高考数学复习：最值问题题型11943.pdf

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1、 高考数学 最值问题题型全归纳 题型一 函数与导数中的最值问题.1 题型二 三角函数与解三角形中的最值问题.16 题型三 向量中的最值问题.31 题型四 数列中的最值问题.45 题型五 立体几何与空间向量中的最值问题.60 题型六 解析几何中的最值问题.80 题型一 函数与导数中的最值问题 一、选择题 1.函数=f xexxln)(在，e0 2(上的最大值为（）Ae1 B1 Ce D0【答案】D【解析】由题意，函数=f xexxln)(，则=xxfxeex1)(，当xe(0,)时，fx0)(，函数f x)(单调递增；当xee(,2 时，fx0)(，函数f x)(单调递减，所以当=xe，函数f

2、x)(取得最大值，最大值为=f eeeeln0)(，故选 D 2.函数=f xxxa()33在区间0,3上的最大值、最小值分别为M、N，则=MN（）A2 B4 C20 D18【答案】C【解析】对函数进行求导得到：=fxx()332，令=fx()0，解得：=x11，=x12，第 2 页 共 94 页 当01x时，()0fx；当13x 时，()0fx，所以函数()f x在)0,1上单调递减，函数()f x在 1,3上单调递增，由于(0)fa=，(1)2fa=，(3)18fa=，所以最大值=18Ma，最小值2Na=，故20MN=，故选 C.3.设23451111logloglogloga=+，yxa

3、=，xN，当y取最小值时的x的值为（）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】23451111logloglogloga=+log 2log 3log 4log 5log 120=+=，481，5243.45aa ，yxa=，xN，当y取最小值时的x的值为 4 故选 C 4.已知函数1()(1)ln1f xaxaxx=+(Ra)在(0,1上的最大值为 3，则a=（）A2 Be C3 D2e【答案】B【解析】222211(1)1(1)(1)()aaxaxaxxfxaxxxx+=+=，(0,1)x，令()(1)(1)g xaxx=，(0,1)x，当1a时，110axx ，()0g x，()0fx，

4、()f x在(0,1上单调递增，max()(1)f xfa=，即3a=（舍去），当1a 时，1(0,)xa，()0g x，()0fx；1(,1)xa时，()0g x，()0fx，故()f x在1(0,)a上单调递增，在1(,1)a上单调递减，max11()()2(1)ln3f xfaaaa=+=，即(1)ln10aaa+=，第 3 页 共 94 页 令()(1)ln1h xxxx=+(1x)，1()ln0h xxx=，()h x在(1,)+上单调递减，且(e)0h=，ea=，故选 B.5.已知函数2()2 ln2f xaxxx=+（aR）在定义域上为单调递增函数，则a的最小值是（）A14 B1

5、2 C13 D15【答案】A【解析】由题意知：函数定义域为()0,+，且()()22222xxaafxxxx+=+=，()f x在定义域上为单调递增函数 20 xxa+对()0,x+恒成立，即2axx+对()0,x+恒成立，当12x=时，2xx+取得最大值111424+=，14a，即a的最小值为14，故选A.6.记,a abmax abb ab=，则函数()2xef xmax xlnxx=，的最小值为（）A1e B0 Ce D24e【答案】D【解析】如图，1ln,ln10,yxx yxxe=+=函数在1(0,)e 上递减，在1(,)e+上递增；23(2)(0),0,2xxeexyxyxxx=函

6、数在（0，2）上递减，在（2，+）上递增；又232ln242e当 x2 时，2lnxexxx，当 x2 时，两个函数都是增函数，且取两函 第 4 页 共 94 页 数的较大者，则2()maxln,xef xxxx=在 x=2 时取最小值24e，故选 D 7.已知()()211f xaxxax=+且1a,则()fx的最大值为（）A54 B34 C3 D1【答案】A【解析】由题意得：()()222111f xa xxa xxxx=+，11x ，22221511124xxxxxxx+=+=+=+，当12x=，即12x=时，()2max514xx+=，即()54f x，即()fx的最大值为54，故选A

