弘毅考研_20122数学讲座43-44.pdf

《弘毅考研_20122数学讲座43-44.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弘毅考研_20122数学讲座43-44.pdf（9页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2012 数学讲座（4344）矩阵的秩四讲 第第 7 讲。矩阵，向量“秩”一致讲。矩阵，向量“秩”一致 矩阵“秩”的定义是用行列式来描述的。但是要从理论上深入讨论矩阵的“秩”，用向量工具更为方便。1向量组的最大无关组与秩向量组的最大无关组与秩 讨论向量组的线性相关性，其应用背景是，“一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？”因而我们相应最关心，“一个向量组中，最多有几个向量能线性无关，即相互独立。”最大无关组最大无关组 如果一个向量组的子组线性无关。且把组内别的任何一个向量添加进去，得到的新子组都一定线性相关。则称此线性无关的子组是向量组的一个最大无关组。向量组的“秩”向量组的“秩

2、”一个向量组可能有好些个最大无关组。但是，最大无关组中含有的向量个数必定相同。（由后述“基本定哩”保证。）称为向量组的“秩”。最大无关组的基本作用最大无关组的基本作用 唯一地线性表示组内每一个向量。唯一地线性表示组内每一个向量。（*画外音：画外音：如果给最大无关组中向量一个排立顺序，就能使组内各向量与“有序（系）数组”成一一对应，这就自然生成了向量集合内的“坐标”。）有趣的是，最大无关组如何唯一地线性表示唯一地线性表示自身内部的任一向量呢？当然只能是自己的系数取 1，其它的系数为 0；因为它们彼此之间不存在任何线性关系。（*潜台词：任何一个最大无关组，作为“坐标基“，它自身的“坐标”总是“单位

3、向量组”（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）对向量组而言，最大无关组是个客观存在。最大无关组是个客观存在。你需要用它的时候，你就把它设出来。一个在研考题中最常见却又最简单的事实是，“如果一个向量组共有如果一个向量组共有 k 个向量，又已知其中的 k1 个向量线性无关。则向量组的秩为 k1，该无关组就是它的最大无关组。”个向量，又已知其中的 k1 个向量线性无关。则向量组的秩为 k1，该无关组就是它的最大无关组。”例例 44（1）向量组增加一个（或一些）向量而秩不变，则新增的那个（些）向量可以被原组向量线性表示。（2）若向量组 kaavLv,1 线性无关。而向量组 vvLv,1kaa

4、线性相关，则向量 v 可以由 kaavLv,1 线性表示。分析分析（1）因为新组包含旧组，且，新组的秩=旧组的秩，故旧组的最大无关组也是新组的最大无关组。新增的向量可以被旧组的最大无关组线性表示。其它向量都给以零系数加上去，则新增的向量被原组向量线性表示。（潜台词：向量组增加一个向量，其秩或不变，或增加 1）（2）显然，向量组 kaavLv,1 是向量组 vvLv,1kaa 的最大无关组。故题断成立。或用定义直接讨论：由已知条件及线性相关的定义，存在一组不全为 0 的数 使得 11,+kkccc L0111=+vvLvkkkcacac 1若系数，则由已知线性无关性得 01=+kc01=kccL

5、，矛盾。故 ，向量 01+kc 可以由kaavLv,1线性表示。例例 45 已知向量组1,2,3线性相关；向量组2,3,4线性无关。试问（1）向量 1 能否由2,3线性表示？（2）向量 4 能否由1,2,3线性表示？分析分析 （1）向量组 2,3,4 线性无关，所以，2,3 线性无关，已知向量组1,2,3 线性相关，显然 2,3 正好是它它的一个最大无关组。向量1可以由 2,3 线性表示。（且唯一地线性表示。）（2）如果4 能由1,2,3线性表示，则由（1）的结论，（潜台词：把1的线性表示式代入。）4 就能由2,3线性表示，这和已知2,3,4 线性无关矛盾。例例 46 若向量组 1,2 线性无

6、关，而1,2,线性相关，1,2,线性无关，则向量组1,2,+线性无关。证明证明 已知表明，1,2 是向量组 1,2,的最大无关组，向量可以由1,2 线性表示。设有数组 c1，c2，c3，使 c11+c22+c3（+）=0 如果c3=0，因为已知 1,2 线性无关，只有 c1=c2=0，结论得证。如果c3 0，则向量+可以被 1,2 线性表示。结合前述知，也可以被1,2线性表示。与已知矛盾。只有c3=0 2向量基本定理向量基本定理 定理定理 如果甲向量组的每一个向量都可以被乙向量组线性表示，则如果甲向量组的每一个向量都可以被乙向量组线性表示，则 甲向量组的秩甲向量组的秩 r（甲）（甲）乙向量组的

