2019年江苏省高考数学试题Ⅰ&试题解析.docx

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1、第 1 页 共 29 页2019 年江苏省高考数学试题&试题解析注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条

2、、符号等须加黑、加粗。参考公式：样本数据的方差，其中12,nx xx2211ni isxxn 11ni ixxn柱体的体积，其中是柱体的底面积， 是柱体的高VShSh锥体的体积，其中是锥体的底面积， 是锥体的高1 3VShSh一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置上上1已知集合，则 . 1,0,1,6A |0,Bx xxRAB 2已知复数的实部为 0，其中 为虚数单位，则实数a的值是 .(2i)(1 i)ai3下图是一个算法流程图，则输出的S的值是 .第 2

3、页 共 29 页4函数的定义域是 .276yxx5已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 .6从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有1 名女同学的概率是 .7在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近xOy2 2 21(0)yxbb线方程是 .8已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是 *()nanNnS25890,27a aaS8S .9如图，长方体的体积是 120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 1111ABCDABC D1CC .10在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点

4、P到直线x+y=0xOy4(0)yxxx的距离的最小值是 .第 3 页 共 29 页11在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-xOye，-1)(e 为自然对数的底数） ，则点A的坐标是 .12如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若ABCO，则的值是 .6AB ACAO EC AB AC13已知，则的值是 .tan2 3tan4 sin 2414设是定义在 R R 上的两个周期函数，的周期为 4，的周期为 2，且( ), ( )f x g x( )f x( )g x是奇函数.当时，其中k0.( )f x2(0,x2( )

5、1 (1)f xx(2),01 ( )1,122k xx g xx若在区间(0，9上，关于x的方程有 8 个不同的实数根，则k的取值范围是 ( )( )f xg x .二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6 6小题，共计小题，共计9090分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；22 3（2）若，求的值sincos 2AB absin()2B16（本小题满分 14 分）第 4 页

6、 共 29 页如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E17（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（1、0），22221(0)xyababF2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点222(1)4xyaA，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1已知DF1=5 2（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标18（本小题满分 16 分）第 5 页 共 29 页如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一

7、条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离19（本小题满分 16 分）设函数、为f（x）的导函数( )()()(), , ,f xxa xb xc a b

8、cR( )f x（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若ab，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；( )f x3,1,3（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M0,01,1abc4 2720（本小满分 16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证：数列an为*()nN245324,440a aa aaa“M数列”；（2）已知数列bn满足：，其中Sn为数列bn的前n项和*()nN1 11221,nnnbSbb第 6 页 共 29 页求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当k

9、m时，都有*()nN成立，求m的最大值1kkkcbc2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学数学参考答案参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法. .每小题每小题5 5分，共计分，共计7070分分. .1.【答案】1,6.【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.第 7 页 共 29 页【详解】由题知，.1,6AB 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.2.【答案】2【解析】本题根据复数的乘法运算法则先求得 ，然后根据复数的概念，令实部为 0 即得az的值.【详解】，2(a2 )(1 i)222(2)i

10、aaiiiaai令得.20a2a 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力.3. 【答案】5【解析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.【详解】执行第一次，不成立，继续循环，；1,1422xSSx 12xx 执行第二次，不成立，继续循环，；3,2422xSSx13xx 执行第三次，不成立，继续循环，；3,342xSSx14xx 执行第四次，成立，输出5,442xSSx5.S 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目

11、的要求完成解答并验证4.【答案】1,7【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得,2760xx即2670xx解得，17x 第 8 页 共 29 页故函数的定义域为1,7.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组， 然后求出它们的解集即可5.【答案】5 3【解析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为，67889 1086 所以该组数据的方差是.22222215(68)(78)(88)(88)(98)(108) 63【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.6.【答案】7 10【解

12、析】先求事件的总数，再求选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的事件数，最后根据古 典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿服务，共有种情况.2 510C 若选出的 2 名学生恰有 1 名女生，有种情况，11 326C C 若选出的 2 名学生都是女生，有种情况，2 21C 所以所求的概率为.6 17 1010【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典 概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的 重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类” “分步

13、” ，根据顺序有无，明 确“排列” “组合”.7.【答案】2yx 【解析】根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.b【详解】由已知得，2 2 2431b解得或，2b 2b 第 9 页 共 29 页因为，所以.0b 2b 因为，1a 所以双曲线的渐近线方程为.2yx 【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考 必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化 1 为, a b0，即得渐近线方程.8.【答案】16【解析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前 8 项和即可.【详解】由题意可得：， 25811191470 9 8927