7、.8.已知函数()ln2f xaxx=+（a为大于 1 的整数），若()yf x=与()yf f x=的值域相同，则a的最小值是（参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln51.6094）（）A5 B6 C7 D8【答案】A【解析】()ln2()=1aaxf xaxxfxxx=+=，当xa时，()0fx，函数()f x单调递减，当0 xa时，()0fx，函数()f x单调递增，max()()ln2f xf aaaa=+，又当0,()xf x，所以函数()f x的值域为(,ln2aaa+，令()ln2()ln1 1ln,t aaaat aaa=+=+=1,()0aaZt a因此()t

8、 a是单 第 5 页 共 94 页 调递增函数，因此当2,aaZ时，()(2)2ln 20t at=，令()ln2f xaxxn=+=由上可知：ln2naaa+，()()yf f xf n=，由上可知函数(n)f在0 xa时，单调递增，在xa时，单调递减，要想()()yf f xf n=的值域为(,ln2aaa+，只需ln2aaaa+，即ln220aaa+，设()ln22g aaaa=+，2,aaZ，()ln1g aa=，所以当3,aaZ时，函数()g a单调递增，(2)2ln 240,(3)3ln340gg=，(4)4ln 460,(5)5ln580gg=，所以a的最小值是 5，故选 A.9

9、.设函数|()xxxef xe+=的最大值为，最小值为，则下列结论中：2MNe=，4MN+=，211MNe=，11MeNe+=，其中一定成立的有（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】D【解析】当0 x时，()xxxef xe+=，()()()211()xxxxxxeexeexfxee+=，所以当()0,1x时，()0fx，当()1,x+时，()0fx，当0 x时，()1xxxxef xxee+=+，()()1xfxxe=+，所以当(),1x 时，()0fx，当()1,0 x 时，()0fx，作出函数|()xxxef xe+=的简图如下：第 6 页 共 94 页 所以函数|()xxx

10、ef xe+=的最大值()1111eMfee+=+，最小值()111Nfe=所以2MNe=成立，211MNe=成立，11MeNe+=成立，4MN+=不成立 所以正确，故选 D.10.已知实数,a b满足23ln0,aabcR=，则22()()acbc+的最小值为（）A1 B2 C2 D5【答案】C【解析】分别设2()3ln(0),yf xxxxyx=，则22()()acbc+表示曲线()yf x=上的点到直线yx=的距离，22()()acbc+的最小值表示曲线2()3lnyf xxx=与直线yx=平行的切线与直线yx=的距离，因为2()3lnyf xxx=，所以3()2fxxx=，设与直线yx

11、=平行的切线切点横坐标为m，则3()21fmmm=，解得1m=，可得()11f=，所以曲线在点()1,1处的切线方程为()11yx=，即20 xy+=，所以直线20 xy+=与直线0 xy+=的距离为222d=，所以22()()acbc+的最小值为2，22()()acbc+的最小值为 2，故选 C.11.已知函数满足2(1)12()()()f xf xfxxR+=+，则()()12020ff+的最大值是（）A22 B2 C22+D4【答案】C【解析】由()()()()2112f xf xfxxR+=+，得()()220f xfx，得()02f x，第 7 页 共 94 页 平方得()()()(

12、)()222112 22fxf xfxf xfx+=+，又()()()22122 2f xf xfx+=+得()()2211f xfx+()()()()()()22222 212 22fxfxfxfxfxfx=+()()212 fxfx=，即()()()()2221121f xfxf xfx+=，设()()()22g xf xfx=，则等价为()()11g xg x+=，即()()()()2111g xg xg xg x+=+=，()()2g xg x+=，则()()()()()()()()0242020,1352021gggggggg=，则()()()()12020101gggg+=+=，(

13、)()()()222112202020201ffff+=，即()()()()22212020120201ffff+=即()()()()()()2212020120202120201ffffff+=()()()()()()()()221202021202011202021202022ffffffff+=+()()21120202ff=+，设()()12020tff=+，则不等式等价为221122ttt+，整理得2420tt+，得2222t+，即()()221202022ff+，则()()12020ff+的最大值为22+，故选 C 12.已知函数2()(1)2xaf xxex=，对于任意1xR，(

