概率论数理统计经管类期末试卷A38163.pdf

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1、-概率论与数理统计经管类期末考试试卷 A 参考答案 一、填空题本大题共 6 小题，每题 2 分，总分值 12 分 1.设,A B C是三个随机事件，用文字表示事件ABCABCABC,A B C事件中恰有一个不发生（或恰有两个发生）；2.假设()0.8,()0.4PAP B，且，则()P B A 1 2；【分析】3.设随机变量X的概率分布为 则c 1 3【分析】当1 3c 时 当2 3c 时 4.假设随机变量(,)Xb np,则()EXn p，()DX(1)n pp；5.假设二维随机变量(,)XY有,(,)4,()9,1 3X YD X YD Y，则,X Y的协方差(,)covX Y2；【分析】

2、6.设12,nXXX为来自正态总体2(,)N 的一个样本，且11niiXXn，则Xn服从(0,1)N分布；二、单项选择题本大题共 6 小题，每题 2 分，总分值 12 分 7.随机事件,A B之交为不可能事件，则称A与B为 【】对立事件；互不相容事件；相互独立事件；等价事件.8.对于任意二事件,A B，()PAB 【】()()PAP B；()()()PAP BPAB；()()PAPAB；()()()PAP BPAB.9.以下函数中，可以作为随机变量的分布函数的是 【】21()1Fxx；()()Fxsin xx；210()110 xFxxx；01()1222xFxln xxx.10.随机变量服从

3、(100,0.03)Xb分布，在计算2PX 时，不可采用的方法有【】二项分布；泊松分布逼近；正态分布逼近；全概公式.11.设随机变量(,)XY的联合密度函数为 则概率0.5,0.6PXY 【】0.5；0.3；7 8；0.4.【分析】12.设1234,XXXX是来自总体的一个简单随机样本，总体X的均值()EX,则-不是的无偏估计量的是 【】12341(234)4XXXX；12341()4XXXX；12341(3)6XXXX；12341(234)10XXXX【分析】用列举法 12341(234)4XXXX不是的无偏估计，因为 12341()4XXXX是的无偏估计，因为 12341(3)6XXXX是

4、的无偏估计，因为 12341(234)10XXXX是的无偏估计，因为 综上，由 P153 定义 1 知，、都是的无偏估计，而不是的无偏估计 所以，选 三、判断题本大题共 5 小题，每题 2 分，总分值 10 分 13.设,A B两个事件满足0()1,()()P AP AP A B，则,A B互不相容；【】14.假设iX服从01分布 1,2,in，且12,nXXX相互独立，则1niiX服从(,)b np分布；【】15.假设X服从参数4的泊松分布，则1(1)14EX;【】【分析】16.两个随机变量X与Y相互独立，则X与Y一定不相关;【】17.假设检验中的纳伪错误是指：原假设0H不成立，而检验结果却

5、承受0H.【】四、计算题本大题共 5 小题，总分值 38 分 18.*科研工程由三个小组独立研究，3 个小组成功完成该工程的概率分别为 0.25、0.3、0.4，求该工程被研究成功的概率.6 分【解】19.一箱产品是由三家工厂生产的，其中1 2是第一家工厂生产的，其余二厂各生产1 4.第一、二、三家工厂的不合格品率分别是0.02,0.03,0.04，现从该箱中任取一只产品，求：1取到不合格产品的概率是多少.2假设任取一只产品是不合格品，求它是第一家工厂生产的概率.8 分 【解】设事件 B=取到不合格品 结果 显然，由 3 个原因引发：1A设 取到的产品是第i家工厂生产的(1,2,3)i 注意到

6、123AAA、构成一个完备事件组.1取到不合格产品的概率为 2经检验发现取到的产品为次品，则该产品是甲厂生产的概率为 20.*元件寿命X小时的密度函数为-1确定常数a；2问一个元件开场使用的 150 小时中损坏的概率是多少.3假设*台设备中有 3 个这样的元件，问开场使用的 150 小时中至少有一个损坏的概率是多少.【解】1确定常数a 2一个元件开场使用的 150 小时中损坏的概率为 3假设*台设备中有 3 个这样的元件，开场使用的 150 小时中至少有一个损坏的概率 设事件 另解 21.把一枚硬币连掷三次，以X表示三次中正面出现的次数，Y表示在三次中正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值

7、，试求(,)XY的联合分布及边缘分布.8 分【解】1求出二维离散型随机向量(,)XY的所有可能取值分别为(,)(,)ijX Yxy(0,3)，(1,1)，(2,1)，(3,3)2依次求出二维离散型随机向量(,)XY在各组取值点(,)ijxy取值的概率：由第一章 P26 定理 3Bernoulli定理，13,()2npP A，得 3列表写出二维离散型随机向量(,)X Y的联合概率分布及边缘分布 其中 二维离散型随机向量(,)XY关于X的边缘分布为分别为表中各行概率值之和 即 二维离散型随机向量(,)XY关于Y的边缘分布为分别为表中各列概率值之和 即 22.设二维随机向量(,)XY的联合概率密度函

