全国近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率学案(2021-2022学年)8542.pdf

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1、第 1 讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 板块一 知识梳理自主学习 必备知识 考点 1 直线的倾斜角与斜率。直线的倾斜角（1)定义:x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0。(2）倾斜角的范围为 08.2。直线的斜率（)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即kt,倾斜角是 90的直线斜率不存在.(2）过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1），P2(x2,y2）（)的直线的斜率公式为错误!未定义书签。.考点 直线方程的几种形式 必会结论 直线的斜率与倾斜角之间的关系 牢记口诀:“斜率变化分

2、两段,90是分界线;遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”考点自测 1.判断下列结论的正误.(正确的打“”，错误的打“”)（1）直线的倾斜角越大,其斜率越大(）()斜率公式k=错误!，不适用于垂直于x轴和平行于轴的直线.()(3）当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在（)(4)过点P（x，y1）的直线方程一定可设为y-y1k(xx1)(）（5）直线方程的截距式错误!未定义书签。错误!1 中，a，b均应大于 0。（)答案(1)(2)(3)(4)（5)2.课本改编过点（-1，)，N(m1，4)的直线的斜率等于 1，则m的值为（)A。1 B.错误!C.错误!未定义书签。答案 A 解析 由错误!1,得m.故选

3、A.3。课本改编倾斜角为 15，在轴上的截距为1 的直线方程是(）。x-10 .x-y10 C.x-1=0 Dy+1=答案 D 解析 直线的斜率为k=an15=-,所以直线方程为=-x1,即xy+1=0.4.课本改编过两点(,3）,（2,）的直线方程为()A。x-y-30 B.xy。+y0 Dxy=0 答案 B 解析 所求直线的斜率k=f（3-1，2)1,又过点（0,3)，所以直线方程为x,即+y30.已知直线l：a+y-2-a0 在轴和y轴上的截距相等,则的值是（)。1 .1 C。或1 D.-2 或 1 答案 D 解析 由题意可知0.当x=0 时，ya+2；当时，=错误!,错误!=+2,解得

4、a-或a1.。218长春模拟直线l：(a2)（a1）=，则直线l恒过定点_ 答案(2,）解析 直线l的方程变形为a(x+y）-2x+6=0,由错误!解得x2,y=2，所以直线l恒过定点（2，-2).板块二 典例探究考向突破 考向 直线的倾斜角与斜率 例 1 直线l过点P(，0）,且与以A(2，1)，B(0,错误!未定义书签。)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为_ 答案(-,-错误!1,)解析 如图，kAP错误!未定义书签。，kBP错误!未定义书签。错误!未定义书签。,k(-，错误!1,+).若将题中P(1,0）改为P(-,），其他条件不变，求直线斜率的取值范围 解 P（-1,），A

5、(2，），(0，错误!),kAP=错误!错误!未定义书签。，P=错误!错误!未定义书签。如图可知，直线l斜率的取值范围为错误!。若将题中条件改为“经过P(,1)作直线,若直线与连接A(1，-）,B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角的范围.解 如图所示,kPA错误!未定义书签。=1,kP=f(1-(1）,0）1,由图可观察出:直线l倾斜角的范围是错误!错误!未定义书签。触类旁通 直线的斜率与倾斜角的区别与联系 【变式训练】（1）8重庆巴蜀中学诊断直线x+（a2+1）y10 的倾斜角的取值范围是()A.错误!B.错误!未定义书签。C。错误!错误!D.错误!未定义书签。错误!答案 B 解

6、析 依题意，直线的斜率k=-错误!未定义书签。1,),因此其倾斜角的取值范围是错误!未定义书签。（2）若经过两点A（4,2)，(2,-3)的直线的倾斜角为错误!,则y等于(）1 B C0 D.答案 B 解析 由错误!未定义书签。tn错误!未定义书签。=,得-4-y=2,所以y-3。考向 求直线的方程 例 2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点（4,0)，倾斜角的正弦值为错误!;（2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12;（3）与直线 3x-4y5=0 关于y轴对称.解()由题设知该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为，则 sin错误!(0）,从而 cos错误!未定义