14、)20,x+，不等式()()121222f xxf xxx+恒成立，则整数a的最大值为（）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】()()()()1212212122f xxf xxxxxxx+=+，第 8 页 共 94 页 设112txx=+，212txx=则有12,t tR且12tt，即()()1221f tf ttt恒成立，即()()1122f ttf tt+，令()()g xf xx=+，则()g x在R上单调递增，即()0gx恒成立，即()10 xg xxeax=+，(1)10gea+=，得14ae+，下证3a=成立：()31xg xxex=+，易证当0 x时，()311xxg xx

15、exxe=+，考查函数xyx e=，则()1xyex=+，故函数xyx e=在区间(),1 上单调递减，在区间()1,+上单调递增，当1x=时，函数的最小值为min1ye=，据此可得：()11 10 xgxxee+，当0 x 时，()31xg xxex=+22(1)3121(1)0 x xxxxx+=+=，故3a=成立.故选C.二、填空题 13.已知函数11,0,()1,0,2xxf xx x+=则()f x的最大值是_【答案】1【解析】当1x 时，()()112f xxx=+=+，此时：()()11f xf=当10 x 时，()()11f xxx=+=，此时：()()11f xf=当0 x

16、时，()12f xx=，此时：()0f x,综上所述：()max1f x=.14.32()(1)1f xxfx=+，()f x在(2,)m上有最大值，则m最大值为_【答案】3【解析】因为32()(1)1f xxfx=+，所以2()32(1)fxxfx=+，因此(1)32(1)ff=+，解得(1)3f=，所以2()36fxxx=，由2()360fxxx=得2x 或0 x；由2()360fxxx=得02x，所以函数()f x在(,0)上单调递增，在(0,2)上单调 第 9 页 共 94 页 递减，在(2,)+上单调递增；所以当0 x=时，()f x取极大值(0)1f=，由32()31 1f xxx

17、=+=得0 x=或3x=；又()f x在(2,)m上有最大值，所以只需03m.故答案为 3 15.已知函数222()224,()1()(,)f xaxxbbg xxaa bR=+=，若存在0 x满足0()fx是()f x的最大值，0()g x是()g x的最小值，则所有满足条件的整数对(,)a b是_.【答案】(1,1)(1,3)和【解析】若0a=，2()2 42f xbb x=+，可得()f x无最大值，故0a，()f x为二次函数，要使()f x有最大值，必须满足20420abb+，即0a 且1515b+，此时，2042bbxxa+=时，()f x有最大值又()g x取最小值时，0 xxa

18、=，依题意，242bbaZa+=，可得225(1)ab=，0a 且1515b+，205a，结合a为整数得1a=，此时1b=或950 综上所述，满足条件的实数对(,)a b是：(1,1)，(1,3)16.已知函数22,0,(),0,xxxf xex=若方程2()f xa=恰有两个不同的实数根12,x x，则12xx+的最大值是_【答案】3ln22【解析】第 10 页 共 94 页 作出的函数图象如图所示，由()2f xa=，可得(),1f xaa=，即1a，不妨设12xx，则2212xxea=，令(1)at t=，则12,ln2txxt=，12ln2txxt+=，令()ln2tg tt=，则42

19、()4tg tt=，当 18t 时，()0gt，g t在()1,8上递增；当8t时，()0gt，g t在()8,+上递减；当8t=时，g t取得最大值g(8)=ln8 2=3ln22,故答案为3ln22.三、解答题 17.已知函数()()20f xaxbx a=+满足方程()f xxa=有两相等实根，求在 0,1上的最小值.【解析】因为方程()f xxa=有等根，()210axbxa+=的()22140ba=，解得21ba=+或21ba=+.当21ba=+时，()()()2210f xaxax a=+，所以对称轴为2102axa+=，所以，在 0,1上单调递增，即()()min00f xf=.

