九年级数学上册 第21章 二次根式21.2 二次根式的乘除2 二次根式的除法授课名师公开课省级获奖课件（新版）华东师大版.ppt

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1、第第2121章章 二次根式的乘除二次根式的乘除第第2 2课时课时 二次根式的二次根式的 除法除法逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升学习目标学习目标课时讲解1课时流程2u二次根式的除法法二次根式的除法法则则 u商的算商的算术术平方根的性平方根的性质质 u最最简简二次根式二次根式课时导入课时导入复习提问复习提问 引出问题引出问题复习提问 引出问题 两个二次根式相除，怎两个二次根式相除，怎样进样进行运算呢？行运算呢？商的算商的算术术平方根又等于什么？平方根又等于什么？试试参考上面参考上面 的研究，和同伴的研究，和同伴讨论讨论，提出你的，提出你的见见解解讨论讨论知知识点点二次根式的除

2、法法则二次根式的除法法则知知1 1导导感悟新知感悟新知1 1概概 括括一般的，有一般的，有 _这这就是就是说说，两个算，两个算术术平方根的商，等于平方根的商，等于_这里为什么要这里为什么要求求知知1 1导导感悟新知感悟新知1.法法则则：一般地，有：一般地，有 (a0，b0)这这就是就是说说，两个，两个算算术术平方根的商，等于它平方根的商，等于它们们被开方数的商的算被开方数的商的算术术平方根平方根 2.要点精析：要点精析：(1)法法则则中的被开方数中的被开方数a、b既可以是数，也可以既可以是数，也可以是代数式，但都必是代数式，但都必须须是非是非负负的且的且b不不为为0；(2)当二次根式根号外有因

3、数当二次根式根号外有因数(式式)时时，可，可类类比比单项单项式除以式除以单项单项式式的法的法则进则进行运算；将根号外因数行运算；将根号外因数(式式)之商作之商作为为根号外商的因根号外商的因数数(式式)；被开方数之商作；被开方数之商作为为被开方数被开方数知知1 1导导感悟新知感悟新知3.易易错错警示：警示：(1)在在 (a0，b0)中，特中，特别别注意注意b0，若若b0，则则代数式无意代数式无意义义；(2)二次根式的运算二次根式的运算结结果要尽量化到最果要尽量化到最简简；(3)如果被开方数是如果被开方数是带带分数，分数，应应先将它化成假分数；先将它化成假分数；以免出以免出现类现类似似 这样这样的

4、的错误错误；(4)如果是几个二次根式相除，如果是几个二次根式相除，应应按除法法按除法法则则依次依次计计算；也可以把除法运算算；也可以把除法运算转转化化为为乘法运算来乘法运算来计计算算知知1 1练练感悟新知感悟新知例 1 计计算：算：(1)(2)解：解：题题(2)也也可可先先将将分分子子化化简简为为 从从而而容容易易算得算得结结果果感悟新知感悟新知知知1 1练练例2 计计算：算：(1)(2)(3)(4)解题秘方：解题秘方：紧紧扣扣“二次根式除法法二次根式除法法则则”进进行行计计算算.感悟新知感悟新知知知1 1练练技巧点拨技巧点拨 （a 0a 0，b0b0）的运算方法：）的运算方法：1.1.当当a

5、 是是b 的倍数或的倍数或a，b 为分数时，为分数时，常先利用常先利用 计算计算.2.2.当当 ，中的被开方数含有完全平方数（式）时，常先中的被开方数含有完全平方数（式）时，常先将完全平方数（式）将完全平方数（式）“开方开方”出来，再进行除法运算出来，再进行除法运算.3.3.当根号前含有系数时，根号前的系数与系数对应相除，根当根号前含有系数时，根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘.感悟新知感悟新知知知1 1练练解：解：(1)(2)(3)感悟新知感悟新知知知1 1练练 (4)归 纳感悟新知感悟新知知

6、知1 1讲讲 利用二次根式的除法法利用二次根式的除法法则进则进行行计计算，被开方数算，被开方数相除相除时时，可以用，可以用“除以一个不除以一个不为为零的数等于乘零的数等于乘这这个个数的倒数数的倒数”进进行行约约分、化分、化简简知知1 1练练感悟新知感悟新知3知知1 1练练感悟新知感悟新知B商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质知知2 2导导感悟新知感悟新知知知识点点2 21.性性质质：这这就是就是说说，商的算，商的算术术平方根，平方根，等于被除式的算等于被除式的算术术平方根除以除式的算平方根除以除式的算术术平方根平方根 要点精析：要点精析：(1)商的算商的算术术平方根的性平方根的性质质的的实