7、秩乙向量组的秩 r（乙）（乙）等价向量组等价向量组 如果两个向量组能相互线性表示。则它们的秩相等。并称为等价向量组。应该注意（1）甲向量组的每一个向量都可以被乙向量组线性表示，实际上是被乙向量组的最大无关组线性表示。（潜台词：甲的最大无关组所含向量个数乙的最大无关组向量个数。）（2）如果甲向量组的每一个向量可以由乙向量组线性表示，而甲组向量个数乙组向量个数，则甲向量组必定线性相关。实际上，唯一的信息链是：秩 r（甲）秩 r（乙）乙组向量个数 甲组向量个数 n+1 个个 n 维向量必定线性相关，维向量必定线性相关，是因为它们可以由前述单位向量组线性表示。（3）等价关系是一个较为复杂的关系。一个向

8、量 bv 能否被矩阵),(1naaAvLv=的列向量组线性表示，等价于线性方程组 bAXv=是否有解的问题。（4）一个向量组（或集）的最大无关组两两等价；维向量空间的基向量组彼此等价。维向量空间的基向量组彼此等价。n 2（5）两个线性无关的 维列向量组之间可能没有任何关系（谁也不能被谁线性表示），n（潜台词：最简单的反例，不平行的两个非零向量。）例例 47 如果把两个向量组合并为一个组，则“合并组”的秩不超过各组秩的和。分析分析 两个向量组各取一个最大无关组，合并到一起。为了说话方便，称为“小合并组”。显然，“合并组”每一个向量都可以被“小合并组”线性表示。两个线性无关组合并后，不一定能全组线

9、性无关。（个数超过 n 则必定相关。）故“合并组”的秩“小合并组”的秩 原两个向量组秩的和（画外音：问题本身都不算难。难就难在描述“语言”。）基本定理的应用基本定理的应用 乘积秩定理 若矩阵 A 与 B 可以有乘积 AB=C，则有，秩 r(AB)min（r(A)，r(B)）实际上，我们已从第 2 讲，矩阵的分块乘法变形 3 与 4 得到 AB=（A的列分块式）（b i j）=（a1，a 2，a n）nsnnbbbbLMML1111=（a 1 b 11+a 2 b 21+a n b n1 ，a 1 b 1n+a 2 b 2 n+a n b n n）AB=（a i j）（B的行分块式）=mnmnm

10、nccbbaaaavMvvMvLMML111111 两式分别表明，AB=C 的各列都是的各列都是 A 的列向量的线性组合的列向量的线性组合。r(AB)r(A)AB=C 的各行都是的各行都是 B 的行向量的线性组合。的行向量的线性组合。r(AB)r(B)特殊情形特殊情形 如果 A 是满秩方阵，则 r(AB)=r(B)这是因为，由于A是满秩方阵，乘积关系可以逆反。即 AB=C ，则 B=A1C 例例 48 已知非零列向量=（1，n）与非零行向量=(1，n)，把它们视为矩阵，求积矩阵的的秩 r()分析分析 左列右行，满足阶数规则（n1）（1n）=（nn），乘积是个 n 阶方阵。即 非零向量=nnnn

11、nnALMLMvMv111111,而和 非零列矩阵，行矩阵的秩都为 1，故 r()min（r()，r()）=1 对于非零向量，不仿设10，10，从而 11 0，是个 n 阶非零阵，r()1 ，只有 秩 r()=1 例 49例 49 已知A是阶矩阵，是nm Bmn 阶矩阵，则（A）时，必有 mn0AB （B）n时，必有 m0=AB（C）时，必有 nm0AB （D）时，必有 nm0=AB 分析分析 AB 是 阶方阵，且m 3,min)(;,min)(),(),(min)(nmBRnmARBRARABR而 从而 ，时，AB 不满秩。应选（B）为答案。,min)(nmABRmn 3向量组的秩与矩阵的秩