20、当21ba=+时，()()()2210f xaxax a=，所以对称轴为211122axaa=.所以，当102a时，1102a，则在 0,1上单调递增，第 11 页 共 94 页 故()()min00f xf=.当12a 时，10112a，即在10,12a上单调递减，在11,12a上单调递增，所以()()2min211124af xfaa=.综上，当21ba=+和21ba=+且102a时，()()min00f xf=；当21ba=+且12a 时，()()2min211124af xfaa=.18.已知函数()2sincos4(0,)f xaxxa x=+（1）求的最小值()g a；（2）若在0

21、,上有零点，求a的取值范围【解析】（1）由题意，函数()222sincos4(sin)324aaf xaxxaxa=+=+，因为0,x，所以sin0,1x，当2a 0时，即0a 时，则sin0 x=时，取得最小值()3g aa=；当012a 时，即20a 时，则sin2ax=时，所以取得最小值()234ag aa=+；当12a时，即2a 时，则sin1x=时，取得最小值()4g a=综上可得，()23,03,20442aaag aaaa=+（2）0,x，sin0,1x，由()0f x=，可得2sin3(1 sin)xxa+=，当sin1x=时，此等式不成立 第 12 页 共 94 页 故有si

22、n1x，2sin31 sinxax+=，令sin0,1)tx=，则231tat+=，显然函数a在0,1)t上单调递增，故当0t=时，3a=；当t趋于 1 时，a趋于正无穷大，故3a 19.已知函数满足22()loglog(1)f xxax+=+（1）当1a=时，解不等式()1f x；（2）若关于 x 的方程12()2logf xx=的解集中有且只有一个元素，求 a 的值；（3）设0a，若对1 3,2 2t，函数()f x在区间1t t+，上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围【解析】（1）由题意可得201log(1)110 xxx+，得112x+，解得|01xx.（2）方程有且仅

23、有一解，等价于210axx+=有且仅有一解，且0,10 xax+，当0a=时，1x=符合题意；当0a 时，11404aa=+=，此时2x=满足题意，综上，0a=或14a=.（3）当120 xx时，1211aaxx+，221211log()log()aaxx+所以()f x在(0)+，上单调递减 函数()f x在区间1t t+，上的最大值与最小值分别为()f t，(1)f t+，2211()(1)log()log()11f tf taatt+=+即2(1)10atat+对任意1 2,2 3t 恒成立，因为0a，所以函数2(1)1yatat=+在区间1 2,2 3上单调递增，第 13 页 共 94

24、 页 所以12t=时，y 有最小值3142a，由31042a，得23a 故a的取值范围为2).3+，20.已知函数2()21xf xxexx=.（1）求函数在 1,1上的最大值；（2）证明：当0 x 时,()1f xx .【解析】（1）()22(1)(2),1,1xxxfxexexxex=+=+，令()0fx，解得ln21x，令()0fx，解得1ln2x，所以函数在 1,ln 2)上单调递减，在(ln 2,1上单调递增，且11(1)12 1fee=+=，(1)1 2 14fee=，所以函数在 1,1上的最大值为1e；（2）由()1f xx 可得2211xxexxx ，即20 xxexx，因为0

25、 x，所以10 xex，令()e1xh xx=，得()1xh xe=，当0 x 时，可得1xe，从而有()0h x，所以()e1xh xx=在(0,)+上是增函数，所以0()0 10h xe =，从而有10 xex 恒成立，即原命题得证，故：当0 x 时,()1f xx .21.己知函数2()(lnln),(0)f xxxaa=+（1）当1a=时，设函数()()f xg xx=，求函数()g x的单调区间和极值；（2）设()fx是()f x的导函数，若2()1fxx对任意的0 x 恒成立，求a的取值范围；第 14 页 共 94 页（3）设函数ln()xh xxx=，当1b时，求()h x在区间

