特征值与特征向量计算.pptx

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1、矩阵特征值矩阵特征值与特征向量的计算主要内容与特征向量的计算主要内容一、幂法一、幂法二、反幂法二、反幂法三、幂法、反幂法小结三、幂法、反幂法小结四、四、QRQR算法算法五、五、JacobiJacobi方法方法第1页/共54页问题的提出：问题的提出：工工程程技技术术的的许许多多实实际际问问题题，例例如如振振动动问问题题，稳稳定定问问题题的的求求解解，有有时时会会归归结结成成求求矩矩阵阵的的特特征征值值和和对对应应的的特特征征向向量量。学学过过线线性性代代数数后后，我我们们已已知知求求矩矩阵阵A A的的特特征征值值和和特特征征向向量量的的解法，即先求出解法，即先求出A A的特征多项式：的特征多项式

2、：令令0 0。通通过过求求解解上上述述高高次次多多项项式式方方程程，所所得得根根即即为为矩矩阵阵A A的的特特征征值值，然然后后求求解解方方程程组组0 0，就就可可得得出特征值出特征值对应的特征向量对应的特征向量X X。第2页/共54页 但但众众所所周周知知，高高次次多多项项式式求求根根是是相相当当困困难难的的，而而且且重重根根的的计计算算精精度度较较低低。同同时时，矩矩阵阵A A求求特特征征多多项项式式系系数数的的过过程程对对舍舍入入误误差差十十分分敏敏感感，这这对对最最后后计计算算结结果果影影响响很很大大。因因此此，从从数数值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。值计算角度来看，上述方法缺乏

3、实用价值。目目前前，求求矩矩阵阵特特征征值值问问题题实实际际采采用用的的是是迭迭代代法法和和变变换换法法。这这里里将将介介绍绍通通过过求求矩矩阵阵特特征征向向量量求求出出特特征征值值的的一一种种迭迭代代法法-幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。一、幂法 定理：设矩阵A的特征值为并设A有完全的特征向量系 (它们线性无关)，则对任意一个非零向量V0 Rn 所构造的向量序列有其中表示向量的第j个分量.P129P129：定理：定理6-26-2；归一化幂；归一化幂法是定理法是定理6-36-3。第3页/共54页证明：仅就为实数的情况来证明.假定 于是,由矩阵特征值定义知 ,

4、得.第4页/共54页同理可得：假定 ,因为 ,故得 从上述证明过程可得出计算矩阵A的按模最大特征值的方法,具体步骤如下：(1)任取一非零向量V0 Rn,一般可取V0=(1,1,.,1)T(2)计算Vk=AVk-1(3)当k足够大时,即可得到：第5页/共54页 若按上述计算过程，有一严重缺点，当|1|1（或|1|1时）Vk中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢），因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量Vk进行“规范化”,即取Vk中绝对值最大的一个分量记作mk=max(Vk)，用mk遍除的所有向量Vk，得到规范化向量。为说明上述算法的正确性

5、，我们证明下述定理定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列uk收敛于矩阵A按模最大的特征值 1对应的特征向量,而向量序列Vk的绝对值最大的分量mk收敛于 1,即第6页/共54页证:第7页/共54页第8页/共54页例：用幂法求矩阵按模最大特征值 1和对应的特征向量x1解:取初始向量V0=u0=(1,1,1)T，计算出Vk,uk和mk,迭代7次的结果列于下表第9页/共54页 由上可见经过7次迭代,m7的值已稳定到小数后5位，故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：1 1、归一化例题、归一化例题6-26-22 2、幂法的加速：原点平移法；、幂法的加速：原点平移法；AitkenAitken加速法

6、；加速法；RayleighRayleigh商加速法商加速法注：注：第10页/共54页第11页/共54页第12页/共54页第13页/共54页第14页/共54页二、反幂法：基本思路：设A没有零特征值，则A非奇异，即A的逆矩阵存在，设的特征值为其对应的特征向量为因为 A xk=k xk 所以 A-1 xk=k-1 xk 故k-1就是矩阵A-1的特征值，它们满足 对对应应的的特特征征向向量量仍仍为为x xk k。因因此此，求求矩矩阵阵A A的的按按模模最最小小特特征征值值，就就相相当当于于求求其其逆逆阵阵A A-1-1的的按按模模最最大大特特征征值值 n n-1-1 ，这这只只需需应应用用幂幂法即可求

7、得。法即可求得。第15页/共54页注意点：注意点：由于求逆非常费时。故在用迭代向量由于求逆非常费时。故在用迭代向量由由u uk-1k-1求求V Vk k时，可采用解方程组时，可采用解方程组的的办办法法。由由于于每每次次解解方方程程组组的的系系数数矩矩阵阵都都相相同同，故故计计算算并并不不复复杂杂。如如果果预预先先将将作作三三角角分分解解，这这样样使使每每次次迭迭代代仅仅仅仅求求解解两两个个三三角角方方程程组组就就更更省省时时了了。特特别别当当n n较较大时，将大大地节省计算量。大时，将大大地节省计算量。三、幂法小结：三、幂法小结：幂幂法法适适用用范范围围为为求求矩矩阵阵的的按按模模最最大大特特

8、征征值值及及相相应应的的特特征征向向量量，其其优优点点是是算算法法简简单单，容容易易编编写写程程序序在在计计算算机机上上实实现现，缺缺点点是是收收敛敛速速度度慢慢，其其有有效效性性依依赖赖于于矩矩阵阵特特征征值值的的分分布布情情况况。反反幂幂法法的的适适用用范范围围是是求求矩矩阵阵的的按模最小特征值及对应的特征向量。按模最小特征值及对应的特征向量。第16页/共54页四、算法 第17页/共54页第18页/共54页1、Householder矩阵 P136P136定义定义6-16-1，定理，定理6-46-4第19页/共54页第20页/共54页第21页/共54页P137P137定理定理6-56-5第2

9、2页/共54页第23页/共54页第24页/共54页、矩阵的分解、矩阵的分解第25页/共54页第26页/共54页第27页/共54页可验证可验证:.第28页/共54页第29页/共54页定理定理第30页/共54页、求矩阵全部特征值的算法、求矩阵全部特征值的算法第31页/共54页第32页/共54页第33页/共54页第34页/共54页第35页/共54页第36页/共54页第37页/共54页五、五、JacobiJacobi方方法法第38页/共54页、预备知识、预备知识第39页/共54页称称为为旋旋转转矩矩阵阵 第40页/共54页第41页/共54页2 2、JacobiJacobi法的基本思想与收敛性法的基本思想与收敛性第42页/共54页第43页/共54页第44页/共54页第45页/共54页、用、用JacobiJacobi法的计算实对称矩阵的特征值及其法的计算实对称矩阵的特征值及其对应的特征向量的步骤对应的特征向量的步骤第46页/共54页第47页/共54页、JacobiJacobi改进的方改进的方法法第48页/共54页第49页/共54页第50页/共54页第51页/共54页5 5、JacobiJacobi的优点和不足的优点和不足第52页/共54页作业五：作业五：第53页/共54页感谢您的观看！第54页/共54页