7、书签。，则ktan=错误!,故所求直线方程为y错误!(x4）,即x+y+4=0 或-340。(）由题设知截距不为 0，设直线方程为错误!未定义书签。y12-a,又直线过点（3,4）,从而a+1a=1,解得a-4 或a 9.故所求直线方程为 4xy1=0 或x3y-9=0。（)直线 3x-y0 与轴的交点为A错误!未定义书签。,所求直线过A错误!未定义书签。,且斜率k错误!，所求直线方程为y-错误!x错误!,即 3+4y5=0。触类旁通 求直线方程的两种方法（1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程,选择时,应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论.(2)待定系

8、数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程（组),再求出参数，最后将其代入直线方程。【变式训练 2】已知BC的三个顶点分别为A(3,0),（2,1)，C(-2,3),求：(1）B边所在直线的方程；（2）B边上中线AD所在直线的方程；（3）BC边的垂直平分线DE的方程 解(1)因为直线BC经过B（2,1)和C(2，3)两点,由两点式得BC的方程为错误!=错误!未定义书签。,即x2y-0.(2）设BC边的中点D的坐标为(x，)，则f（2-,2)0,错误!=2。BC边的中线AD过点(,0)，D（，2)两点,由截距式得A所在直线方程为x3+错误!未定义书签。=1,即x60.（3)由（1)知直线C的

9、斜率1-错误!未定义书签。，则直线的垂直平分线DE的斜率k=。由（2)知点D的坐标为（0,）可求出直线的点斜式方程为y-2=2（x-)，即 2x-y+=0 考向 直线方程的应用 例 3 2018无锡检测已知直线l:kxy1+2=(kR)(1)证明:直线l过定点；(2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，为坐标原点，设AB的面积为，求S的最小值及此时直线l的方程 解(1)证明：直线l的方程可化为yk(x2）1，故无论k取何值,直线l总过定点(2，1)(2)直线l的方程为x+2k1,则直线l在y轴上的截距为k+1，要使直线l不经过第四象限，

10、则错误!未定义书签。解得k的取值范围是0,).()依题意，直线在x轴上的截距为-错误!未定义书签。,在y轴上的截距为 1+2,A错误!,B（0，+2k)又1+2kk,b0）.设直线l的方程为错误!错误!，则错误!错误!=,所以|OA|+|OB|=a+=(+)错误!2错误!未定义书签。错误!2错误!未定义书签。,当且仅当“=b=”时取等号,此时直线l的方程为y2=0（2)设直线l的斜率为k,则0,直线l的方程为y-1=k(x1），则A错误!,B(0，-),所以|M|+M|错误!未定义书签。2+12(11+k)2=2+错误!未定义书签。2k2f（1k2）=4.当且仅当k212，即k1 时取等号，此

11、时直线l的方程为y1=(),即+y2=0。核心规律 1.明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线 2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数,这种方法叫待定系数法 满分策略 1。求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.2根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性 3。截距为一个实数,既可以为正数，也可以为负数，还可以为，这是解题时容易忽略的一点 板块三 启智培优破译高考 易错警示

12、系列 1都是漏掉“过原点”情况惹的祸 208济南检测求经过点P（，3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程.错因分析 利用截距式方程求解时，忘记过原点的情况,而漏掉直线方程 3-2y=。解 解法一:（1）当截距为 0 时,直线l过点(0,0)，（,3),则直线l的斜率为k错误!=错误!未定义书签。,因此，直线l的方程为y=2x,即 3y。（2)当截距不为 0 时，可设直线l的方程为xa错误!直线l过点P（2,3),(2,a)错误!未定义书签。=1，=，直线l的方程为xy-0.综上可知,直线l的方程为 32y0 或-0。解法二：由题意可知所求直线斜率存在，则可设y-3=（x2）,且k0。令x

13、0，得y=23.令y=0,得x-错误!未定义书签。+2.于是-k3=f（3,)+，解得kf(3,)或1.则直线的方程为y-3=错误!(x）或y3=(x-2），即直线l的方程为 3x20 或xy5=0.错误!跟踪训练 过点（5，)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的倍的直线方程是(）A.2+10。2x+y-10 或 2-y=C。x2y-1=D。2y-=0 或x5y0 答案 D 解析 当直线经过坐标原点时,直线方程为y错误!未定义书签。x，即 2x-5y；当直线不经过坐标原点时，设直线方程为错误!未定义书签。+错误!未定义书签。=1,则错误!+错误!未定义书签。1,解得b=错误!，故所求的直线方程

