2013贵州公务员考试行测辅导：平均数问题8427.pdf

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1、 第 1 页 共 15 页 平均数问题 甲班和乙班，在数学期终考试中，考一样的题目，哪一个班考得好呢？把每一个班所有人的得分加起来，然后除以这个班的人数，就得出这个班的平均分数.哪一个班平均分数高，就算哪一个班考得好.篮球队员的身材都很高，一个队里还是有高有矮，哪个篮球队身材更高呢？把一个队所有队员的身高数加起来，再除以全队人数，就算出这个队的平均身高.通常，用平均身高来衡量一个球队的身材高矮.要衡量“若干个数”的大小，常用的办法就是求它们的平均值.求平均值有两种方法，我们通过一个例子来说明.例 1 一学期中进行了五次数学测验，小明的得分是 95，87，94，100，98.那么他的平均成绩是多

2、少？解：方法 1 把所有分数加起来，除以次数，即 （95879410098）594.8.方法 2 先设一个基数，通常设其中最小的数，例如本题设 87 为基数，求其他数与 87 的差，再求这些差的平均值，最后加上基数，即 （95-87）+（87-87）+（94-87）+（100-87）+（98-87）5+87 =（8+0+7+13+11）5+87 =7.8+87 第 2 页 共 15 页 =94.8.对若干个数求平均数，概括成以下两种方法.方法 1：各个数的总和数的个数 方法 2：基数+每一数与基数的差求和数的个数.这两种方法将形成两种解题思路.方法 2 的好处是使计算的数值减小，减少计算量，特

3、别便于心算.当然，也可以设其他的数为基数.进入中学后，学了负数，我们还可以设中间的那个数作为基数.方法 2 启示我们，求平均数就是把数之间的“差”扯平.一、一些简单的问题 求平均数可以产生许多数学题，这一节将通过一些简单的例子，增加对“平均”这一概念的理解.例 2 小明 4 次语文测验的平均成绩是 89 分，第 5 次测验得了 97 分，5 次测验的平均成绩是多少？解：按照例 1 中的两种思路，有两种计算方法：先算出 5 次成绩的总和，再求平均成绩，就有 （894+97）5=90.6（分）.从算每一次“差”的平均入手，就有 89+（97-89）5=90.6（分）.很明显，第二种方法计算简易.例

4、 3 小强 4 次语文测验的平均成绩是 87 分，5 次语文测验的平均成绩是 88.4 分，问第 5 次测验他得了多少分？解：两种思路，两种计算方法：第 3 页 共 15 页 从总分数（总成绩）来考虑.第 5 次成绩=5 次总成绩-4 次总成绩 =88.45-874 =94（分）.从“差的平均”来考虑，平均成绩要提高 88.4-87.因此，第 5 次得分应是 87+（88.4-87）5=94（分）.请大家想一想，例 2 与例 3 这两个问题之间的关系.例 4 小明前几次数学测验的平均成绩是 84 分，这一次要考 100 分，才能把平均成绩提高到 86 分，问这一次是第几次测验？解：平均每次要提

5、高（86-84）分，这一次比原来的平均成绩多了（100-84）分，平均分摊在每一次上，可以分摊多少次呢？（100-84）（86-84）=8（次）.因此这一次测验是第 8 次.例 5 寒假中，小明兴致勃勃地读西游记，第一天读 83 页，第二天读 74 页，第三天读 71 页，第四天读 64 页，第五天读的页数，比五天中平均读的页数还多3.2 页，问小明在第五天读了多少页？解：前四天，每天平均读的页数是 （83+74+71+64）4=73（页）.第 4 页 共 15 页 很明显，第五天读的页数比 73 页多，由此平均数就增加了.为了便于思考，画出下面的示意图：图上“73”后面的虚线，表示第五天后增

