梅涅劳斯定理和塞瓦定理.ppt

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1、分形几何分形几何几何自公元前自公元前2 2世纪以来，古希腊数学家欧几里得的世纪以来，古希腊数学家欧几里得的几何原本几何原本问世以来，平面几何作为数学的问世以来，平面几何作为数学的一个重要分支而存在于世。在历史上，一个重要分支而存在于世。在历史上，几何几何原本原本的问世奠定了数学科学的基础，平面几的问世奠定了数学科学的基础，平面几何提车的问题，诱发了一个又一个重要的数学何提车的问题，诱发了一个又一个重要的数学概念和有利的数学方法。由于平面几何有其鲜概念和有利的数学方法。由于平面几何有其鲜明的直觉与严谨、精确而简明的语言，并且经明的直觉与严谨、精确而简明的语言，并且经常出现一些极具挑战性的问题。因

2、而这一古老常出现一些极具挑战性的问题。因而这一古老的数学分支一直保持着青春的活力。的数学分支一直保持着青春的活力。梅涅劳斯梅涅劳斯(MenelaussMenelauss)定理定理：证明定理证明定理过点A作AGBC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD,CE/EA=DC/AG。三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 过点C作CPDF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在ABC的边AB、BC

3、、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。过ABC三点向三边引垂线AABBCC，所以AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 连接BF。（AD：DB）（BE：EC）（CF:FA)=（SADF：SBDF）（SBEF：SCEF）（SBCF：SBAF）=（SADF：SBDF）（SBDF：SCDF）（SCDF：SADF）=1 此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点

4、，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是=1。第一角元形式的梅涅劳斯定理 如图：若E，F，D三点共线，则(sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBA/sinABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOA/sinAOE)=1。(O不与点A、B、C重合)梅涅劳斯定理的数学意义梅涅劳斯定理的数学意义使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，

5、其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理实际应用实际应用 为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表

6、的景点后，最终还要回到出发点A。另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：方案 从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。按照这个方案，可以写出关系式：（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。从A点出发的旅游方案还有：方案 可以简记为：ABFDECA，由此可写出以下公式：（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A出发

7、还可以向“C”方向走，于是有：方案 ACEDFBA，由此可写出公式：（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。从A出发还有最后一个方案：方案 AECDBFA，由此写出公式：（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。还可以从逆

8、时针来看，从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离，以此类推，可得到三个比例，它们的乘积为1.现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。塞瓦定理塞瓦定理 塞瓦（GCeva）是17世纪意大利是水力工程师和数学家，他重新发现了梅涅劳斯定理，并根据梅涅劳斯定理推出了自己的定理。(99全国竞赛全国竞赛)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GAC=EAC。证明：连结BD交AC于H。对BCD用塞瓦定理，可得 因为AH是BAD的角平分线，由角平分线定理，可得，故。过C作AB的平行线交AG的延长线于I，过C作AD的平行线交AE的延长线于J。则，所以 从而CI=CJ。又因为CI/AB，CJ/AD，故ACI=-BAC=-DAC=ACJ。因此，ACIACJ，从而IAC=JAC，即GAC=EAC。已知AB=AD，BC=DC，AC与BD交于O，过O的任意两条直线EF和GH与四边形ABCD的四边交于E、F、G、H。连结GF、EH，分别交BD于M、N。求证：OM=ON。（5届CMO）证明证明：作EOH EOH，则只需证E、M、H共线，即EH、BO、GF三线共点。记BOG=，GOE=。连结EF交BO于K。只需证=1（Ceva逆定理）。