随机数学基础概率论部分.pptx

《随机数学基础概率论部分.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机数学基础概率论部分.pptx（290页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1课程简介课程简介一。考试情况二。课堂纪律及考勤三。作业及批改四。往年大致情况五。答疑具体安排六。本门课简介第1页/共290页2第2页/共290页3第3页/共290页4第4页/共290页5第5页/共290页6第6页/共290页7第7页/共290页8第8页/共290页9第9页/共290页10祖国灿烂的随机数学文明祖国灿烂的随机数学文明一。神秘的八卦图第10页/共290页11二。迷信的六十四卦铜钱课？二。迷信的六十四卦铜钱课？第11页/共290页12三。丰富的语言智慧三。丰富的语言智慧1。燕赵之地多慷慨悲歌之士。2。三个臭皮匠，顶个诸葛亮。3。帝王将相，宁有种乎？第12页/共290页13四。抵御外

2、族入侵选用的冷兵器四。抵御外族入侵选用的冷兵器1。杨家将抵御契丹：杨家枪2。岳家军抵御金：岳家枪3。戚家军抵御倭寇：戚家刀4。为什么是大刀向鬼子头上砍去？第13页/共290页14第一章 随机事件及概率 随机事件随机事件的概率等可能概型条件概率事件的独立性第14页/共290页151.1 随机事件1.1.1 随机试验随机现象：在一定条件下，事先不能断言会出现哪种结果，这种现象称为随机现象。例：抛一枚硬币，观察出现正面或反面的情况。第15页/共290页16（3）试验中一切可能出现的结果可以预先知道。必然性（统计规律性）随机试验必需满足：（1）在相同条件下，可以进行大量次重复试验。可重复性（2）每次试

3、验中可以出现不同的结果，而不能预先知道发生哪种结果。偶然性随机试验一般用字母E表示。第16页/共290页17例1 E1：掷一枚硬币，观察其正面（H）和反面（T）出现的情况。试验的条件是掷一枚硬币，条件实现（一枚硬币掷出）就完成一次试验。例2 E2：将一枚硬币掷2次，观察正、反面出现的情况。试验的条件就是把硬币掷2次，条件实现（硬币掷了2次）就完成一次试验。第17页/共290页18例3 E3：从含有2个黑球 和3个白球 的盒子中任意的取出3个球，观察取出的球；条件实现（从5个球中取出3个）就完成试验。例4 E4：把2 2个球a和b任意的放入3 3个盒子中（每个盒子可以放任意多个球），观察球在盒子

4、中的放法。第18页/共290页19例5 E5：记录某网站在1分钟内的点击次数。例6 E6：观察某厂生产的灯泡的使用寿命t。第19页/共290页20随机事件：一个随机试验E中可能发生也可能不发生的事件称为该试验的随机事件（简称事件）通常用字母A、B、C等表示。基本事件：试验E的每一可能的结果叫做基本事件，一般用表示。样本空间：基本事件的全体组成的集合称为该试验的样本空间。1.1.2 随机事件第20页/共290页21必然事件：每次试验中必然发生的事件称为必然事件，记为。不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，记为。（1）样本空间的构成是由试验的条件和观察的目的所决定。注注意意第21页

5、/共290页22（2）基本事件是事件的一种，一般的事件是由若干个基本事件共同组成的，因而是样本空间的子集，通常又称其为复合事件。（3）随机事件的另一个定义：样本空间的某个子集。事件A发生当且仅当试验中出现A的某个基本事件。第22页/共290页231.1.3 事件之间的关系及其运算 定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A。记为:B A或A B。（1）事件的包含关系结论：若事件A B且A B，则称事件A和事件B相等，记为AB。即：事件A、B所包含的基本事件是一样的。第23页/共290页24定义：事件A，B至少有一个发生，称为事件A与B的和（或称为并），记为AB（2）事件的并定义：

6、2个事件A，B都发生，称为事件A与B的交（或积），记为AB（或AB）。（3）事件的交定义 ：“事件A发生而事件B不发生”也是一个事件，称为A与B的差。记为AB。（4 4）事件的差 第24页/共290页25定义：在一次试验中，若事件A、B不能同时发生，即AB，则称事件A、B是互不相容的事件。结论：从基本事件说，互不相容事件就是没有公有的基本事件。显然，在一次试验中，两个基本事件不能同时发生，所以任何两个基本事件都是互不相容事件。（5）事件的互不相容性第25页/共290页26定义：若AB，AB，则称A、B为相互对立的事件（简称互逆），事件A的逆事件又可记为 。结论：A、B互逆 A、B互不相容；A、