6、加的平均数，现在要用 3.2 去补足这些增加的平均数值，3.2共要补足四份，每份是 3.54=0.8.由此就知道，第五天读的页数是 73+0.8+3.2=77（页）.例 6 甲、乙、丙三人，平均体重 63 千克.甲与乙的平均体重比丙的体重多 3 千克，甲比丙重 2 千克.求乙的体重.解：甲与乙的平均体重比丙的体重多 3 千克，也就是甲与乙的体重之和比两个丙的体重多 32=6（千克）.已知甲比丙重 2 千克，就得出乙比丙多 32-2=4（千克）.从方法 2 知道 丙的体重+差的平均=三人的平均体重.因此，丙的体重=63-（32）3 =61（千克）.乙的体重61+4=65（千克）.第 5 页 共

7、15 页 例 7 下面是一串有规律的数 5，9，13，17，21，25，29.从小到大排到，后一个数与前一个数的差都是 4，求这串数的平均数.解：上面共有 7 个数，第 2 个数比第 1 个数多 4，而第 6 个数比第 7 个数少 4.因此，第 1 个和第 7个的平均数（5+29）2=17，与第 2 个和第 6 个的平均数（9+25）2=17 是相等的.同样道理，第 3个和第 5 个的平均数也是 17.由此，可以得出这串数的平均数，就是头、尾两数的平均值 17.当把一些数排列好前后次序，相邻的两个数，后一个减前一个的差都相等，这列数，就称为等差数列.例 7 中的这串数就是一个等差数列.等差数列

8、可长可短，不论它有多少数，总有一个基本性质：它的所有数的平均数，就是头、尾两数的平均数.很明显，当等差数列有奇数个数时，这一平均数恰好是最中间的这个数.当等差数列有偶数个数时，这一平均数也就是最中间两个数的平均数.利用这一性质，我们很容易求一个等差数列的所有数之和，它等于平均数乘以数的个数.例 7 中 7 个数之和是 （5+29）27=119.例 8 小强在前五天平均每天做了 3.6 道数学题，第四、五两天共做了 5 题.第六天，为了使后三天的平均数超过六天的平均数，第六天他至少要做多少题？解：（前三天题数3+后三天题数3）2=六天题数6.因此，只要后三天平均数超过前三天平均数，也就是后三天做

9、的题数，比前三天做的题数多，后三天的平均数就超过六天平均数了.前三天做的题数是 3.65-5=13（题）.第 6 页 共 15 页 第四、五天已做了 5 题，13-5=8，小强第六天至 少要做 9 题.答：小强第六天至少要做 9 题.二、部分平均与全体平均 例 9 某次考试，21 位男同学的平均成绩是 82 分，19 位女同学的平均成绩是 87 分，全体同学的平均成绩是多少？解：有两种求法：方法 1 男同学的总分数 8221=1722，女同学的总分数 8719=1653，全体同学的总分数 1722+1653=3375，全体同学的人数 21+19=40，全体同学的平均成绩337540=84.37

10、5.方法 2 以男同学的平均成绩82 分作为计算的基数，女同学每人平均多（87-82）=5（分），19 人多了 5 19=95（分），现在平均分摊给全体40 人.因此，全体同学的平均成绩是 82+（87-82）1940 第 7 页 共 15 页 =82+9540 =84.375（分）.注意 从部分的平均数，来求全体的平均数，不能简单地把部分平均数再进行求平均，如例 9，（82+87）2=83.5，它不是全体的平均成绩.这一基本概念，大家必须弄清楚.例 10 甲班 52 人，乙班 48 人.语文考试中，两个班全体同学的平均成绩是 78 分，乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高5 分.两个班的平均成

11、绩各是多少？解：两个班的全体人数是 52+48=100（人）.他们的分数总和是 78100=7800（分）.以甲班同学的平均成绩为基数，乙班每人平均多了 5 分，如果乙班的分数总和少了 5 48=240（分），乙班的平均成绩就与甲班的一样，因此甲班的平均成绩是 （7800-240）100=75.6（分）.乙班的平均成绩是 75.6+5=80.6（分）.例 11 女同学的人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是 41 千克，女同学的平均体重是 35 千克，全体同学的平均体重是多少千克？解：题目没有告诉我们女同学或男同学有多少人，怎么办？第 8 页 共 15 页 设全体女同学是 1 组人，那么男