26、1,bb上的最大值和最小值.【解析】（1）当1a=时，()()lnf xg xxxx=，可得()1 lng xx=+，令()0g x=，可得1xe=，当10,ex时，()0g x，()g x单调递减；当1,()0 xg xe+，()g x单调递增；可得当1xe=，取得极小值1e；（2）()2(lnln)fxxxax=+，22()2(lnln)1fxxxaxxx+=，即2ln2ln1xax+，2ln2ln1axx在0 x 恒成立，设()2ln1m xxx=，可得2()xm xx=，令()0m x=，可得x2=，当02x，()0m x，函数单调递减，当2x，()0m x，函数单调递增，当2,()x

27、m x=有最小值，可得(2)1 2ln 2m=，2ln1 2ln2a，02ea；（3）由ln()xh xxx=，可得221ln()xxh xx=，当01x，可得210,ln0 xx，所以()0h x，()h x单调递增；当1x 时，210,ln0 xx，所以()0h x，()h x单调递减；第 15 页 共 94 页 可得()h x在(0,1)单调递增，在(1,)+单调递减，又101bb，可得()h x的最大值(1)1h=设111()()lnF bh bhbbbbbb=+其中1b，可得21()1ln0F bbb=，故()F b在(1,)+单调递增，可得()(1)0F bF=，即1()h bhb

28、，故可得()h x的最小值11lnhbbbb=.22.已知函数()1lnfxxx=，()g xaxb=+(1)若2a=，()()()F xf xg x=，求()F x的单凋区间；(2)若函数()g xaxb=+是函数()1lnfxxx=的图象的切线，求+a b的最小值【解析】(1)2a=时，()()()F xf xg x=1ln2xxbx=，()2112(0)Fxxxx=+，()()()2221121 2xxxxFxxx=+=，解()0Fx得01x，解()0Fx得1x，()F x的单调增区间为()0,1，单调减区间为区间为()1,+(2)设切点坐标为设切点坐标为0001,ln,xxx，()21

29、1fxxx+=，切线斜率()020011afxxx=+，又0001lnxaxbx=+，002ln1bxx=，020011ln1abxxx+=+,令()211ln1(0)h xxxxx=+，()32121h xxxx=+232xxx+=()()321xxx+=，解()0h x得01x，解()0h x得1x，第 16 页 共 94 页()h x在()0,1上递减，在()1,+上递增()()11h xh=，ab+的最小值为1 题型二 三角函数与解三角形中的最值问题 一、选择题 1.函数()3cos22f xx=+，若对于任意的xR，都有()()12()f xf xf x成立，则12xx的最小值为（）

30、A2 B1 C12 D4【答案】A【解析】对任意的xR，12()fxf xfx成立，所以1min()3fxf x，2max()3fxf x，所以12min22Txx，故选 A.2 函数2()sincos3sin666f xxxx=在区间1a-，上至少取得2个最大值，则正整数a的最小值是（）A7 B9 C11 D12【答案】A【解析】函数2()sincos3sin666f xxxx=13sin232x=（1cos3x）sin（33x+）32，函数的最小正周期为T23=6；又f（x）在区间1，a上至少取得 2 个最大值，a（1）T4T+=7.5，解得a6.5，正整数a的最小值是 7故选A 3 若0

31、，函数cos()3yx=+的图像向右平移3个单位长度后关于原点对称，则的最小值为（）A112 B52 C12 D32 第 17 页 共 94 页【答案】B【解析】函数cos()3yx=+的图像向右平移3个单位长度后，对应图像的解析式为()cos()33g xx=+，因为()g x的图像关于原点对称，所以,332kkZ=+，故13,2kkZ=，因0，故的最小值为52，故选B.4.已知函数()()sinfxAx=+，0,0,2A的部分图象如图所示，则使()()0f axf ax+=成立的a的最小正值为（）A12 B6 C4 D3【答案】B【解析】易知，2A=，(0)1f=，即2sin1=，且2，即