7、B互不相容 A、B互逆。（6）逆事件第26页/共290页27交换律：ABBA，ABBA 结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)（7）事件的运算规律德摩根公式：第27页/共290页28例1、在一个口袋里装有红、黄、白三种球，每种球都不止一个，一次任取两个球，观察它们的颜色。设A两个同色球，B至少一个红色球，问AB由哪些基本事件组成？例2、设A、B、C为三个事件，试将下列事件用A、B、C表示出来。（1）三个事件都发生；（2）三个事件都不发生；第28页/共290页29（3）三个事件至少有一个发生；（4）A发生，B、C不发生；（

8、5）A、B都发生，C不发生；（6）三个事件中至少有两个发生；（7 7）不多于一个事件发生；（8）不多于两个事件发生。第29页/共290页301.2 随机事件的概率1.2.1 事件的频率定义：如果在n次重复随机试验中，事件A发生了nA次，那么就称比值 fn(A)为事件A发生的频率，其中 ，nA称为A在这n次试验中发生的频数。对任意随机试验E，频率具有性质：第30页/共290页31（1）对任意事件A，。（2）。（3）对任意有限多个互不相容的事件A1、A2 Am 有 。说明由频率的定义可见，如果事件A发生的可能性愈大，频率就愈大；另一方面，频率还有稳定性，即当n很大时，频率稳定在一个固定值附近摆动。

9、第31页/共290页321.2.2 1.2.2 概率的定义（1）概率的统计定义定义1：在同一组条件下所作的大量重复试验中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的常数 p p 附近摆动，并且逐渐稳定于p p，那末数 p p 就表示事件A发生的可能性大小，并称它为事件A的概率，记作 。第32页/共290页33（2）概率的公理化定义定义2：设E是随机试验，是E的样本空间，对于E的每一个事件A对应一个实数值，记为 ，称为事件A的概率，如果集合函数 满足下列条件：（1）非负性：（2）规范性：第33页/共290页34（3）可列可加性：是两两互不相容的事件，则有：这3条也是概率的三个基本性质，此外概率还有一些

10、其他性质：第34页/共290页35第35页/共290页36第36页/共290页37概率的加法公式可推广到有限个事件的并的情形。如：这个式子称为“多除少补原理”.第37页/共290页381.3 等可能概型等可能概型（古典概型）：如果一个随机试验E具有如下的特征，则称为等可能概型。（1）基本事件的全集是由有限个基本事件组成的；（2）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的。第38页/共290页39定义：在古典概型中，若样本空间包含的基本事件总个数为n，其中事件A包含的基本事件个数为k，则事件A的概率为 古典概型中概率的计算第39页/共290页40例1、甲，乙两人各出8元赌注，采用抛硬币作为赌

11、博手段。正面向上甲得1分，反面朝上乙得1分，谁先达到预先规定的分数就获得全部的16元赌注。当甲差2分，乙差3分时他们不愿意再赌下去，请问如何公平的分配这16元赌注？例2、盒中有a个黑球，b个白球，从中分不放回和有放回的抽取n个球，求事件A：“刚好取到k个黑球”的概率。第40页/共290页41例3、n个球随机放到N个盒子中，求下列事件发生的概率（1）A:某指定的n个盒子中每盒有1球；（2）B:任意的n个盒子每个盒子刚好有1个球；（3）C:第一个盒子刚好有k个球。第41页/共290页42例4 4、(抽签的公平性)盒中有a个黑球，b个白球，把球随机地一只只取出（不放回），求事件A：“第k（1 1 k

12、 ab）次取到黑球”的概率。例5 5、一盒中含有N1 1个黑球，一个白球，每次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球，这样继续下去，求事件A：“第k次取到黑球”的概率。第42页/共290页43解：显然，这是一个古典概型的问题，样本空间的大小为 ；而要求概率的事件A所包含的基本事件个数就不容易计算了，但可考虑其逆事件，包含的基本事件数为：第43页/共290页44例6、从1，2，9中有放回的取n个数，求取到的n个数的乘积能被10整除的概率。第44页/共290页45 1.4 条件概率与乘法公式1.4.1 条件概率在实际问题中，除了要知道事件A的概率 外，有时还要考虑在“已知事件B发生”的条件下，事件A