12、向量组的秩与矩阵的秩 矩阵矩阵 A 的秩，是的秩，是 A 的不为零的子式的最高阶数。也是它的行向量组的秩或列向量组的秩。的不为零的子式的最高阶数。也是它的行向量组的秩或列向量组的秩。我们通过下述定理来理解这个结论。定理定理 （“线性无关，延长无关。线性无关，延长无关。”定理）已知一个 n 维向量组线性无关，如果在相同的位置给组内每个向量都增加一个分量，则所得的 n+1 维向量组也线性无关。分析 分析（潜台词：就当成一道练习题。）设 维向量组 nkaaavLvv,21 是线性无关组，不妨认为只给它们都加上第个分量，形成一个维向量组。记为 1+n1+n*2*1,kaaavLvv，如果有数组 ，使得

13、 kccc,21L0*22*11=+kkacacacvLvv（1+n维零向量）这是有个方程的线性方程组。若暂时不看第1+n1+n个方程（它是由各向量的第个分量为系数构成的），则前 个方程实际上就是向量关系式 1+nn02211=+kkacacacvLvv（维零向量）n由已知线性无关性只有 021=kcccL；故延长后的向量组线性无关。（潜台词：这时，第个方程也自然化为恒等式。）1+n 延长多个分量，相当于每次只延长一个分量而重复多次，最终得到的向量组显然还是线性无关。在同一个位置，都增加一个分量，也理解为将向量“延长”。这样一来，若矩阵 A 的秩为 r，就必有一个 r 阶子式不为 0，且所有

14、r+1 阶子式全为 0；r 阶子式所在的 A 的 r 个行（列）向量线性无关。且可以证明它们是 A 的行（列）向量组的最大无关组。A 的秩就是它的行（列）向量组的秩。求向量组的秩求向量组的秩，就是求向量组排成的矩阵的秩 例 50（续 例 38）例 50（续 例 38）设向量组 321,vvv 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（A）133221,vvvvvv+（B）32132212,vvvvvvv+（C）1332213,32,2vvvvvv+（D）321321321553,2232,vvvvvvvvv+分析 分析 （C）及（D）可以表示为 330022101),(321vvv 及 5221

15、531321),(321vvv显然，哪个三阶行列式不为 0，相应积矩阵的秩就为 3*例 51例 51 已知列向量组 )0,1,(,)1,2,(,)1,1,0(321=bavvv 与列向量组)7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(321=vvv 有相同的秩，且 3v可以由 321,vvv线性表示，求 的值。ba,分析分析 怎样建立两个方程来计算的值？怎样建立两个方程来计算的值？首先考查向量组ba,321,aaavvv的秩，结果 40713602931=，显然向量组的秩为2，且21,vv是最大无关组。从而有两个方程 0,321=vvv 与 0,123=vvv （,15=a ）,5=b*例 5

16、2例 52 设有向量组（1）)2,0,1(1=,)3,2,1(2=)2,1,1(3+=a ,和向量组()4,1,2(,)6,1,2(,)3,2,1(31+=+=+=aaavvv 试讨论，a为何值时，向量组()和()等价？为何值时，向值组()和()不等价？a 分析分析 讨论两个向量组是否等价，即是否可以相互线性表示，从方程组的角度看，是一个难解的问题。但是，也有特殊情形。即空间的两个基向量组（空间的两个基向量组（最大无关组）必定等价。）必定等价。nR本题中两组向量正好都是三个三维向量的向量组，如果它们的秩都是 3，就必定相互等价。实际上 6233320014631122211232120111=

17、+=+=+aaaaaaaa而 组()的秩为 3，故时，两个向量组等价，而1a1=a时，组(1)的秩为 2，它们不等价。第第 8 讲。初等变换化“乘积”讲。初等变换化“乘积”计算行列式的基本方法，是作等值变换等值变换把行列式化为上三角或下三角行列式。求矩阵的秩，基本方法是作保秩变换保秩变换把矩阵化为上三角阵或“上梯形”阵。不同的是，对行列式作“等值变换”，只能是“把行列式的某一行（列）k 倍后加到另一行（列）”。对矩阵作“保秩变换”，则有三类初等变换，全都源于解线性方程组的同解变换。通过初等阵乘以矩阵来实现初等变换。“左乘行变，右乘列变。左乘行变，右乘列变。”既有利于理论分析，又利于应用计算机处

18、理。同时，这又是矩阵乘法成功的标志之一。1 初等变换与初等阵初等变换与初等阵 三类初等变换分别对应有初等阵设数 k0（1）数乘行（列）阵 E（i（k）将矩阵的第 i 行（列）k 倍。（2）对换阵 E（i，j）对换矩阵的第 i 行（列）与第 j 行（列）。（3）倍加阵 E（i（k），j）把矩阵的第 i 行（列）的 k 倍加到第 j 行（列）。三类初等阵分别有行列式|E（i（k）|=k，|E（i，j）|=1，|E（i（k），j）|=1 这表明初等阵都是满秩阵。5=11)(OOkkEi；=101101),(OLMMLOjiE=1101111011),(OLMOMLOOLMOMLOkkjkiE或 初等