14、是错误!+错误!,即+2y90。板块四 模拟演练提能增分 A 级 基础达标 1。直线x错误!y0 的倾斜角是()A.错误!B.错误!C。错误!未定义书签。D.错误!未定义书签。答案 D 解析 由直线的方程得直线的斜率k=-错误!,设倾斜角为，则 ta=错误!,所以错误!未定义书签。.2.01沈阳模拟直线x+by+c0 同时要经过第一、第二、第四象限,则,b，应满足()。ab,b B.a,c0 C。ab0，c Dab0,bc0 答案 A 解析 由于直线+byc0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率,将方程变形为yf（a，b)x-(c，b).易知-错误!未定义书签。0 且错误!未定义书签。0，

15、故0，b0.3。2018邯郸模拟过点(2,1)，且倾斜角比直线y-的倾斜角小错误!未定义书签。的直线方程是(）A.x2 .1 .x1 D.y=答案 A 解析 直线yx1 的斜率为,则倾斜角为错误!.依题意,所求直线的倾斜角为错误!-错误!错误!未定义书签。，斜率不存在，过点(2，1）的直线方程为x=2。4.已知三点A（，3）,B(4，3)，C错误!在同一条直线上，则k的值为()A2 B9 .12 .9 或 1 答案 A 解析 由kABkAC，得错误!错误!,解得=2.故选 A 5。2018荆州模拟两直线f（,m)错误!未定义书签。=与n-f(y,m)（其中a是不为零的常数)的图象可能是（）答案

16、 B 解析 直线方程错误!-错误!=a可化为y错误!xa,直线错误!-错误!未定义书签。=a可化为=错误!未定义书签。-ma，由此可知两条直线的斜率同号.故选 B。6。018安徽模拟直线l:xsin30+yc10+10 的斜率是()A.错误!B。错误!未定义书签。C错误!未定义书签。D.错误!未定义书签。答案 A 解析 设直线l的斜率为k,则k-错误!未定义书签。错误!.7.直线cos+错误!y2=0 的倾斜角的取值范围是_.答案 错误!未定义书签。错误!未定义书签。解析 设直线的倾斜角为,依题意知,(，2),k=-错误!未定义书签。cos，co-1,1,k错误!,即 tan错误!未定义书签。

17、又0，），错误!错误!8。已知实数x，y满足方程x2y,当 1x3 时，错误!未定义书签。的取值范围为_ 答案 错误!未定义书签。错误!未定义书签。解析 1x-的几何意义是过M(x,），N(2,1)两点的直线的斜率，因为点M在x+2y=6 的图象上，且 1，所以可设该线段为AB，且A错误!未定义书签。,B错误!，由于NA错误!，NBf（1,2)，所以错误!的取值范围是错误!未定义书签。错误!.9。过点M(3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_.答案 y-f(5,3)x或x8=解析(1）当直线过原点时，直线方程为y-错误!;(2）当直线不过原点时，设直线方程为错误!错误!未定义书签

18、。=1，即-y=a，代入点（-3,),得=8，即直线方程为x-y+8。10。201衡阳模拟一条直线经过点A（2，错误!),并且它的倾斜角等于直线错误!x的倾斜角的倍，则这条直线的一般式方程是_ 答案 错误!未定义书签。xy3错误!=0 解析 解法一：直线y错误!x的倾斜角为 30,所以所求直线的倾斜角为0,即斜率k=tan60错误!未定义书签。.又该直线过点(2，-r（）)，故所求直线为（错误!未定义书签。）=错误!(x2)，即错误!-3错误!=0。解法二：设直线y=错误!x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角=.tan2错误!=错误!未定义书签。错误!.所求直线为错误!未定义书签。3错误!=0。级

19、 知能提升 1.2018海南模拟直线(1-a2)x+=0 的倾斜角的取值范围是()A。错误!未定义书签。B.错误!未定义书签。C。错误!错误!。错误!未定义书签。错误!答案 C 解析 直线的斜率k-(1-a2）=a21，a20，a21-.由倾斜角和斜率的关系（如图所示）,该直线倾斜角的取值范围为错误!未定义书签。错误!未定义书签。2.已知点A（-1，0）,B(cos，sin），且|B|=3,则直线B的方程为()A。y错误!x错误!未定义书签。或y=-错误!未定义书签。x-错误!未定义书签。=错误!未定义书签。+错误!未定义书签。或=错误!未定义书签。x错误!Cy=x+1 或=-x-1 D。=错