13、发生的概率。一般情况下，两者的概率是不相等的，为了区别所见，我们把后者称为条件概率，记为：第45页/共290页46例1、设10件产品中有2件次品，8件正品。现每次从中任取一件产品，且取后不放回，试求下列事件的概率。（1）前两次均取到次品（2）第一次、第二次取到次品（3）已知第一次取到次品的条件下第二次也取到次品第46页/共290页47定义：A，B两个事件，P(A)0 0，称为A发生的条件下，事件B发生的条件概率。如：注意：（1 1）条件概率也是概率，所以，它满足概率的一切性质。第47页/共290页48（2）一般的，概率与条件概率之间没有大小关系，但是有一种情况例外。（3）在古典概型中，设样本空

14、间是由n个基本事件组成，若事件B包含m个基本事件(m0)，AB包含k个基本事件，则第48页/共290页49例2：有10个产品，其中4个是次品，从中不放回的抽取2个，已知取出的一个是次品的条件下另外一个也是 次品的概率。第49页/共290页501.4.2 概率的乘法公式 定理：两个事件的交的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概率的乘积。即：P(AB)=P(B)P(A B)P(A)P(B A)这是两个事件的交，我们可以推广到求有限多个事件的交：第50页/共290页51例3：把3个球随机地放到4个盒子中，A表示有球盒子的最小号码为3，求P(A)。第51页/共290页521.4

15、.3 1.4.3 全概率公式、贝叶斯公式 1 1、划分：设为随机试验E的样本空间，为E的一组事件，若（1）（2）则称 为样本空间的一个划分。第52页/共290页53设为随机试验E的样本空间，为样本空间的一个划分。则：2 2、全概率公式与贝叶斯公式第53页/共290页54例4、设有一箱同类型的产品是由三家工厂所生产的，已知其中有 的产品是由第一家工厂生产的，其它二厂各生产 ；又知第一第二两厂生产的有 2是次品，第三家工厂生产 的有4是次品，现从箱中任取一件产品，问拿到的是次品的概率为多少？第54页/共290页55例5、产品整箱出售，每箱20个。各箱有0，1，2个次品的概率分别为0.7，0.2，0

16、.1。一位顾客欲购买一箱产品，在购买时，营业员随机地取一箱，而顾客从中任取4只检查，若无次品，则买下该箱产品，否则退货，求（1）顾客买下该箱产品的概率；（2）已知顾客买下一箱产品，则该箱都是正品的概率为多少？第55页/共290页56例6、袋中N个球，其中红球个数从0N等可能，每次从中任取1球，观察其颜色后放回，如此重复了k次。结果k次都观察到红球，问袋中全是红球的概率。第56页/共290页571.5.1 两个事件的独立性1.5 事件的独立性例1、在20个产品中有2个次品，从中接连抽两个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个产品，求（1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取得次品的概率；（2）第

17、二次取得次品的概率。第57页/共290页58解：设事件A第一次抽到次品，事件B第二次抽到次品，（1）因是有放回的：P(B|A);（2）因是有放回的：P(B)P(B|A)所以，P(B|A)P(B)。第58页/共290页59定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个事件，若满足 ，则称事件A、B互相独立，记为i.d.i.d.。定理：若事件A与B相互独立，且第59页/共290页60独立扩张定理：若事件A与B独立，则、也相互独立。第60页/共290页611.5.2 1.5.2 多个事件的独立性 定义：设事件 ，若有则称 相互独立。第61页/共290页62（1）相互独立，则其中任取k个事件 也相互独立；

18、反之不一定。注注意意第62页/共290页63例2、假若每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。解：设Ai第i个人的血清中含有肝炎病毒，可以认为它们是相互独立的。第63页/共290页64 设一电路由5个同样的电子元件组成（如下图所示），每个元件正常工作的概率（元件的可靠性）为p，元件损坏即断路。每个元件工作状况互相独立，求此电路的可靠性（线路两端保持连通的概率）。例3 3、（系统可靠性）第64页/共290页65例4、甲、乙、丙3人同时独立的对飞机进行射击，3人击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7，飞机被1人击中而被击落的概率为0.2

19、，被2人击中而被击落的概率为0.6，若3人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。第65页/共290页66例5、由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2，损坏10，损坏90的概率分别为0.8，0.15，0.05。现从中任取3件，发现3件都是好的，求此次物品运输被损坏了2的概率。（假设运输的物品足够多，不放回抽取近似地看成有放回抽取）第66页/共290页672、设 ，且 ，则 （）。3 3、设A、B、C 为随机事件，且 ，0.125，则A、B、C至少出现一个的概率是 。1、已知 ，则 （A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。第67页/共290页684 4、设 ，若事件A