32、6=因为有图可知，11()0,12f=所以1111sin()0,126126kkZ+=+=即122,11kkZ=，又因为周期1121124121211T，且0 所以当2,2k=，所以函数()2sin(2)6f xx=+，因为()()0f axf ax+=，函数()f x关于xa=对称，即2,62akkZ+=+可得,26kakZ=+，所以a的最小正值为6，故选 B.5.己知函数()()sin02f xx,=+部分图象如图所示，则6yfx=+取得最小值时的集合为（）第 18 页 共 94 页 A,6x xkkZ=B,3x xkkZ=C2,6x xkkZ=D2,3x xkkZ=【答案】B【解析】由图

33、可知，741234T=，则T=，所以22w=，由五点作图的第二点知，232+=，所以6=，所以()sin(2)6f xx=，则()sin2()sin(2)6666yf xxx=+=+=+，则22,62xkkZ+=+，得,3xkkZ=+，所以()6yf x=+取得最小值时x的集合|,3x xkkZ=+，故选 B 6.已知函数22()cossin()6f xxx=+，则（）A()f x的最小正周期为2，最小值为12 B()f x的最小正周期为，最小值为12 C()f x的最小正周期为2，最小值为12 D()f x的最小正周期为，最小值为12【答案】D【解析】由题可得函数：第 19 页 共 94 页

34、 111111 1()(1 cos2)1 cos(2)cos2(cos22232222 2f xxxxx=+=+3131sin2)cos2sin21sin(2)124426xxxx=+=+，则函数()f x的最小正周期为，最小值为11122+=，故选D 7.在ABC中，5,2 6412BCAC=，AC的中点为D，若长度为 3 的线段PQ（P在Q的左侧）在直线BC上移动，则APDQ+的最小值为（）A302 102+B303 102+C304 102+D305 102+【答案】B【解析】由正弦定理可得2 62324224BCAB=+,6,3 26BCAB=+,以 BC 所在直线为x轴，则(0,33

35、)A+,()33 33(,0),3,0,(,)22P aQ aD+则APDQ+表示x轴上的点 P 与 A 和33 33(,)22+的距离和，利用对称性，33 33(,)22+关于x轴的对称点为3333(,)22E+，可得APDQ+的最小值为AE=303 102+.第 20 页 共 94 页 8.已知函数()()()sin0fxx=+在区间72,123上单调，且14f=，304f=，则的最大值为（）A7 B9 C11 D13【答案】B【解析】由题意，函数()sin()(0)f xx=+在区间72(,)123上单调，则27312122T=，解得6T，所26，即12，又由3()1,()044ff=，

36、则34442TkT=+，即2121 2244kkT+=，解得21,kkZ=+，当5k=时，此时11=，则()sin(11)f xx=+，又由()14f=，即11()sin()144f=+=，解得4=，即()sin(11)4f xx=，此时函数在区间72(,)123上不单调，不满足题意.当4k=时，此时9=，则()sin(9)f xx=+，又由()14f=，即9()sin()144f=+=，解得4=，即 第 21 页 共 94 页()sin(11)4f xx=+，此时函数在区间72(,)123上是单调函数，满足题意，所以的最大值为9，故选 B.9.在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为,a b

37、 c，若4ac=，sin2sincos0BCA+=，则ABC面积的最大值为（）A1 B3 C2 D4【答案】A【解析】由正弦定理得：2 cos0bcA+=,由余弦定理得：222202bcabcbc+=，即2222bac=,22222222232 332cos22442acacacbacacBacacacac+=当且仅当24 33c=，24 33b=，24 3a=时取等号，0,6B,1sin2B,则111sin41222ABCSacB=，所以ABC面积的最大值 1.故选A.10.已知函数()=(+)，其中 ，|，为()的零点：且()|()|恒成立，()在区间(,)上有最小值无最大值，则的最大值是

38、（）A11 B13 C15 D17【答案】C【解析】由题意知函数()=(+)(，|)，=为yf（x）图象的对称轴，=为f（x）的零点，+=，nZ，2n+1f（x）在区间(，)上有最小值无最大值，周期T（+）=，即，16要求的最大值，结合选项，先检验15，当15 时，由题意可得15+k，=，函数为yf（x）sin（15x），在区间(，)上，15x（，），此时f（x）在=时取得最小值，=15 满足题意则的最大值为 15，故选C 11.已知函数()=(+)（，,）的部分图像如图所示，且()在 第 22 页 共 94 页,上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A,)B,)C(,D(,【答案】

