围成 则其面积为cd第4页/共36页 当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数方程的形式给出时，只须对面积计算公式作变量代换即可。计算时应注意积分限在换元中应保持与原积分限相对应。第5页/共36页例3 求椭圆 的面积解由对称性 面积A等于椭圆在第一象限内的部分的面积的4倍即第6页/共36页设 f(x)在 a,b 上连续，在 (a,b)内有 证明存在唯一的 使曲线 f（x）与两直线 所围图形的面积 是 y=f(x)与两直线 所围图形面积 的3倍证例4第7页/共36页故由零点定理知又令第8页/共36页2 极坐标系某些平面图

3、形，用极坐标来计算是比较方便的若曲线由极坐标方程 给出极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形而是由射线 所围成的称为曲边扇形的区域可用半径为圆心角为由于曲边扇形的面积分布第9页/共36页故面积元素为的圆扇形的面积来近似第10页/共36页解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积第11页/共36页解利用对称性知第12页/共36页 通过以上几例可见在实际计算中应充分利用所求量的对称性和等量关系来简化计算。第13页/共36页二、平面曲线弧长的概念第14页/共36页直角坐标情形弧长元素弧长第15页/共36页解所求弧长为第16页/共36页解第17页/共36页曲线弧为弧长参数方程情形第18页/共36页解星

4、形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第19页/共36页证第20页/共36页根据椭圆的对称性知故原结论成立.第21页/共36页极坐标情形曲线弧为弧长第22页/共36页解第23页/共36页求心形线 的全长解由对称性例12第24页/共36页求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）平面曲线弧长的概念弧微分的概念求弧长的公式直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下小结第25页/共36页思考题第26页/共36页两边同时对 求导xyo积分得思考题 1 解答第27页/共36页所以所求曲线为不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长思考题 2 解答第28页/共36页练 习 题第29页/共36页第30页/共36页第31页/共36页练习题答案第32页/共36页练 习 题第33页/共36页第34页/共36页练习题答案第35页/共36页感谢您的观看！第36页/共36页