20、误!未定义书签。x错误!或=-错误!x-错误!未定义书签。答案 B 解析 由B|=错误!=错误!错误!,得 cs=错误!,所以 sin错误!，所以直线AB的斜率kB错误!未定义书签。错误!未定义书签。=错误!未定义书签。或kA=si0os1错误!未定义书签。错误!，所以直线AB的方程为=错误!未定义书签。(x+1),即直线B的方程为y错误!未定义书签。x+f（3,3）或错误!未定义书签。x错误!。选 B.3.201宁夏调研若b，且A（a，0)，B(0,b)，C（-，-2）三点共线,则b的最小值为_.答案 1 解析 根据（a,0），B（0,）确定直线的方程为错误!未定义书签。+错误!=1,又C（

21、-2,2）在该直线上,故错误!未定义书签。错误!未定义书签。=，所以2(a)=ab。又ab0,故a0,b0.根据基本不等式b=2（a+）错误!未定义书签。，从而错误!(舍去）或错误!4，故b16,当且仅当=4 时取等号，即ab的最小值为 16。在ABC中,已知A（1,1)，AC边上的高线所在直线方程为-2=0，AB边上的高线所在直线方程为 32y3。求BC边所在直线方程.解 A-2,ABf（，3)AC：y-（x),即 2xy=0,AB:y-1f(2,3）（x-1）,即 2x3y=0 由错误!得C（3，).由错误!未定义书签。得B（2，1）.BC:2x59=0.过点P（2，1)作直线，与x轴和y

22、轴的正半轴分别交于,B两点，求:（1)OB面积的最小值及此时直线l的方程；(2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；(3)求PA|P|的最小值及此直线l的方程.解（1)解法一:设直线的方程为y-=k(2)，则可得A错误!未定义书签。,B（0，1-）与x轴，y轴正半轴分别交于，B两点,错误!k.于是SA错误!|A|OB|=错误!错误!(1-k)=错误!错误!未定义书签。错误!未定义书签。错误!4.当且仅当-错误!=-k,即k-错误!未定义书签。时,AO面积有最小值为 4,此时，直线l的方程为-=错误!未定义书签。(x-),即x2y-4=0。解法二：设所求直线的方程为错误!未定

23、义书签。错误!1(a0，b），则错误!+错误!1 又错误!+错误!未定义书签。错误!错误!ab4，当且仅当错误!未定义书签。=错误!=错误!未定义书签。，即a=4,2 时,OB面积S错误!未定义书签。ab有最小值为 4。此时，直线的方程是f(x，4)+错误!1,即x+2y-40。(2)解法一:错误!未定义书签。,B(0,12k)（k0），截距之和为错误!未定义书签。+12-2k错误!未定义书签。32错误!+2错误!.当且仅当2k-错误!未定义书签。，即k错误!时，等号成立 故截距之和最小值为2错误!,此时l的方程为y-错误!(),即错误!未定义书签。x2y-2错误!未定义书签。=.解法二：错误

24、!+错误!1,截距之和b=(ab)错误!未定义书签。3错误!未定义书签。+错误!未定义书签。2错误!=3+2错误!未定义书签。此时错误!未定义书签。错误!未定义书签。，求得b=错误!1,a2+错误!未定义书签。.此时,直线l的方程为错误!+错误!=1，即错误!未定义书签。2y-2-2错误!未定义书签。=0。（3）解法一:A错误!未定义书签。,B(,1-k）(0)，A|P|=错误!未定义书签。错误!=错误!错误!。当且仅当f(4,k)=,即=-1 时上式等号成立，故|PPB最小值为 4,此时，直线l的方程为x3=0。解法二:设OAB,则A|错误!未定义书签。,|B|=(,sin(9-)）错误!,|PA|P|错误!错误!,当 sin2=1，=错误!未定义书签。时,|PA|PB取得最小值 4，此时直线的斜率为1,又过定点(2,1)，其方程为3=0