8、数为 1求,XY的边缘密度函数；2X与Y是否独立.8 分【解】1二维随机向量(,)XY关于X的边缘密度函数为 二维随机向量(,)XY关于Y的边缘密度函数为 1011220012222220()(,)(,)601601001601310013012000Yfyfxy dxfxy dxx ydxyyxdxyyxyyyyy 其它其它其它其它其它2因为 所以，X与Y独立 五、应用题本大题共 4 小题，每题 6 分，总分值 24 分 23.*厂产品中，一等品比率为20，先从该厂的产品中随机抽出 100 个，用中心极限定理计算一等品的个数在 18 个到 25 个的概率.备查数据：【解】利用棣莫佛拉普拉斯定

9、理的直观模式-设nY=从该厂的产品中随机抽出100n 个，一等品的个数 在100n 重Bernoulli试验中，事件A抽到一等品恰好发生的次数，则 24.设总体X的密度函数为 取12,nxxx为总体X的一组样本观察值，求参数的最大似然估计值.【解】利用最大似然估计法连续型 X在样本观察值12,nxxx附近取值的概率(,)(1)kkxx 设01,1,2,kxkn 作似然函数 取对数并化简 1niilnx为常数 似然方程：解出 25.在*地区小学五年级男生中随意抽选 25 名，测得其样本的平均身高为 150 厘米，标准差为 12 厘米，假设该地区小学五年级的男生身高服从正态分布2(,)N,试根据所

10、得数据求的置信区间(0.05).备查数据：(24)2.064,(25)2.060,(1.96)0.975,(1.65)0.95tt【解】设该地区小学五年级的男生身高为X厘米，由题设知：总体2(,)XN 总体均值EX，总体方差2DX均未知 问题类型：正态总体，总体方差2DX未知 利用单正态总体参数的双侧置信区间表教材 P178 表 6-4-1知，总体均值的置信度为1的置信区间01为(,)22(1),(1)ssxtnxtnnn 由题设，取：样本容量25n 0.05置信度10.95 样本均值的观察值150 x厘米 样本标准差的观察值12s厘米 分位数 0.050.02522)(1(251(242.0

11、64nttt 将上述数据代入式得，该地区小学五年级的男生身高的置信度为95的置信区间为(,)1212(1502.064,1502.064)(145.104,154.896)2525 26.*厂生产的缆绳的抗拉强度2(,82)XN，现在从改良工艺后生产的缆绳中随机抽取 10 根，检测其抗拉强度，得样本方差26992s，当显著性水平0.05时，能否据此样本认为，新工艺生产的缆绳的抗拉强度的方差较以前有显著变化.备查数据：-22220.9750.0250.9750.025(9)2.7,(9)19.02,(10)3.25,(10)20.48【解】问题类型：正态总体，总体均值EX未知，对总体方差2DX进

12、展假设检验 双侧检验 由单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表知，可利用2检验 检验假设 22222()01000:64HH双侧检验 枢轴量22122022()(1)(1)niXXinSn 检验统计量22122200()(1)niXXinS 其观察值为 22122200()(1)nixxins 拒绝域 可简化表示为不等式表示 2222122(1)(1)nn或 检验 由题设，取：样本容量10n 显著性水平0.05 待检总体方差为2082 样本方差的观察值26992s 分位数 代入上述数据，得检验统计量21220()niXXi的观察值2满足 检验 即，2值未落入拒绝域中 推断 承受原假设0H

13、 即，拒绝备择假设1H 即，可以认为：新工艺生产的缆绳的抗拉强度的方差未变.-从而认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的方差较以前没有显著变化 六、证明题本大题共 1 小题，总分值 4 分 27.设随机变量X服从指数分布，概率密度函数为 求证：XYe的概率密度函数为【证明】解法 1：利用定义 XYe的分布函数为 于是，XYe的密度函数为 或 解法 2 下面利用结论 1最简求法 注意到，.Rv Y是.Rv X的函数:()XYgXe 一一对应()XYgXe的取值y是.Rv X的取值x的函数：()xygxe 由于.Rv X服从参数为1上的指数分布，即.Rv X的密度函数为：且在,c d 利用结论1得，()XYgXe的密度函数为()Yfy11()()0Xfgygyy其它 其中，1()xgy为函数()yg x的反函数教材中记为()xh y(),()(0),()ming cg dmingg，由函数()xygxe 反函数1()xgylny 11()()ygylnyy(0),()0,0minggmin (0),()0,maxggmax (0)1(10)1g，(1)1(1 1)12g 分别代、入式，得