20、与B互逆，则 ；若事件A与B独立，则 。第68页/共290页697、有来自三个地区的考生报名表各10份，15份和25份，其中女生报名表分别为3份，7份，5份。现任取一个地区的报名表，再从中取一份，求：（1）该表为女生表的概率；（2）已知该表为男生表，它来自第二个地区的概率为多少？第69页/共290页70第二章 随机变量及其分布随机变量随机变量的分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数的分布第70页/共290页71 从概率的定义我们知道，概率是自变量为从概率的定义我们知道，概率是自变量为集合的特殊的函数；为了能用变量，函数及微集合的特殊的函数；为了能用变量，函数及微积分等工具来得出事件发

21、生的概率、研究随机积分等工具来得出事件发生的概率、研究随机现象，引进了概率论中的另一重要概念现象，引进了概率论中的另一重要概念随随机变量。机变量。2.1 随机变量第71页/共290页72例例1、抛一枚硬币、抛一枚硬币1次，观察正次，观察正(H)、反、反(T)面朝上面朝上的情况。的情况。例例2、从含有、从含有2个黑球，个黑球，3个白球的盒子中任取个白球的盒子中任取3个个球，观察取出球的情况。球，观察取出球的情况。第72页/共290页73若令若令X表示取出的表示取出的3个球中黑球的个数个球中黑球的个数例例3、观察某网站在一段时间内被点击次数。、观察某网站在一段时间内被点击次数。例例4、观察某厂生产

22、灯泡的使用寿命、观察某厂生产灯泡的使用寿命t.第73页/共290页74定义：设E是一个随机试验，是其样本空间，如果对每一个 ，有唯一的实数X()与之对应，则称X是E的一个随机变量。（1）由定义可知，随机试验）由定义可知，随机试验E的随机的随机 变量不是唯一的。例变量不是唯一的。例2中，我们也可以定义随中，我们也可以定义随机变量机变量Y：“3个球中白球的个数个球中白球的个数”，则，则Y也是也是随机试验随机试验E的一个随机变量。的一个随机变量。说明第74页/共290页75（2）引进随机变量后，随机事件可以用随机）引进随机变量后，随机事件可以用随机变量在实数轴上某一个集合中取的值来表示。变量在实数轴

23、上某一个集合中取的值来表示。所以，研究随机事件的概率就转化为研究随机所以，研究随机事件的概率就转化为研究随机变量取值的概率。变量取值的概率。第75页/共290页76 2.2 2.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 对于随机试验而言，仅仅知道它可能的出对于随机试验而言，仅仅知道它可能的出现的随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的可能性有多大。现的可能性有多大。相对于随机变量相对于随机变量X来说，来说，就是就是X取什么值不重要，重要的是取什么值不重要，重要的是X取这些值取这些值的概率有多大。的概率有多大。第76页/共290页77注注意意（1）分布函数

24、的定义域为一切实数；（2）分布函数在x处的取值所表示的是随机变量X在 上的概率。定义：设X是一个随机变量，是一个实数，函数 就称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。第77页/共290页78分布函数的性质：（1）单调不减，即若 ，则有（2）且（3）右连续，即特别需要说明的是特别需要说明的是：随机变量的分布函数：随机变量的分布函数 具有上述具有上述3条性质；反之也成立。条性质；反之也成立。第78页/共290页79例1、判断以下函数是否为分布函数：第79页/共290页80 关于分布函数还有一些关于分布函数还有一些常用公式常用公式：（1）（2）（3）（4）第80页/共290页812.3 离散型随

25、机变量离散型随机变量：随机变量的可取值范围，有的可以排列出来，有的不能排列出来。把可取值能按一定的次序一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量。第81页/共290页82定义：定义：如果离散型随机变量如果离散型随机变量X的一切可能取值为的一切可能取值为 ，则称，则称P(X=xk)pk为随机变量为随机变量X的概率分布列的概率分布列，简称分布列或分布律。，简称分布列或分布律。分布律又常常表示为表格的形式：X x1 x2 xk P p1 p2 pk 2.3.1离散型随机变量的分布列第82页/共290页83例1、一射手对某一目标进行射击，一次击中的概率为0.8（1）求一次射击的分布列；（2）求到击中目标

