数理逻辑谓词演算.pptx

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1、 经典命题逻辑是通过数学方法对人类大脑思维习惯和推理习惯的描述。其中语义推理考虑命题公式的真假，通过命题公式之间的真假关系确定由一些命题公式推出另一些命题公式。语义推理接近人们实际推理时的思维习惯，易于被人们所接受。前言第1页/共18页 语法推理或形式推理不考虑命题公式的真值，只注重命题公式的形式，只要满足推理规则所要求的形式，就可以从一些命题公式推出另一些命题公式。这易于计算机的采纳。前言第2页/共18页 但是，以上这两种命题逻辑所研究的推理并没有完全反映实际推理的情况。经典谓词演算也称经典谓词逻辑或经典一阶逻辑等。下面我们把经典谓词演算简称为谓词演算或谓词逻辑或一阶逻辑。前言第3页/共18

2、页谓词公式2.1第4页/共18页1.n元关系和n元函数 设U为任一非空集合，集合 （n个U）称为n个U的笛卡尔积，其定义如下：=|x1,x2,xnU 其中，由U中的n个元素x1,x2,xn 组成，称为有序n元组或简称为n元组。下面我们将n个U的笛卡尔积 简记为Un（n1）。若HUn（n1），则称H为U上的n元关系。设 ，此处V是一个集合，若对任意的Un,存在唯一的yV，使得,yf,则称f为U上的n元函数或称f是从Un到V的函数，记作f：UnV。Un称为f的定义域。此处的集合V可以等于U，也可以不等于U。当U=V时，U上的n元函数是U上的n+1元关系，但U上的n+1元关系并不一定是U上的n元函数

3、。第5页/共18页2.全称量词符号和存在量词符号 “”称为全称量词符号。“”将被解释为“所有的”、“每一个”或“任何一个”等含义。“”称为存在量词符号。“”将被解释为“某些”、“存在一些”或“存在一个”等含义。符号“”和“”在构造谓词公式时使用。谓词公式的全体也是一种形式的语言，此时两个量词只是两个符号，并没有什么含义。但是，我们还是要将谓词公式进行语义解释，将两个量词符号“”和“”分别解释成“所有的”和“存在一些”等这些表示量的概念。第6页/共18页3.谓词公式 第1章中命题公式的全体是一种是形式语言，每一个命题公式由满足要求的字符串组成，用来表示自然语言或元语言描述的命题。同样，全体谓词公

4、式也是一种是形式语言，每一个谓词公式也是用来表示自然语言或元语言描述的命题，但谓词公式将命题刻画得更加细腻，表示的也更加准确。定义命题公式时需要字母表，下面构造谓词公式时也需要字母表，因此我们先来讨论构造谓词公式时所需要的符号系统。第7页/共18页3.谓词公式符号系统常元符号：a，b，c等或加下标a1，a2，a3，称为常元符号，常元符号可数多个。作为符号，其本身没有什么含义，但后面将要对谓词公式进行语义解释，到时常元符号将被解释为固定不变的量。令T1=a，b，c，a1，a2，a3，。变元符号：x，y，z等或加下标x1，x2，x3，称为变元符号，变元符号可数多个。符号本身没有什么含义，后面在对谓

5、词公式进行语义解释时，变元符号将被解释为可以变化的量。令T2=x，y，z，x1，x2，x3，。谓词符号：F，H，P等或加下标P1，P2，P3，称为谓词符号，谓词符号可数多个。每一个谓词符号都有“元数”，比如F是n元谓词符号，H是m元谓词符号等（n，m0）。后面在对谓词公式语义解释时，每一个n（n1）元谓词符号将被解释为论域（即某一集合）上的n元关系。n=0时，零元谓词符号被解释为一个命题。令T3=F，H，P，P1，P2，P3，。第8页/共18页3.谓词公式符号系统函数符号：f，g，h等或加下标f1，f2，f3，称为函数符号，函数符号可数多个。每一个函数符号也都有“元数”，比如f是n元函数符号，

6、g是m元函数符号等（n，m1）。后面在对谓词公式语义解释时，每一个n元谓词符号将被解释为论域（即某一集合）上的n（n1）元函数。令T4=f，g，h，f1，f2，f3，。量词符号：“”和“”称为量词符号，量词符号只有这两个。它们分别是全称量词符号和存在量词符号。后面在对谓词公式语义解释时，“”将被解释为“所有的”、“每一个”或“任何一个”，自然“”将被解释为“所有的x”、“每一个x”或“任何一个x”。而“”将被解释为“某些”、“存在一些”或“存在一个”，“”将被解释为“某些x”、“存在一些x”或“存在一个x”。令T5=,。下面我们也把“”称为全称量词符号,“”称为存在量词符号。第9页/共18页3