14、2a aaadadadSad解得：，则.15 2a d 818 784028 2162Sad 【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函 数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组） ，如本题，从已知出发，构建的方程组.1a d,9.【答案】10【解析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体的体积为 120，1111ABCDABC D所以，1120AB BC CC因为为的中点，E1CC所以，11 2CECC由长方体的性质知底面，1CC ABCD所以是三棱锥的底面上的高，CEEBCDBCD所以三棱锥的体积.E

15、BCD11 32VAB BC CE111111201032212AB BCCC【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往第 10 页 共 29 页需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.10.【答案】4【解析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距 离【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离22gR r4yxx22gR r最小.由，得，2411yx 2(2)x 舍3 2y 即切点，( 2,3 2)Q则切点Q到直线的距离为，22gR r2223 2 4 11 故答案为：4【点

16、睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养. 采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.11.【答案】(e,1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点，则.又，00,A xy00lnyx1yx 当时，0xx01yx 点A在曲线上的切线为，lnyx00 01()yyxxx即，0 0ln1xyxx代入点，得，, 1e0 01 ln1exx 即，00lnxxe第 11 页 共 29 页考查函数，当时，当时， lnH xxx0,1x 0H x 1,x 0H x 且，当时，单调递增， ln1Hxx1x 0,H

17、xH x注意到，故存在唯一的实数根，此时， H ee00lnxxe0xe01y 故点的坐标为.A,1A e【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是 曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点12.【答案】3【解析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.3632AO ECADACAEA

18、BACACAE AAA223131123233ABACACABAB ACABACAB AC AAA，22223 21132 3322AB ACABACAB ACABACAB AC AAA得即故.2213,22ABAC 3,ABAC 3AB AC【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运 算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.第 12 页 共 29 页13.【答案】2 10【解析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转tan化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由，tan1tantantan2

19、 tan1tan13tan1tan4 得，23tan5tan20解得，或.tan21tan3 sin 2sin2 coscos2 sin4442222222sincoscossinsin2cos2=22sincos，2222tan1tan=2tan1 当时，上式tan22222 2 1 22=22110 ；当时，上式=1tan3 2211212233=210113 .综上，2sin 2.410【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用 分类讨论和转化与化归思想解题.14.【答案】12,34 【解析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范

20、围即可. f x g x第 13 页 共 29 页【详解】当时，即0,2x2( )11 ,f xx2211,0.xyy又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 4，如图，函数与的图象，要使( )f x( )f x( )g x在(0,9上有 8 个实根，只需二者图象有 8 个交点即可.( )( )f xg x当时，函数与的图象有 2 个交点；1g( )2x ( )f x( )g x当时，的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数与的图象有g( )(2)xk x( )g x( )f x( )g x6 个交点.当与图象相切时，圆心（1，0）到直线的距离为 1，即( )f x( )g x20kxyk，

21、得，函数与的图象有 3 个交点；当过点（1,1）221 1kkk 2 4k ( )f x( )g xg( )(2)xk x时，函数与的图象有 6 个交点，此时，得.( )f x( )g x13k1 3k 综上可知，满足在(0,9上有 8 个实根的k的取值范围为.( )( )f xg x12 34 ，【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函 数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交 点个数，从而确定参数的取值范围.二、解答题二、解答题15.【答案】 （1）；（2）.3 3c 2 5 5【解析】(1)由题意结合余弦定

22、理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得cosB的值.sin()2B第 14 页 共 29 页【详解】 （1）因为，23 ,2,cos3ac bB由余弦定理，得，即.222 cos2acbBac2222(3 )( 2) 32 3cc c c21 3c 所以.3 3c （2）因为，sincos 2AB ab由正弦定理，得，所以.sinsinab ABcossin 2BB bbcos2sinBB从而，即，故.22cos(2sin)BB22cos4 1 cosBB24cos5B 因为，所以，从而.sin0B cos2si

23、n0BB2 5cos5B 因此.2 5sincos25BB【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考 查运算求解能力.16.【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】 （1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.第 15 页 共 29 页在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.（2）因为AB=BC，E

24、为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因为BE平面ABC，所以CC1BE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查 空间想象能力和推理论证能力.17.【答案】 （1）；（2）.22 143xy3( 1,)2E 【解析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，1AF联立直线BF2与椭