26、为止所需的射击次数的分布列。解（1）设X=0击不中目标，X=1击中目标，则：第83页/共290页84 p1P(X=0)0.2，p2P(X=1)0.8 所以分布列为：X 0 1 pk 0.2 0.8（2）设射击到击中目标为止，射击的次数是随机变量Y，则Y1,2,3,k,。第84页/共290页85所以Y的分布律为：pkP(Y=k)0.2 k-10.8，k=1,2,或者Y的分布律用表格表示为 Y 1 2 k pk 0.8 0.20.8 0.2 k-10.8 第85页/共290页86例2、把3个球任意的放到4个盒子中，令X表示落到第 1个盒中球的个数，求X的分布列。解：第86页/共290页87分布律的

27、性质：反之，若数列 满足这两条性质，则一定是某一离散型随机变量的分布律。（1）（2）第87页/共290页88例3、设离散型随机变量X的分布列为 求正数 a 的值。解：根据性质所以，第88页/共290页89例4、设离散型随机变量X的分布列其中，为已知，求常数C。解：第89页/共290页90对随机变量而言，除了要研究其分布列以外，还要研究其分布函数 。根据上一节的内容可得离散型随机变量X的分布函数为 从几何上来看，这个函数的图像应是阶梯型第90页/共290页91例5、求例2中的随机变量X的分布函数。X的分布列为 X 0 1 2 3分布函数为：第91页/共290页92 2.3.2 常见的离散型随机变

28、量（1）（0-1）分布：设随机变量X只可能取0和1两个数值，它的分布律为 其中 ，则称 X 服从（0-1）分布。第92页/共290页93（2）二项分布：若随机变量X的分布律为 其中 ，则称X服从参数为n，p的二项分布，记为 ，当 时，就是（0-1）分布。第93页/共290页94定义：把试验E在相同的条件下重复进行n次，各次试验的结果有限且互不影响，则称这n次试验为n次独立试验。如果每次试验只有两个结果，则n次独立试验又称为n重贝努里试验。第94页/共290页95定理：设X是n重贝努里试验中成功（A发生）的次数，则XB(n,p)，其中p=P(A)例6、在正常情况下，家禽感染某种疾病的概率为0.2

29、，现发明了一种新药，把它注射到25只健康的鸭子身上，结果有1只鸭子感染了这种疾病，试评价这种药物的疗效。第95页/共290页96定理：XB(n,p)，则此时X的取值即为事件A最可能成功的次数，当k为最可能成功的次数时，称P(X=k)为二项分布的中心项。第96页/共290页97例7、为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人。现有同类设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率为0.001，在通常情况下，一台设备的故障由一个工人来处理。问至少要配备多少工人，才能保证设备发生故障后但不能及时维修的概率小于0.01？第97页/共290页98解：设需要配备N名工人。记同一时刻发生故障的设备数为X

30、，则 。问题的实质是求最小的N，使 此时我们用二项分布公式来计算，很难得出结果，因此必须找另外的方法。第98页/共290页99查表得:N+1=3,即N=2。因此，为满足要求，至少需配备2名工人。定理：第99页/共290页100（3）泊松（Poisson）分布：设随机变量X可能取的一切值为0，1，2，而取各个值的概率为 ，其中是常数，则称X服从参数为的泊松（Poisson）分布，记为 XP（）。（4）超几何分布：若X的分布律为第100页/共290页101（5）几何分布定义：若随机变量X的分布律为 ，则称X服从几何分布。（6）负二项分布特别的，当r=1时即为几何分布。第101页/共290页1022

31、.4.1 连续型随机变量的概念连续型随机变量的概念 如果随机变量的取值能充满实数轴上的某个如果随机变量的取值能充满实数轴上的某个区间，甚至于整个实数轴。这样的随机变量区间，甚至于整个实数轴。这样的随机变量称为连续型随机变量。称为连续型随机变量。2-4 连续型随机变量第102页/共290页103定义：定义：设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为 。若。若存在非负可积函数存在非负可积函数 ，使得对于任一实数，使得对于任一实数 x 有有 则称则称 X 是连续型随机变量，其中函数是连续型随机变量，其中函数 称称为为 X 的概率密度函数，简称为概率密度。的概率密度函数，简称为概率密度。第10