7、质实质是逆用二是逆用二次根式的除法法次根式的除法法则则；(2)应应用商的算用商的算术术平方根的前提条件是商中被除式是非平方根的前提条件是商中被除式是非负负数，除式是正数；数，除式是正数；(3)商的算商的算术术平方根的性平方根的性质质的作用是化的作用是化简简二次根式，将二次根式，将分母中的根号化去分母中的根号化去感悟新知感悟新知知知2 2导导特别提醒特别提醒1.1.商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则.2.2.公式中的公式中的a，b 既可以是一个数，也可以是一个式子，但必既可以是一个数，也可以是一个式子，但必须满足须满足a 0，b0

8、.3.3.利用商的算术平方根的性质可以把被开方数中含有分母的利用商的算术平方根的性质可以把被开方数中含有分母的二次根式化成被开方数不含分母的二次根式二次根式化成被开方数不含分母的二次根式.感悟新知感悟新知知知2 2导导2.分母有理化：分母有理化：(1)定定义义：要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘：要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘 以一个恰当的二次根式就可以了，通常以一个恰当的二次根式就可以了，通常这这种化种化简过简过程程 称称为为分母有理化；分母有理化；(2)依据：分式的基本性依据：分式的基本性质质及及 (3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式方法：将分子和分母都乘分母的有理

9、化因式感悟新知感悟新知知知2 2导导拓展：拓展：(1)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它如果它们们的的积积不含有二次根式，那么不含有二次根式，那么这这两个代数式互两个代数式互为为 有理化因式；有理化因式；(2)常用的有理化因式：常用的有理化因式：感悟新知感悟新知知知2 2练练例 3 化化简简 使分母中不含二次根式，并且被开使分母中不含二次根式，并且被开 方数中不含分母方数中不含分母 解：解：这这里，二次根式里，二次根式 的被开方数中含有分的被开方数中含有分母，通常可利用分数母，通常可利用分数(或分式或分式)的基本性的基本性质质将分将分母母

10、“配配”成完全平方，再成完全平方，再“开方开方”出来出来感悟新知感悟新知知知2 2练练例4 将下列各式化将下列各式化简简：解题秘方：解题秘方：紧紧扣扣“商的算商的算术术平方根的性平方根的性质质”进进行化行化简简.感悟新知感悟新知知知2 2练练方法点拨方法点拨:利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：1.1.若被开方数（式）的分母是一个完全平方数（式），若被开方数（式）的分母是一个完全平方数（式），则可以直接利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分则可以直接利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别开平方，然后求商；别开平方，然后求商；2.2.

11、若被开方数（式）的分母不是完全平方数（式），可根若被开方数（式）的分母不是完全平方数（式），可根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等于于0 0 的数或整式，使分母变成一个完全平方数（式），然后的数或整式，使分母变成一个完全平方数（式），然后利用商的算术平方根的性质进行化简利用商的算术平方根的性质进行化简.感悟新知感悟新知知知2 2练练解：解：(3)方法一：方法一：方法二：方法二：归 纳感悟新知感悟新知知知2 2讲讲 利用商的算利用商的算术术平方根化平方根化简简二次根式的方法：二次根式的方法：（1）若被开方数的分母是一个完全平方

12、数）若被开方数的分母是一个完全平方数(式式)，则则可以直接可以直接 利用商的算利用商的算术术平方根的性平方根的性质质，先将分子、分母分，先将分子、分母分别别开平开平 方，然后求商；方，然后求商；感悟新知感悟新知知知2 2讲讲（2）若被开方数的分母不是完全平方数）若被开方数的分母不是完全平方数(式式)，可根据分式的，可根据分式的 基本性基本性质质，先将分式的分子、分母同，先将分式的分子、分母同时时乘以一个不等于乘以一个不等于0 的数或整式，使分母的数或整式，使分母变变成一个完全平方数成一个完全平方数(式式)，然后利用，然后利用 商的算商的算术术平方根平方根进进行化行化简简知知2 2练练感悟新知感

13、悟新知D最简二次根式最简二次根式知知3 3导导感悟新知感悟新知知知识点点3 31.定定义义：二次根式被开方数中不含分母，并且被开方：二次根式被开方数中不含分母，并且被开方 数中所有因数数中所有因数(或因式或因式)的的幂幂的指数都小于的指数都小于2，像，像 这样这样 的二次根式称的二次根式称为为最最简简二次根式二次根式 要点精析：要点精析：最最简简二次根式必二次根式必须满须满足：足：(1)被开方数不被开方数不 含分母，也就是被开方数必含分母，也就是被开方数必须须是整数是整数(式式)；(2)被开被开 方数中每个因数方数中每个因数(式式)的指数都小于根指数的指数都小于根指数2；即每个因；即每个因 数