7、.谓词公式符号系统联结符号：称为联结符号，这些联结符号完全与第1章所采用的联结符号相同，分别称为否定符号、合取符号、析取符号、蕴涵符号和等值符号。后面在对谓词公式语义解释时，它们分别被解释为：非、且、或、若则、当且仅当。令T6=。技术符号：“）”和“（”称为技术性符号，前者称为右括号，后者称为左括号。技术符号的作用是在定义谓词公式时起分隔作用。令T7=），（。令T=T1 T2 T3 T4 T5 T6T7 称T为谓词演算的字母表。T*表示字母表T上所有字符串的集合（包括空串）。谓词公式的全体是T*的子集，为了定义谓词公式，先给出项的定义。第10页/共18页3.谓词公式定义2.1.1 谓词演算或谓

8、词逻辑中的项归纳定义如下：常元符号：a，b，c，a1，a2，a3，和变元符号：x，y，z，x1，x2，x3，都是项；如果t1，t2，tn是项，f是n元函数符号，则f（t1，t2，tn）是项；只有满足和的字符串是项。以下我们用Term(L)表示谓词逻辑中所有项的集合，其中L表示谓词演算或谓词逻辑，今后将使用该表示。显然Term(L)T*，所以Term(L)是一种形式语言。论域是一个集合U，它是自然语言或元语言所涉及对象的全体。项是形式语言中的字符串，在对谓词公式解释时，项被解释为论域U中的元素。第11页/共18页3.谓词公式 定义2.1.2 设P是任一n元谓词符号，t1，t2，tnTerm(L)

9、，则P（t1，t2，tn）称为谓词逻辑L的原子公式。原子公式的全体记作Atom(L)。显然Atom(L)T*，所以Atom(L)是一种形式语言。以下我们用Term(L)表示谓词逻辑中所有项的集合，其中L表示谓词演算或谓词逻辑，今后将使用该表示。显然Term(L)T*，所以Term(L)是一种形式语言。论域是一个集合U，它是自然语言或元语言所涉及对象的全体。项是形式语言中的字符串，在对谓词公式解释时，项被解释为论域U中的元素。第12页/共18页3.谓词公式定义2.1.3 谓词逻辑L的谓词公式归纳定义如下：Atom(L)中的任意原子公式是谓词公式；若A是谓词公式，则（）也是谓词公式；若A和B是谓词

10、公式，则（AB）、（AB）、（AB）、（）也是谓词公式；若A(x)是谓词公式，其中x是变元符号，则 和 也是谓词公式；只有有限次使用、或得到的字符串是谓词公式。谓词公式的全体记作Form(L)。显然Form(L)T*，所以Form(L)也是一种形式语言。谓词公式的生成是一种归纳定义，有短的谓词公式，就有更长的谓词公式，并且往往省略最外层的括号。第13页/共18页4.谓词公式是命题公式的扩展 与命题公式相比，谓词公式中增加了常元符号、变元符号、谓词公式、函数符号和量词符号。由常元符号、变元符号和函数符号构成了项，由项和谓词符号构成了原子公式，再注意到量词符号也是由于谓词符号的存在而存在。所以，命

11、题公式与谓词公式的最大区别就是含不含谓词符号的问题。命题公式和谓词公式都是建立在原子公式之上的，原子公式的不同导致了它们之间的区别。但我们可以把命题公式的原子公式看作是谓词公式原子公式的一部分。命题公式的原子公式集合Atom(Lp)=p，q，r，p1，p2，p3，pi，其中的每一个命题符号用来表示元语言或自然语言中的简单命题，因此可以把每一个命题符号看作零元谓词符号。第14页/共18页4.谓词公式是命题公式的扩展 设P(x，y)表示x比 y个子高；a表示张三；b表示李四。P(x，y)具有两个变元符号，P(x，y)可以看作二元谓词符号。若把a代入P(x，y)的x中，得到张三比y个子高。其中含有变

12、量，不能辨别真假，所以张三比y高不是命题。P（a，y）看作一元谓词符号；把b代入P（a，y）的y中，得到P（a，b），表示“张三比李四个子高”，能分辨真假，张三比李四个子高”是命题。由于没有变元符号，P（a，b）可以看作零谓词符号，P（a，b）可以看作命题形式化表示。可以把P（a，b）看作命题逻辑的原子公式，即P（a，b）看作Atom(Lp)中的某一个命题符号。第15页/共18页4.谓词公式是命题公式的扩展 通过上述分析，命题符号就是零元谓词符号。因此我们有如下结论：命题公式是谓词公式的一部分，谓词公式是命题公式的扩充，即有Form(Lp)Form(L)。第16页/共18页谢谢观看！第17页/共18页