32、3页/共290页104概率密度的性质：概率密度的性质：（1）（2）反之，任何一个函数反之，任何一个函数 满足了（满足了（1），），（2），则由），则由定义的定义的 也一定是某个连也一定是某个连续型随机变量的分布函数。续型随机变量的分布函数。第104页/共290页105解：由概率密度函数的性质知解：由概率密度函数的性质知例例1：设连续型随机变量：设连续型随机变量X的概率密度函数的概率密度函数为为：，x +，求求常常数数C。第105页/共290页106例例2、设连续型随机变量、设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为 求常数求常数A及其概率密及其概率密度函数度函数 。解：由分布函数的性质可知，解

33、：由分布函数的性质可知，在在 处是连续的，所以在处是连续的，所以在 处其左、右极限处其左、右极限都应该是都应该是1，因此，因此A1。（3）若 在x处连续，则第106页/共290页107显然显然 而而 所以所以 ，即概率密度，即概率密度函数为:第107页/共290页108我们还可以看我们还可以看 ，它们也都满足概率密度函数的性质，所以，本它们也都满足概率密度函数的性质，所以，本题的密度函数也可以取为题的密度函数也可以取为 或或 。第108页/共290页109注意：注意：一般的，同一个连续型随机变量一般的，同一个连续型随机变量X的概的概率密度函数可以有许多，但它们除了在有限率密度函数可以有许多，但

34、它们除了在有限个点或可数个点上不相等外，其它点都相等。个点或可数个点上不相等外，其它点都相等。也即连续型随机变量也即连续型随机变量X的概率密度函数是的概率密度函数是“几几乎乎处处处处”唯一的。唯一的。第109页/共290页110 所以对连续型随机变量X而言，概率为0的事件未必是不可能事件；概率为1的事件也未必是必然事件。（4）连连续续型型随随机机变变量量X在在一一个个点点上上取取值值的的概率恒为概率恒为0。第110页/共290页1112.4.2 2.4.2 几个重要的连续型随机变量几个重要的连续型随机变量 1、均匀分布、均匀分布 记为记为 。设有连续型随机变量设有连续型随机变量X，其概率密度为

35、，其概率密度为 则称X在区间上服从均匀分布，第111页/共290页112分布函数：分布函数：例例3、设随机变量、设随机变量K ，求方程，求方程 有实根的概率。有实根的概率。第112页/共290页1132 2、指数分布、指数分布若随机变量若随机变量X具有密度：具有密度：其中，其中，是常数，则称是常数，则称 X 服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布。记为：。记为：X 。（指数分（指数分布又常被称为布又常被称为寿命分布寿命分布）分布函数：分布函数：第113页/共290页114指数分布指数分布有一个特性：无记忆性。有一个特性：无记忆性。我们看下面的例子：我们看下面的例子：例例6、某种电器元件的使

36、用寿命、某种电器元件的使用寿命X服从参数为服从参数为 1/2000的指数分布（单位：小时）的指数分布（单位：小时）（1）任取一个元件，求能正常使用）任取一个元件，求能正常使用1000小时小时以上的概率。以上的概率。（2）求其正常使用）求其正常使用1000小时后还能使用小时后还能使用1000小时的概率。小时的概率。第114页/共290页115解：解：X的密度为的密度为（1）（2）第115页/共290页116由本题可见，指数分布的无记忆性；其实，由本题可见，指数分布的无记忆性；其实，不仅是指数分布有这样的性质，几何分布也不仅是指数分布有这样的性质，几何分布也同样具有这样的性质。同样具有这样的性质。

37、一般的，有一般的，有第116页/共290页1173.3.正态分布正态分布 定义：定义：连续型随机变量连续型随机变量X的密度函数为：的密度函数为：其中其中、都是常数都是常数(0)，则称则称X服从参数为服从参数为、的的正态分布正态分布，记，记为：为：XN(,2)。第117页/共290页118正态曲线具有以下正态曲线具有以下性质性质：（1）曲线位于曲线位于x轴的上方，以直线轴的上方，以直线x=为对为对称轴，它向左向右对称地无限延伸，并且以称轴，它向左向右对称地无限延伸，并且以x轴为渐近线；轴为渐近线；（2）当）当x=时曲线处于最高点，当时曲线处于最高点，当x向左右向左右远离远离时，曲线逐渐降低，整条

38、曲线呈现时，曲线逐渐降低，整条曲线呈现“中中间高、两边低间高、两边低”的形状；的形状；第118页/共290页119（3）参数）参数决定了正态曲线的形状，决定了正态曲线的形状，愈愈大，曲线愈大，曲线愈“矮胖矮胖”(即分布愈分散即分布愈分散)，愈小，愈小，曲线愈曲线愈“高瘦高瘦”(即分布愈集中于即分布愈集中于的附近的附近)。参数参数确定曲线的位置，反映了分布确定曲线的位置，反映了分布 的集中点，由于曲线关于直线的集中点，由于曲线关于直线 x=对称，所以称对称，所以称为正态分布的分布中心。为正态分布的分布中心。反映了分布的分散程度。反映了分布的分散程度。注第119页/共290页120特特殊殊的的：当