19、阵的逆初等阵的逆 初等阵的逆也应该是初等变换。顾名思义，对矩阵做某类初等变换后再做相应的逆变换。其效果是将该矩阵还原。从这个思路出发，显然三类初等阵的逆阵分别是 E（i（1/k），E（i，j），E（i（k），j）运用积矩阵的秩规律即知，“初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。”初等阵的伴随阵初等阵的伴随阵 由“基本恒等式”已得|A|0 时，A1=A*|A|，或 A*=|A|A1故由此算得三类初等阵的“伴”分别是 E*（i（k）=k E（i（1/k），E*（i，j）=E（i，j）E*（i（k），j）=E（i（k），j）例例 55 设 A 为 n 阶可逆阵。交换 A 的第 1 行与第 2

20、 行得到矩阵 B，则（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*，（B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得B*（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得B*分析分析 (CD)*=|CD|（CD）1=|C|D|D1C1=D*C*若 B=E(i，j)A，B*=A*E*(i，j)=A*（E（i，j），即 B*=A*E（i，j）从而，由 B=E(1，2)A 具体得 B*=A*E（1，2），这表明，应该选（C）例 56例 56 设.又有+=133312321131131211232221333231232221131211aaaaaaaaaaaaBa

21、aaaaaaaaA则必有,101010001,10000101021=PP（A）（B）BPAP=21BPAP=12 （C）BAPP=21 （D）BAPP=12 分析 左乘行变，右乘列变分析 左乘行变，右乘列变。答案只在（C）、（D）中。实际上，对换第 1，2 行（列），)2,1(1EP=)3),1(1(2EP=，即把矩阵A的第1行（列）加到第3行（列）。6总体上看，是先行作“倍加”，再作行“对换”。应选（C）。例 57 例 57 A、B都是 3 阶方阵，将A的第 1 行的2 倍加到第3行，所得矩阵为，将的第1列乘以2，所得的矩阵为，如果 1AB1BABBA求=68475213011分析分析 显

22、然，产生的初等阵是1A)3),2(1(E，产生所用的初等阵则是。即 1B)2(1E)2(,)3),2(1(111=BEBAEA，（“左乘行变，右乘列变”。）（“左乘行变，右乘列变”。）故有=6847521302)3)2(1(111）（，ABEEBA)21(684752130)3)2(1()2(684752130)3)2(1(1111=EEEEAB，即 AB=81427511308144752130684752130211321列乘以第行加到第倍行第 例例 58 A 是 mn 阶矩阵，其秩 r(A)=mn，E 是 m 阶单位矩阵。下述结论正确的是（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关。（B）A

23、 的任意一个 m 阶子式都不为零。（C）若有 BA=0，则必有 B=0（阵）（D）用初等行变换可以把 A 化为（E，0）分析分析 由于有“任意”两字，（A）（B）都错。如果只用初等行变换就可以把矩阵 A 化为（E，0），则 A 的左起前 m 列线性无关。这就特殊了。只能选（C）2初等变换法求逆初等变换法求逆 我们在计算机上用初等变换法求满秩方阵的逆。设 A 是要求逆的满秩方阵（A|E）（初等行变换）（E|J1J2Js）右边的单位矩阵E好比是一张白纸，以矩阵积的方式记录下了所施行的初等行变换。这就得到了 A1=J1J2Js同时也就有 A=（J1J2Js）1=Js1Js11J11定理定理 任何一个

24、任何一个 n 阶满秩方阵都是若干个初等阵的连乘积。阶满秩方阵都是若干个初等阵的连乘积。（潜台词：表示法显然不唯一。）例 59例 59 方阵A的伴随矩阵，且有=8030010100100001*AEBAABA311+=，求矩阵 B分析分析 为了解出矩阵，将已知矩阵等式两端分别先右乘矩阵BA，再左乘*A，得 EABABAAABAABA33*+=+=即 且由 2,83*=AAA有，1*)2(6=AEB 剩下的工作主要是用初等变换求逆。例 60例 60 已知矩阵，求矩阵=011101110,111011001BAX，使它满足 7EBXAAXBBXBAXA+=+.分析 分析 实际上有 EBABXAXEA