25、圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【详解】 （1）设椭圆C的焦距为 2c.因为F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2x轴，所以DF2=，5 22222 11253( )222DFFF因此 2a=DF1+DF2=4，从而a=2由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为.22 143xy（2）解法一：第 16 页 共 29 页由（1）知，椭圆C：，a=2，22 143xy因为AF2x轴，所以点A的横坐标为 1.将x=1 代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=4

26、.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由，得，2222116yxxy256110xx解得或.1x 11 5x 将代入，得，11 5x 22yx12 5y 因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.1112(,)55B 3(1)4yx由，得，解得或.223(1)4143yxxy 276130xx 1x 13 7x 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.1x 将代入，得.因此.1x 3(1)4yx3 2y 3( 1,)2E 解法二：由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.22 143xy第 17 页 共 29 页因为BF2=2a，EF1+EF2

27、=2a，所以EF1=EB，从而BF1E=B.因为F2A=F2B，所以A=B，所以A=BF1E，从而EF1F2A.因为AF2x轴，所以EF1x轴.因为F1(-1，0)，由，得.221143xxy 3 2y 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.3 2y 因此.3( 1,)2E 【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆 的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.18.【答案】 （1）15（百米） ；（2）见解析；（3）17+（百米）.3 21【解析】解：解法一：（1）过A作，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；AEBD（2

28、）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距 离第 18 页 共 29 页解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道 路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距 离【详解】解法一：（1）过A作，垂足为E.AEBD由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.6, 8DEBEACAECD因为PBAB，所以.84cossin105PBDABE所以.12154cos 5BDPBPBD因

29、此道路PB的长为 15（百米）.（2）若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均 小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知，2210ADAEED从而，所以BAD为锐角.2227cos0225ADABBDBADAD AB所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.第 19 页 共 29 页（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在中，.1PPB115PBPB由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求

30、.当QA=15 时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的22221563 21CQQAAC半径.综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离3 21PQ=PD+CD+CQ=17+.3 21因此，d最小时，P，Q两点间的距离为 17+（百米）.3 21解法二：（1）如图，过O作OHl，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为 3，3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.第 20 页 共 29 页从而A（4，3）

31、，B（4，3） ，直线AB的斜率为.3 4因为PBAB，所以直线PB的斜率为，4 3直线PB的方程为.425 33yx 所以P（13，9） ，.22( 134)(93)15PB 因此道路PB的长为 15（百米）.（2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0） ，则EO=490时，在中，.1PPB115PBPB由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.第 21 页 共 29 页当QA=15 时，设Q（a，9） ，由，22(4)(93)15(4)AQaa得a=，所以Q（，9） ，此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O43 21

32、43 21的半径.综上，当P（13，9） ，Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离43 21.43 21( 13)173 21PQ 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.173 21【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数 学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19.【答案】 （1）；（2）见解析；（3）见解析.2a 【解析】 （1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值；（2）由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可 确定函数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值M的表达式，然后可

33、用如下方法证明题中的不等式：解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，因为，所以01b1(0,1)x 当时，(0,1)x2( )()(1)(1)f xx xb xx x令，则2( )(1) ,(0,1)g xx xx1( )3(1)3g xxx令，得列表如下：( )0g x 1 3x x1(0, )31 31(,1)3( )g x+0( )g x极大值第 22 页 共 29 页所以当时，取得极大值，且是最大值，故1 3x ( )g xmax14( )327g xg所以当时，因此(0,1)x4( )( )27f xg

34、x4 27M 【详解】 （1）因为，所以abc3( )()()()()f xxa xb xcxa因为，所以，解得(4)8f3(4)8a2a （2）因为，bc所以，2322( )()()(2 )(2)f xxa xbxab xbab xab从而令，得x=b或2( )3()3abf xxbx( )0f x 2 3abx因为，都在集合中，且，2, ,3aba b 3,1,3ab所以21,3,33abab 此时，2( )(3)(3)f xxx( )3(3)(1)f xxx令，得或列表如下：( )0f x 3x 1x x(,3)3(3,1)1(1,+)+00+( )f x极大值极小值所以的极小值为( )

35、f x2(1)(1 3)(1 3)32f （3）因为，所以，0,1ac32( )()(1)(1)f xx xb xxbxbx2( )32(1)f xxbxb因为，所以，01b224(1)12(21)30bbb则有 2 个不同的零点，设为1212,x xxx第 23 页 共 29 页由，得( )0f x 22121111,33bbbbbbxx 列表如下：x1(,)x1x12,x x2x2(,)x +00+( )f x极大值极小值所以的极大值( )f x 1Mf x解法一： 32 1111(1)Mf xxbxbx2 21 111211(1)32(1)3999bbxbb bxbxbx23221 (1