39、当0、1时时的的分分布布称称为为标标准准正正态分布态分布，记为，记为N(0,1)，则其密度函数为：，则其密度函数为：分布函数为：分布函数为：第120页/共290页121正态分布与标准正态分布的联系：正态分布与标准正态分布的联系：重要公式：定理：定理：设设 X ，则，则服从 。第121页/共290页122例例7、某科统考成绩近似服从正态分布、某科统考成绩近似服从正态分布 在参加统考的人中，及格者在参加统考的人中，及格者100人，（及格分数为人，（及格分数为60分）计算：分）计算：（1）不及格人数。）不及格人数。（2）估计第）估计第10名的成绩。名的成绩。解：（解：（1）设考生的成绩为）设考生的成

40、绩为 X，显然：，显然：第122页/共290页123若参加考试人数是若参加考试人数是 n，则有，则有第123页/共290页124（2）设第）设第10名的成绩为名的成绩为 a 分，则分，则第124页/共290页125例例8、测量某一目标的距离时，测量误差、测量某一目标的距离时，测量误差X(cm)N(50,1002)，求：，求：（1）测量误差的绝对值不超过）测量误差的绝对值不超过150厘米的概厘米的概率。率。（2）在三次测量中至少有一次误差的绝对）在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过值不超过150厘米的概率。厘米的概率。第125页/共290页126解：（2）在3次测量中，令Y表示误差不超过15

41、0(cm)的次数，则 YB(3，0.8185)第126页/共290页127 分位点：分位点：给定常数给定常数 ，若存，若存在数在数 满足满足 ，则称，则称 为为随机变量随机变量X的上的上 分位点；当分位点；当 时，时，称称 为随机变量为随机变量X的中位数。的中位数。yxo第127页/共290页128一般的一般的,上上 分位点可查表得到分位点可查表得到例例:在其它一些书上在其它一些书上,也有将上也有将上 分位点称为临分位点称为临界点。界点。第128页/共290页1292-5 随机变量函数的分布问题的一般提法：已知随机变量问题的一般提法：已知随机变量 X 的分布，的分布，是一连续函数，求是一连续函

42、数，求 的分布。的分布。1、X 是离散型随机变量：是离散型随机变量：X x1 x2 xk P p1 p2 pk 2-5第129页/共290页130则则 的分布列为：的分布列为：g(x1)g(x2)g(xk)P p1 p2 pk 第130页/共290页131例例1：设随机变量：设随机变量 X 的分布列为：的分布列为：X 2 1 0 1 3 （1）确定常数 a 的值；（2）求 的分布列。第131页/共290页132解：根据分布列的性质得：解：根据分布列的性质得：（2）第132页/共290页133所以，所以，的分布列为：的分布列为：例例2、设随机变量、设随机变量 XP()，求，求Y=X2的分布律。的

43、分布律。第133页/共290页1342、X 是连续型随机变量：是连续型随机变量：设设 X 的密度函数为的密度函数为 ，则随机变量，则随机变量 的分布函数为的分布函数为再对再对 y 求导即可得求导即可得 Y 的密度函数。的密度函数。例例3、设随机变量、设随机变量 XU(0,1)，求，求 的分布。的分布。第134页/共290页135X 的密度为解：解：X 是连续型的，而是连续型的，而 Y 是离散型的。显然是离散型的。显然 Y 的可取值为的可取值为1，2，N。第135页/共290页136所以，所以，Y 的分布列为的分布列为第136页/共290页137第137页/共290页138所以，所以，XN(0,

44、1)时，求时，求Y=X2的分布。的分布。第138页/共290页139例例7、设随机变量、设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为求 的概率密度。解：由解：由 知知第139页/共290页140第140页/共290页141所以，随机变量所以，随机变量 Y 的密度为：的密度为：第141页/共290页142第三章 多维随机变量及其分布二维随机变量的联合分布边缘分布条件分布随机变量的独立性n维随机向量简介随机向量函数的分布第142页/共290页1433.1.1二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布定义定义3.1：设设 是随机试验是随机试验 E 的样本空的样本空间，间，X和和Y是定义在是定义在 上的随机