25、BBXBAAX=+)()()(即 11)()()()(=BABAXEBAXBA 可以用初等变换法求，1)(BA=100110211)(1001102111000100011000100011001101111BA即 例例 61 设 A、B、C 都是 n 阶方阵，且满足 ABC=E，则（A）矩阵 A 不可逆 （B）CAB=E （C）矩阵 B 不可逆 （D）BAC=E 分析分析 由已知得|ABC|=|A|B|C|=1，三个方阵都满秩。（A），（C）皆错。ABC=E 还可以解释为 AB 与 C 互逆。所以（B）对。3矩阵的等价关系矩阵的等价关系 定义定义 如果两个 mn 阶矩阵 A 和 B 的秩相等

26、，就称矩阵 A 和 B 等价。在线性代数中，“向量组等价”是最复杂的关系。“矩阵等价”是最简单的关系“向量组等价”是最复杂的关系。“矩阵等价”是最简单的关系 一个向量能否被另一组向量线性表示，本质上是一个线性方程组是否有解的问题。要讨论两个向量组是否等价，即两个向量组是否能相互线性表示，简直就繁杂得难以实行。而确定矩阵的秩，只需做初等变换就行了。两个 n 维列向量组，即便秩相等，所含向量个数相同，也不一定等价。但是，让它们各自排成一个矩阵，则两个矩阵等价。（画外音：两个向量组的秩相等，且其中一个向量组能被另一组向量线性表示，则两个向量组等价。）左上角是r阶单位矩阵E r，其它位置全是 0 的m

27、n阶矩阵，可以称之为“秩为r的mn阶矩阵的标准型”。若 矩阵 A 和 B 等价，则可以分别用初等变换将它们化为同一个“标准型”。由于初等阵的逆也是初等阵。所以 A 与 B 可以通过初等变换相互转换。即有“mn 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 等价的充分必要条件是，存在满秩矩阵等价的充分必要条件是，存在满秩矩阵 P 和和 Q，使得，使得 A=PBQ”（潜台词：满秩矩阵 P 表示一连串的行变换，而 Q 表示一连串的列变换。）这就在表达形式上与方阵的“相似关系”及“合同关系”一致。在数学三的试卷上，出现过区分这些关系的选择题。例 62例 62 设维列向量组 nmm(,1vLv 线性无关，则维列向量组)n

28、nmvLv,1 线性无关的充分必要条件为（A）向量组 mvLv,1 可由向量组mvLv,1 线性表示.（B）向量组 mvLv,1 可由向量组 mvLv,1 线性表示.（C）向量组 mvLv,1 与向量组 mvLv,1 等价.（D）矩阵),(1mAvLv=与矩阵),(1mBvLv=等价.分析 分析 已知向量组 maavLv,1 线性无关，再注意到两组向量个数相同，故（D）显然 8是对的。（B）成立并不能说明向量组mvLv,1的线性相关性。另一方面，两个线性无关的向量组之间有可能不存在任何关系两个线性无关的向量组之间有可能不存在任何关系。故（A），（C）都只能是充分条件。4求向量组的秩及最大无关组

29、4求向量组的秩及最大无关组 求向量组的秩及最大无关组，是线性代数中最基本的运算。请注意在不同要求下的算法。（1）只求向量组的铁只求向量组的铁对它们排成的矩阵作初等变换，既作行初等变换，又作列初等变换，将其化为上（下）三角阵观察。（2）求向量组的秩，并给出它的一个最大无关组，还要将组内其它向量由最大无关组线性表示求向量组的秩，并给出它的一个最大无关组，还要将组内其它向量由最大无关组线性表示。为了简单起见，行向量组只作行变换，列向量组只作列变换，同时做好纪录。例例 63 已知向量组,)22,16,9,4,1(,)4,3,2,0,1(,)2,1,1,4,6(321aaavvv )3,1,0,1,7(

30、4av，求它的最大无关组，并将组内各向量表示为最大无关组的线性组合。分析分析 将向量组排成一个54阶矩阵，作列初等变换并纪录+24123212242321243217563102642201931401121040000176312626422191931411112144000013224211631092114047116aaaaaaaaaaaaaaaaaaavvvvvvvvvvvvvvvvvvv 已能看出有不为零的三阶子式，相应的向量组 242127,6,aaaaavvvvv，线性无关。又 0100761010100761010),()7,6,(42124212=且aaaaaaaavvvvvvvv 由矩阵乘积秩定理矩阵乘积秩定理知 421,aaa 线性无关，是所求的最大无关组，且有 213123505aaaaaavvvvvv=+即 9