39、B【解析】由题意知，()=(+)，()=，=+,(),，=，,2，+，()上,上恰有一个最大值和一个最小值，+，0，则sin=32.因为 (0,)，所以=3或23.又2=，则cos=2+222=12，当且仅当 a=c 等号成立，即0 3故=3.（2）因为 =125cos+cos2，所以 =125cos+2cos2 1=2(cos 35)24325.所以当cos=35时，取得最 第 43 页 共 94 页 小值.此时12 cos=3532(0 )，于是6 2，从而为锐角三角形.20.如图，ABC是边长为 2 的等边三角形，点,O E分别是,AB BC的中点.（1）连接OE并延长到点F，使得2OE

40、EF=，求AF的值;（2）若点P为边AC上的动点，|AP多长时，PO PE最小，并求最小值【解析】(1)如图，以点O为坐标原点，,AB OC所在直线分别为,x y轴建立平面直角坐标系，则()()()()130,0,1,0,1,0,0,3,22OABCE 13,22OE=，设(),F x y，1313 2,2,2222OEEFxy=33 33 3 3,4444xyOF=，()3 3 37 3 31,0,4444AFAOOF=+=+=192AF=第 44 页 共 94 页(2)设()()()1,3,3,01APtACtttt=，设()()(),1,3P x yAPtACxytt=+=，得()1,3

41、P tt 则()331,3,322POttPEtt=()22333111,3,3=444+22222PO PEttttttt=+=当12t=时，PO PE取最小值，此时1AP=21.在中，满足，是中点.（1）若|=|，求向量+2与向量2+的夹角的余弦值；（2）若是线段上任意一点，且|=|=2，求+的最小值.【解析】（1）设向量+2与向量2+的夹角为,cos=(+2)(2+)|+2|2+|,令|=|=，cos=22+2255=45.（2）|=|=2，|=1，设|=，则|=1 .而+=2，所以 (+)=2 =2|cos=22 2=2(12)212.当且仅当=12时，(+)的最小值是12.22.如图

42、，在平面斜坐标系EAFAFGAEG=中，60XOY=，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OPmene=+（其中1e，2e分别为与X轴，Y轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为(),m n （1）若点P在斜坐标系EAFAFGAEG=中的坐标为()2,2，求点P到原点 第 45 页 共 94 页 O的距离.（2）求以原点O为圆心且半径为1的圆在斜坐标系EAFAFGAEG=中的方程.（3）在斜坐标系EAFAFGAEG=中，若直线()01xtt=交（2）中的圆于,A B两点，则当t为何值时，AOB的面积取得最大值？并求此最大值.【解析】（1）由点P的斜坐标为()2,2得：1222

43、OPee=()22122248cos6044OPee=+=，则2OP=即点P到原点O的距离为2（2）设所求圆上的任意一点的斜坐标为(),x y，则12OMxeye=+由圆的半径为1得：1OM=，即21OM=()22222122cos601xeyexxyyxxyy+=+=+=即所求圆的方程为：221xxyy+=（3）直线xt=是平行于Y轴的直线 当01t 时，直线xt=与圆有两个交点，设为：()11,A x y，()22,B xy 联立xt=与221xxyy+=得：2210ytyt+=12yyt+=，2121y yt=()222212121244443yyyyy yttt=+=+=AOB的面积2

44、2121324sin6032433Syy tt=+当223t=，即63t=时，AOB的面积取得最大值12 题型四 数列中的最值问题 一、选择题 1.已知数列 na的通项公式为262nan=,要使数列 na的前n项和nS最大,则n的值 第 46 页 共 94 页 为（）A14 B13 或 14 C12 或 11 D13 或 12【答案】D【解析】因为262nan=,所以数列 na是以124a=为首项,公差2d=的等差数列,所以()211252nn nnadnnS=+=+,由二次函数的性质可得：当13n=或12时,nS最大,故选 D.2等差数列na,等比数列 nb,满足111ab=,53ab=,则