12、同学就是 2 组人.女同学的体重总和：351 组人数.男同学的体重总和：412 组人数.全体总人数：（1+2）组人数.全体同学平均体重是 （351+412）（1+2）=39（千克）.上面算式中每一项都有“组人数”，因此可以约掉.实际上和“1 个女同学与 2 个男同学”的情形一样.还有一种计算方法，以女同学体重为基数，2 组人每人都多（41-35）千克，平摊给（2+1）组人，因此全体同学的平均体重是 35+（41-35）2（2+1）=39（千克）.例 12 某班有 50 人，在一次数学考试后，按成绩排了名次.结果，前 30 名的平均分数比后 20 名的平均分数多 12 分.一位同学对“平均”的概

13、念不清楚，他把前 30 名的平均成绩，加上后 20 名的平均成绩，再除以 2，错误地认为这就是全班的平均成绩.这样做，全班的平均成绩是提高了，还是降低了？请算出提高多少或降低多少.解：全班平均成绩降低了.按照这位同学的计算，相当于把前 30 名同学比后 20 名同学平均多出的 12分作了平分.因此相当于前 30 名同学每人少了 6 分，后 20 名同学每人多了 6 分，合起来全班的总分就少了 第 9 页 共 15 页 306-206=60（分）.全班的平均成绩也就降低了 60（30+20）=1.2（分）.例 13 某学校入学考试，确定了录取分数线.报考的学生中，只录取了 均分比录取分数线低26

14、分.所有考生的平均成绩是70分.那么录取分数线是多少？我们把录取学生的人数算作 1，没有被录取的人数算作 3.以录取分数线作为基数，没有被录取的考生总共少了 263 分，录取的学生总共多了 101 分，合起来，总共少了 263-101（分）.对所有考生来说，每人平均少了 （263-101）（3+1）=17（分）.也就是每一考生的平均分 70（分）比录取分数线少了 17（分），因此录取的分数线是 70+17=87（分）.注意 这道题可检验如下：第 10 页 共 15 页 没有被录取的考生的平均成绩是 87-26=61（分），被录取考生的平均成绩是 87+10=97（分）.全体考生的平均成绩是 6

15、1+（97-61）（3+1）=70（分），或 （613+971）（3+1）=70（分）.由此就知道，上面解答是正确的.例 14 某次数学竞赛原定一等奖 10 人，二等奖 20 人.现在将一等奖中最后 4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生平均分提高了 1 分，得一等奖的学生的平均分提高了 3 分.那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？解：根据题意 前六人平均分=前十人平均分+3.这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出 3 6=18（分），来弥补后四人的分数，因此后四人的平均分比前十名平均分少 184=4.5（分）.当后四人调整为二等奖后，这时二等奖共有 20+4=24（人），平均每人提高

16、了 1 分，这由调整进来的四人来供给，每人平均供给 244=6（分）.后四人平均分=（原二等奖平均分）+6.与前面算出的前六人平均分比较，就知原来一等奖平匀分比原来二等奖平均分多 第 11 页 共 15 页 4.5+6=10.5（分）.我们可以画出示意图来说明上面的计算.从前十名来说，前六名用二条虚线所夹部分，来弥补后四人的二条虚线所夹部分这一块的不足.对二等奖来说，可以画出如下示意图：三、从平均数求个别数 例 15 A，B，C，D 四个数的平均数是 38，A 与 B 的平均数是 42；B，C，D 三个数的平均数是 36，那么 B 是多少？解：A，B，C，D 四个数的平均数是 （A+B+C+D