45、变量，由它们构上的随机变量，由它们构成的二维向量（成的二维向量（X，Y）称为）称为 E 的一个二维随机的一个二维随机变量。变量。3.1 多维随机变量及其分布第143页/共290页144定义定义3.2：设（设（X，Y）是二维随机变量，对一切）是二维随机变量，对一切(x,y)，称二元函数，称二元函数 为（为（X，Y）的联合分布函数，或称为（）的联合分布函数，或称为（X,Y）的分布函数。的分布函数。联合分布函数的性质：联合分布函数的性质：（1）第144页/共290页145（2）对对 x、y 分别是单调不减的。分别是单调不减的。（4）对任意的点）对任意的点（3）关于关于 x 右连续，关于右连续，关于

46、y 右连右连续。即续。即第145页/共290页146性质（性质（4）正是一维随机变量与二维随机变量）正是一维随机变量与二维随机变量的不同之处。的不同之处。也就是说，一个函数也就是说，一个函数 仅满足了前三条性仅满足了前三条性质，仍未必是二维随机变量的分布函数。质，仍未必是二维随机变量的分布函数。就是不满足性质（就是不满足性质（4）。）。例如：第146页/共290页147如果，二维随机变量（如果，二维随机变量（X，Y）的一切可取值）的一切可取值为有限多对，或可列多对，则称（为有限多对，或可列多对，则称（X，Y）为）为二维离散型随机变量。二维离散型随机变量。定义定义3.3：设二维离散型随机变量（设

47、二维离散型随机变量（X，Y）所有）所有可能取得值为（可能取得值为（xi，yj），），i，j1，2，则，则称：称：3.1.2、二维离散型随机变量、二维离散型随机变量第147页/共290页148为（为（X，Y）的）的联合分布律联合分布律，或称为（，或称为（X，Y）的的分布律分布律。（X，Y）的分布律也可以用如下的表格表示：）的分布律也可以用如下的表格表示：YX第148页/共290页149例例1（二维（二维01分布）设一个袋中有分布）设一个袋中有2个黑球，个黑球，3个白球，从中任取个白球，从中任取2个球，个球，X 表示第一次取出表示第一次取出的白球个数，的白球个数，Y 表示第二次取出的白球个数，表示

48、第二次取出的白球个数，分别求出（分别求出（1）有放回抽取，（）有放回抽取，（2）不放回抽取）不放回抽取时时,（X，Y）的联合分布律。）的联合分布律。第149页/共290页150解：直接用表格表示为：解：直接用表格表示为：（1）YX（2）YX第150页/共290页151例例2、抛一枚硬币、抛一枚硬币3次，令次，令X表示头两次出现表示头两次出现正面的次数，正面的次数，Y表示表示3次总共出现正面的次数，次总共出现正面的次数，求求(X,Y)的联合分布律。的联合分布律。第151页/共290页152例例3、把、把5个球任意的放到个球任意的放到3个盒子中，令个盒子中，令X表表示落在第一个盒子中球的个数，示落

49、在第一个盒子中球的个数，Y落在第二个落在第二个盒子中球的个数，求盒子中球的个数，求(X,Y)的联合分布律。的联合分布律。解解：（X,Y）=（i,j）（其中其中i,j=0,1,5,5；i+j55）第152页/共290页153分布律的性质：分布律的性质：（1）（2）第153页/共290页1543.1.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量定义定义3.4：设设 是二维随机变量（是二维随机变量（X，Y）的分布函数，若存在着非负可积函数的分布函数，若存在着非负可积函数 ，使对一切的使对一切的 有有第154页/共290页155则称（则称（X，Y）是二维连续型随机变量，函数）是二维连续型随机变量，函数 称

50、为二维连续型随机变量的称为二维连续型随机变量的联合概联合概率密度函数。率密度函数。密度函数密度函数 有如下有如下性质性质：（1）（2）（3）若）若 在点在点 处连续，则有：处连续，则有：第155页/共290页156（4）设）设 G 是是 xy 平面上的一个区域平面上的一个区域,向量向量落在落在G内的概率为：内的概率为：其中（其中（1），（），（2）为联合密度函数的基本性）为联合密度函数的基本性质。质。第156页/共290页157例例4、设随机变量（、设随机变量（X，Y）的概率密度为）的概率密度为求：求：P(XY)第157页/共290页158例例5（二维正态分布二维正态分布）：设对给定的常数）：