45、9a能取到的最小整数是（）A B0 C2 D3【答案】B【解析】等差数列na的公差设为d,等比数列 nb的公比设为q,0q,由111ab=,53ab=,可得21 4dq+=,则2291 812(1)211adqq=+=+=,可得9a能取到的最小整数是0故选 B 3.已知等差数列na的前n项和为nS,且8109SSS,则满足0nS 的正整数n的最大值为（）A16 B17 C18 D19【答案】C【解析】由8109SSS得,90a,100a,9100aa+,所以公差大于零.又()117179171702aaSa+=,()1191910191902aaSa+=,()()1181891018902aa

46、Saa+=+,故选 C.4.在各项均为正数的等比数列na中,63a=,则48aa+=（）A有最小值 6 B有最大值 6 C有最大值 9 D有最小值 3【答案】A 第 47 页 共 94 页【解析】设等比数列 na的公比为(0)q q,63a=,64223aaqq=,22863aa qq=224822333236aaqqqq+=+=,当且仅当2233qq=即1q=时上式等号成立.故选A.5.已知数列 na满足128a=,n 12naan+=,则nan的最小值为（）A293 B4 71 C485 D274【答案】C【解析】由12nnaan+=知：212 1aa=,322 2aa=,()121nna

47、an=,相加得：21naann=,281nannn=+,又*nN,且5648295536aa=,故选C.6.已知正项等比数列 na满足9872aaa=+,若存在两项ma,na,使得212mna aa=,则14mn+的最小值为（）A2 2 B83 C3 D3 2【答案】C【解析】设等比数列的公比为q（q0）,a9a8+2a7,a7q2a7q+2a7,q2q20,q2 或 q=-1（舍）,存在两项am,an使得212mna aa=,21122112,22,21,3.mnm na qamnmn+=+=+=,()14114141593333nmmnmnmnmn+=+=+=,故选 C.7.数列 na中的

48、项按顺序可以排成如图的形式,第一行1项,排1a；第二行2项,从左到右分别排2a,3a；第三行3项,依此类推,设数列 na的前n项和为nS,则满足2019nS 的最小正整数n的值为（）第 48 页 共 94 页 A20 B21 C26 D27【答案】B【解析】第一行为4,其和为4,可以变形为：12 32T=；第二行为首项为4,公比为3的等比数列,共2项,其和为：()2224 1 32 321 3T=；第三行为首项为4,公比为3的等比数列,共3项,其和为()3334 1 32 321 3T=；依此类推：第n行的和：2 32nnT=；则前6行共：1 2345621+=个数 前6行和为：()()()(

49、)26267212 322 322 322333123152172S=+=+=满足2019nS,而第六行的第6个数为：54 3972=,则202197212002019SS=,满足2019nS 的最小正整数n的值为21,故选 B.8.对于数列 na,定义112022nnaaaHn+=为 na的“优值”现已知某数列的“优值”102nH+=,记数列20na 的前 n 项和为nS,则nS的最小值为（）A64 B68 C70 D72【答案】D【解析】由题意可知：11120222nnnaaaHn+=,则1112222nnnaaan+=,当2n时,()2121221 2nnnaaan+=,两式相减得：()

50、11221 2nnnnann+=,()21nan=+,当1n=时成立,20218nan=,当200na 时,即9n时,第 49 页 共 94 页 故当8n=或 9 时,20na 的前 n 项和为nS,取最小值,最小值为()899160722SS+=,故选 D 9.已知na是公比不为 1 的等比数列,数列 nb满足：2a,nba,2na成等比数列,2221nnncb b+=,若数列 nc的前n项和nT对任意的*nN恒成立,则的最大值为（）A13 B16 C115 D215【答案】C【解析】由2a,nba,2na成等比数列得222=bnnaa a,又 na是公比不为 1 的等比数列,设公比为 q,