14、数(式式)的指数都是的指数都是1.感悟新知感悟新知知知3 3导导2.将一个二次根式化将一个二次根式化简简成最成最简简二次根式的方法步二次根式的方法步骤骤：(1)“一分一分”，即利用因数，即利用因数(式式)分解的方法把被开方数的分分解的方法把被开方数的分子、分母都化成子、分母都化成质质因数因数(式式)的的幂幂的乘的乘积积形式；形式；(2)“二移二移”，即把能开得尽方的因数，即把能开得尽方的因数(式式)用它的算用它的算术术平平 方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中 的因式移到根号外的因式移到根号外时时，要注意，要注意应应写在分母的位置写在分母的位置

15、上；上；(3)“三化三化”，即将分母有理化，即将分母有理化化去被开方数中的化去被开方数中的 分母分母感悟新知感悟新知知知3 3练练例 5 下列各式中，哪些是最下列各式中，哪些是最简简二次根式？哪些不二次根式？哪些不 是是 最最 简简二次根式？不是最二次根式？不是最简简二次根式的，二次根式的，请说请说明理由明理由解题秘方：解题秘方：紧紧扣最扣最简简二次根式定二次根式定义义的条件的条件进进行判断行判断.感悟新知感悟新知知知3 3练练特别警示特别警示:判断最简二次根式有两大思维误区：判断最简二次根式有两大思维误区：是被开方数不含分母而不是式子不含分母，如是被开方数不含分母而不是式子不含分母，如有分母

16、但有分母但 是最简二次根式；是最简二次根式；被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式，如被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式，如 是最简二次根式是最简二次根式.感悟新知感悟新知知知2 2练练解：解：(1)不是最不是最简简二次根式，因二次根式，因为为被开方数中含有分母被开方数中含有分母 (2)是最是最简简二次根式二次根式 (3)不是最不是最简简二次根式，因二次根式，因为为被开方数是小数被开方数是小数(即含有即含有 分母分母)（4）不是最）不是最简简二次根式，因二次根式，因为为被开方数被开方数24x中含有能开中含有能开 得尽方的因数得尽方的因数4，422.（5）不是最）不是最简简二次根式，因二

17、次根式，因为为x36x29xx(x26x 9)x(x3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式，被开方数中含有能开得尽方的因式归 纳感悟新知感悟新知知知2 2讲讲判断一个二次根式是最判断一个二次根式是最简简二次根式的方法：二次根式的方法：利用最利用最简简二次根式需要同二次根式需要同时满时满足的两个条件足的两个条件进进行判断：行判断：(1)被开方数不含分母，即被开方数必被开方数不含分母，即被开方数必须须是整数是整数(式式)；(2)被开方数不含能开得尽方的因数被开方数不含能开得尽方的因数(式式)，即被开方数中每个，即被开方数中每个 因数因数(式式)的指数都小于根指数的指数都小于根指数2；另外；另外还还

18、要具要具备备分母中不分母中不 含二次根式含二次根式知知2 2练练感悟新知感悟新知D知知2 2练练感悟新知感悟新知D课堂小结课堂小结1.运用二次根式的除法法运用二次根式的除法法则时则时，一是注意成立的条件，一是注意成立的条件，二是二是结结果一定要化果一定要化为为最最简简二次根式或整式二次根式或整式2逆用二次根式的除法法逆用二次根式的除法法则时则时，一是注意成立的条件，一是注意成立的条件，二是注意二次根式有意二是注意二次根式有意义义的的隐隐含条件含条件3进进行二次根式混合运算行二次根式混合运算时时要注意运算要注意运算顺顺序序1、了解面对逆境，远比如何接受顺境重要得多2023/3/52023/3/5

19、7:48:06 PM。2023/3/52023/3/5Sunday,March 5,20232、一般的伟人总是让身边的人感到渺小Sunday,March 5,20237:48:06 PM3/5/2023 7:48:06 PM19:48Mar-23。2023/3/52023/3/52023/3/53/5/2023 7:48:06 PM3、2023/3/5Mar-2305-Mar-234、昨天是张退票的支票05-Mar-237:48:06 PM19:482023/3/52023/3/52023/3/5Sunday,March 5,20235、积极人格的完善是本，财富的确立是末05-3月-23。20

20、23/3/52023/3/52023/3/52023/3/53/5/20236、昨晚多几分钟的准备3/5/2023 7:48:06 PM05 三月 20232023/3/52023/3/52023/3/57、每一发奋努力的背，必有加倍的赏赐2023/3/5三月 232023/3/52023/3/52023/3/53/5/20238、业余生活要有意义，不要越轨。2023/3/52023/3/505 March 20239、要及时把握梦想，因为梦想一死3/5/2023 7:48:06 PM。2023/3/52023/3/52023/3/52023/3/510、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力

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