17、）4 =（A+B）4+（C+D）4 =（A+B）2+（C+D）+22.这说明 A 与 B 的平均数，C 与 D 的平均数，两者的再平均，就是四个数的平均数.第 12 页 共 15 页 因此，C 与 D 的平均数是 382-42=34.题目已给出 B，C，D 三个数的平均数 36，B 是 34+（36-34）3=40.还有一个解法：四个数的平均数是 38，B，C，D 三个数的平均数是 36，还是按照例 3 中的计算，A 是 36+（38-36）4=44.己知 A 与 B 的平均数是 42，因此 B 是 422-44=40.注意 知道若干个数的平均数，也就是知道了它们的和，已知A，B，C，D 四个

18、数的和，又已知其中三个数 B，C，D 的和，自然能求出（做一次减法）第四个数 A.又已知 A 与 B 的和，就很容易求出 B，这就是例 15 的实质.例 16 某次考试，A，B，C，D，E 五人的成绩统计如下：A，B，C，D 的平均分 75 分.A，C，D，E 的平均分 70 分.A，D，E 的平均分 60 分.B，D 的平均分 65 分.求 A 得了多少分.第 13 页 共 15 页 解：由 A，C，D，E 四人平均分和 A，D，E 三人平均分，按照例 3 的方法，就可求出 C 的得分：60+（70-60）4=100（分）.由 A，B，C，D 四人平均分和 B，D 两人平均分，按照例 15，

19、可以求出 A 与 C 平均分：752-65=85（分）.上面已算出 C 得 100 分，因此 A 得 852-100=70（分）.例 17 某次考试，小英等 7 人的平均分是 78 分，其中最高得分是 97 分，最低得分是 64 分，小英得了 88 分，余下的 4 个人中有 3 个人得了相同的分数.分数各不相同的 5 个人的平均分是 80 分，其中还有一位同学与别人的得分都不同，他的得分是多少分？解：7 个人的分数总和是 787=546（分）.分数各不相同的 5 个人平均分是 80 分，那么另 2 位分数相同的同学每人得分是 （546-805）2=73（分）.这位与别人的得分都不相同的同学，他

20、的得分是 546-97-64-88-733=78（分）.例 18 A，B，C，D 四个数，两两配对可以配成六对，先请你想一想，是怎样配对的.这六对数的平均数分别是 12，13，15，17，19，20.原四个数的平均数是多少？第 14 页 共 15 页 解：每一个数与其他三个数可以配成三对，因此在上面六个平均数中，每个数都要被计算3 次，每次计算中都用一个数的一半.因此，这六个平均数之和是 A+B+C+D 的 3 倍的一半.那么 A，B，C，D 的平均数是 （12+13+5+17+19+20）234 96234 16.还有另一种解法：原四个数中，最小的两个数之和应是 122，最大的两个数之和应是

21、 202.因此四数的平均数是 （122+202）4=16.请大家思考，是否可以求出 A，B，C，D 四个数.例 19 A，B，C，D 四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样计算了四次，得到下面四个数 23，26，30，33.A，B，C，D 四个数的平均数是多少？30，33 这四个数相加，恰好是 A，B，C，D 这四个数之和，它们的平均数是（23+26+30+33）4=28.第 15 页 共 15 页 例 20 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外的一个数，用这样的方法计算了四次，分别得到以下四个数 26，32，40，46.那么原来四个数中，最大的一个数是多少？

22、解：很明显，这道题与前一例题紧密相关.我们来看一看，26，32，40，46 这四个数相加是什么.每一个数有两部分，一部分是三个数的平均数，一部分是三个数之外的第四个数，把四个数的前一部分相加，根据前一例题，恰好得到四个数的和.把后一部分相加，也得到四个数的和.因此 26+32+40+46=四个数之和2.这四个数的和是 （26+32+40+46）2=72.另外，每一个数乘以 3，将是三个数之和加上第四个数的 3 倍，这也可以看成是四个数之和加上一个数的 2 倍.它减去四个数之和 72 后，就是其中一个数的 2 倍.于是这四个数就可以按下面的计算求出：（263-72）2=3，（323-72）2=12，（403-72）2=24，（463-72）2=33.四个数中最大的数是 33.