36、)(1)2127927bbbb bbb2 3(1)2(1) (1)2(1) 1)272727b bbbb b因此(1)24 272727b b4 27M 解法二：因为，所以01b1(0,1)x 当时，(0,1)x2( )()(1)(1)f xx xb xx x令，则2( )(1) ,(0,1)g xx xx1( )3(1)3g xxx令，得列表如下：( )0g x 1 3x 第 24 页 共 29 页x1(0, )31 31(,1)3( )g x+0( )g x极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故1 3x ( )g xmax14( )327g xg所以当时，因此(0,1)x4( )( )

37、27f xg x4 27M 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问 题以及逻辑推理能力20.【答案】 （1）见解析；（2）bn=n；5.*nN【解析】 （1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）由题意利用递推关系式讨论可得数列bn是等差数列，据此即可确定其通项公式；由确定的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求kb得m的最大值【详解】 （1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由，得，解得245321440a aaaaa 244 11 2 111440a qa qa qa qa 11 2a q 因

38、此数列为“M数列”.na（2）因为，所以1122nnnSbb 0nb 由得，则.1111,bSb2122 11b22b 由，得，1122nnnSbb112()nn n nnb bSbb第 25 页 共 29 页当时，由，得，2n 1nnnbSS111122nnnn n nnnnb bbbbbbbb整理得112nnnbbb所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n.*nN由知，bk=k，.*kN因为数列cn为“M数列” ，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.1kkqkq当k=1 时，有q1；当k=2，3，m时，

39、有lnlnln1kkqkk设f（x）=，则ln(1)xxx21 ln( )xf xx令，得x=e.列表如下：( )0f x x（1，e）e(e，+)( )f x+0f（x）极大值因为，所以ln2ln8ln9ln3 2663maxln3( )(3)3f kf取，当k=1，2，3，4，5 时，即，33q lnlnkqkkkq经检验知也成立1kqk因此所求m的最大值不小于 5若m6，分别取k=3，6，得 3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于 6.第 26 页 共 29 页综上，所求m的最大值为 5【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、

40、性质等基础知识，考查代数推理、 转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力数学数学(附加题附加题) )21.【答案】 （1）；（2）.115 106 121,4【解析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算的值即可；2A(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可.【详解】 （1）因为，3122A所以23131 2222A=3 3 1 23 1 1 2 2 32 22 12 2 115 106 （2）矩阵A A的特征多项式为.231( )5422f令，解得A A的特征值.( )0f121,4【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力22.【答案】 （

41、1）；（2）2.5【解析】(1)由题意，在中，利用余弦定理求解的长度即可；OABAB(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得 点B到直线 的距离.l【详解】 （1）设极点为O.在OAB中，A（3，） ，B（，） ，4 22由余弦定理，得AB=.223( 2)2 32cos()524 第 27 页 共 29 页（2）因为直线l的方程为，sin()34则直线l过点，倾斜角为(3 2,)23 4又，所以点B到直线l的距离为.( 2,)2B3(3 22) sin()242【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力23.【答案】.1 |1

42、3x xx 或【解析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.【详解】当x2，即x时，原不等式可化为x+2x12，解得x1.1 2综上，原不等式的解集为.1 |13x xx 或【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力【必做题必做题】24.【答案】 （1）；（2）-32.5n 【解析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得234,a a an的值；n(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；223ab解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可51

43、3确定的值.223ab【详解】 （1）因为，0122(1)CCCC4nnn nnnnxxxxn，第 28 页 共 29 页所以，23 23(1)(1)(2)C,C26nnn nn nnaa4 4(1)(2)(3)C24nn nnna因为，2 3242aa a所以，2(1)(2)(1)(1)(2)(3)26224n nnn nn nnn解得5n （2）由（1）知，5n 5(13)(13)n0122334455 555555CC3C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3)3ab解法一：解法一：因为，所以，*, a bN024135 555555C3C9C76,C3C9C44ab从而22223763 4432ab 解法二：解法二：50122334455 555555(13)CC (3)C (3)C (3)C (3)C (3)0122334455 555555CCC ( 3)C ( 3)C ( 3)(3C3)因为，所以*, a bN5(13)3ab因此225553(3)(3)(13)(13)( 2)32ababab 【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，